Число Лукаса

Не путать с последовательностями Лукаса, общим классом последовательностей, к которому принадлежат числа Лукаса. Спираль Лукаса, состоящая из четверти дуги, является хорошим приближением золотой спирали, когда ее члены большие. Однако, когда ее члены становятся очень маленькими, радиус дуги быстро уменьшается с 3 до 1, а затем увеличивается с 1 до 2.

В числе Лукаса или серия Lucas являются целочисленная последовательность имени математика Франсуа Эдуар Анатоль Лукаса (1842-91), который изучал как эту последовательность и тесно связанные с ними числа Фибоначчей. Числа Люка и числа Фибоначчи образуют дополнительные экземпляры последовательностей Лукаса.

Последовательность Лукаса имеет те же рекурсивные отношения, что и последовательность Фибоначчи, где каждый член представляет собой сумму двух предыдущих членов, но с разными начальными значениями. В результате получается последовательность, в которой отношения следующих друг за другом членов приближаются к золотому сечению, и фактически сами члены представляют собой округление целых степеней золотого сечения. Последовательность также имеет множество отношений с числами Фибоначчи, например, тот факт, что добавление любых двух чисел Фибоначчи, разделенных двумя членами в последовательности Фибоначчи, приводит к промежуточному числу Люка.

Первые несколько чисел Лукаса

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123,....

• 1 Определение
• 2 Расширение до отрицательных целых чисел
• 3 Связь с числами Фибоначчи
• 4 личности Лукаса
• 5 Генерирующая функция
• 6 отношения конгруэнтности
• 7 простых чисел Лукаса
• 8 многочленов Лукаса
• 9 приложений
• 10 См. Также
• 11 Источники
• 12 Внешние ссылки

Подобно числам Фибоначчи, каждое число Люка определяется как сумма двух его непосредственных предыдущих членов, тем самым образуя целочисленную последовательность Фибоначчи. Первые два числа Лукаса и в отличие от первых двух чисел Фибоначчи и. Хотя числа Лукаса и Фибоначчи тесно связаны по определению, они обладают различными свойствами. ${\ displaystyle L_ {0} = 2}$${\ displaystyle L_ {1} = 1}$${\ displaystyle F_ {0} = 0}$${\ displaystyle F_ {1} = 1}$

Таким образом, числа Лукаса можно определить следующим образом:

${\ displaystyle L_ {n}: = {\ begin {case} 2 amp; {\ text {if}} n = 0; \\ 1 amp; {\ text {if}} n = 1; \\ L_ {n-1} + L_ {n-2} amp; {\ text {if}} ngt; 1. \ end {case}}}$

(где n принадлежит натуральным числам)

Последовательность первых двенадцати чисел Лукаса такова:

${\ Displaystyle 2, \; 1, \; 3, \; 4, \; 7, \; 11, \; 18, \; 29, \; 47, \; 76, \; 123, \; 199, \ ; \ ldots \;}$(последовательность A000032 в OEIS ).

Все целочисленные последовательности, подобные Фибоначчи, появляются в сдвинутой форме как строка массива Wythoff ; сама последовательность Фибоначчи является первой строкой, а последовательность Люка - второй строкой. Также, как и все последовательности целых чисел, подобные Фибоначчи, соотношение между двумя последовательными числами Люка сходится к золотому сечению.

Используя, можно расширить числа Люка до отрицательных целых чисел, чтобы получить вдвойне бесконечную последовательность: ${\ Displaystyle L_ {n-2} = L_ {n} -L_ {n-1}}$

..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11,... ( показаны члены для).${\ displaystyle L_ {n}}$${\ displaystyle -5 \ leq {} п \ leq 5}$

Формула для членов с отрицательными индексами в этой последовательности:

${\ Displaystyle L _ {- n} = (- 1) ^ {n} L_ {n}. \!}$

Первая идентичность, выраженная визуально

Числа Лукаса связаны с числами Фибоначчи многими тождествами. Среди них следующие:

• ${\ Displaystyle L_ {n} = F_ {n-1} + F_ {n + 1}}$
• ${\ Displaystyle L_ {m + n} = L_ {m + 1} F_ {n} + L_ {m} F_ {n-1}}$
• ${\ Displaystyle F_ {2n} = L_ {n} F_ {n}}$
• ${\ Displaystyle F_ {n + k} + (- 1) ^ {k} F_ {nk} = L_ {k} F_ {n}}$
• ${\ Displaystyle 2F_ {2n + k} = L_ {n} F_ {n + k} + L_ {n + k} F_ {n}}$
• ${\ displaystyle L_ {2n} = 5F_ {n} ^ {2} +2 (-1) ^ {n} = L_ {n} ^ {2} -2 (-1) ^ {n}}$, так что.${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {L_ {n}} {F_ {n}}} = {\ sqrt {5}}}$
• ${\ Displaystyle L_ {n + k} - (- 1) ^ {k} L_ {nk} = 5F_ {n} F_ {k}}$; в частности, так.${\ displaystyle F_ {n} = {L_ {n-1} + L_ {n + 1} \ более 5}}$${\ displaystyle 5F_ {n} + L_ {n} = 2L_ {n + 1}}$

Их закрытая формула имеет вид:

${\ displaystyle L_ {n} = \ varphi ^ {n} + (1- \ varphi) ^ {n} = \ varphi ^ {n} + (- \ varphi) ^ {- n} = \ left ({1+ {\ sqrt {5}} \ over 2} \ right) ^ {n} + \ left ({1 - {\ sqrt {5}} \ over 2} \ right) ^ {n} \,,}$

где это золотое сечение. В качестве альтернативы, поскольку величина члена меньше 1/2, это ближайшее целое число или, что то же самое, целая часть, также записываемая как. ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle ngt; 1}$${\ Displaystyle (- \ varphi) ^ {- п}}$${\ displaystyle L_ {n}}$${\ displaystyle \ varphi ^ {n}}$${\ Displaystyle \ varphi ^ {п} +1/2}$${\ displaystyle \ lfloor \ varphi ^ {n} +1/2 \ rfloor}$

Комбинируя вышеизложенное с формулой Бине,

${\ Displaystyle F_ {п} = {\ гидроразрыва {\ varphi ^ {n} - (1- \ varphi) ^ {n}} {\ sqrt {5}}} \,,}$

формула для: ${\ displaystyle \ varphi ^ {n}}$

${\ displaystyle \ varphi ^ {n} = {{L_ {n} + F_ {n} {\ sqrt {5}}} \ over 2} \,.}$

Многие тождества Фибоначчи имеют параллели в числах Лукаса. Например, идентичность Кассини становится

${\ Displaystyle L_ {n} ^ {2} -L_ {n-1} L_ {n + 1} = (- 1) ^ {n + 1} 5}$

Также

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} L_ {k} = L_ {n + 2} -1}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} L_ {k} ^ {2} = L_ {n} L_ {n + 1} +2}$

${\ displaystyle 2L_ {n-1} ^ {2} + L_ {n} ^ {2} = L_ {2n + 1} + 5F_ {n-2} ^ {2}}$

где. ${\ displaystyle \ textstyle F_ {n} = {\ frac {L_ {n-1} + L_ {n + 1}} {5}}}$

${\ displaystyle L_ {n} ^ {k} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ lfloor {\ frac {k} {2}} \ rfloor} (- 1) ^ {j} {\ binom {n } {j}} L '_ {(k-2j) n}}$

где кроме. ${\ displaystyle L '_ {n} = L_ {n}}$${\ displaystyle L '_ {0} = 1}$

Например, и${\ displaystyle L_ {n} ^ {3} = L '_ {3n} -3L' _ {n}}$${\ displaystyle L_ {n} ^ {4} = L '_ {4n} -4L' _ {2n} + 6L '_ {0}}$

Проверка, и${\ Displaystyle L_ {3} = 4,4 ^ {3} = 64 = 76-3 (4)}$${\ displaystyle 256 = 322-4 (18) +6}$

Позволять

${\ displaystyle \ Phi (x) = 2 + x + 3x ^ {2} + 4x ^ {3} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} L_ {n} x ^ {n} }$

- производящая функция чисел Люка. Прямым вычислением

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi (x) amp; = L_ {0} + L_ {1} x + \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} L_ {n} x ^ {n} \\ amp; = 2 + x + \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} (L_ {n-1} + L_ {n-2}) x ^ {n} \\ amp; = 2 + x + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} L_ {n} x ^ {n + 1} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} L_ {n} x ^ {n + 2} \\ amp; = 2+ x + x (\ Phi (x) -2) + x ^ {2} \ Phi (x) \ конец {выровнено}}}$

который можно переставить как

${\ Displaystyle \ Phi (х) = {\ гидроразрыва {2-х} {1-хх ^ {2}}}}$

${\ displaystyle \ Phi (- {\ frac {1} {x}})}$дает функция для отрицательного индексируется Лукас число, и ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} L_ {n} x ^ {- n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} L_ { -n} x ^ {- n}}$

${\ displaystyle \ Phi (- {\ frac {1} {x}}) = {\ frac {x + 2x ^ {2}} {1-xx ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle \ Phi (х)}$удовлетворяет функциональному уравнению

${\ Displaystyle \ Phi (x) - \ Phi (- {\ frac {1} {x}}) = 2}$

Поскольку производящая функция для чисел Фибоначчи задается формулой

${\ displaystyle s (x) = {\ frac {x} {1-xx ^ {2}}}}$

у нас есть

${\ Displaystyle s (x) + \ Phi (x) = {\ frac {2} {1-xx ^ {2}}}}$

что доказывает, что

${\ displaystyle F_ {n} + L_ {n} = 2F_ {n + 1}}$

А также

${\ displaystyle 5s (x) + \ Phi (x) = {\ frac {2} {x}} \ Phi (- {\ frac {1} {x}}) = 2 {\ frac {1} {1- xx ^ {2}}} + 4 {\ frac {x} {1-xx ^ {2}}}}$

доказывает, что

${\ displaystyle 5F_ {n} + L_ {n} = 2L_ {n + 1}}$

Разложение частичной фракции задается

${\ Displaystyle \ Phi (x) = {\ frac {1} {1- \ phi x}} + {\ frac {1} {1- \ psi x}}}$

где - золотое сечение, а - его сопряжение. ${\ displaystyle \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$${\ displaystyle \ psi = {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}}}$

Это может быть использовано для доказательства производящей функции, так как

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} L_ {n} x ^ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (\ phi ^ {n} + \ psi ^ {n}) x ^ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ phi ^ {n} x ^ {n} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ psi ^ {n} x ^ {n} = {\ frac {1} {1- \ phi x}} + {\ frac {1} {1- \ psi x}} = \ Phi (x)}$

Если это число Фибоначчи, то никакое число Люка не делится на. ${\ Displaystyle F_ {п} \ geq 5}$${\ displaystyle F_ {n}}$

${\ displaystyle L_ {n}}$сравнимо с 1 по модулю, если является простым, но некоторые составные значения также обладают этим свойством. Это псевдопричины Фибоначчи. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle L_ {n} -L_ {n-4}}$ сравнимо с 0 по модулю 5.

Лукас премьер является числом Лукаса, который является премьером. Первые несколько простых чисел Лукаса

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879,... (последовательность A005479 в OEIS ).

Индексы этих простых чисел (например, L 4 = 7)

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467,... (последовательность A001606 в OEIS ).

Если L n простое число, то n равно 0, простому числу или степени 2. L 2 ^m простое число для m  = 1, 2, 3 и 4 и никаких других известных значений  m.

Точно так же, как полиномы Фибоначчи выводятся из чисел Фибоначчи, многочлены Люка представляют собой полиномиальную последовательность, полученную из чисел Люка. ${\ Displaystyle L_ {п} (х)}$

Согласно анализу 657 подсолнухов в 2016 году, числа Люка являются вторым наиболее распространенным паттерном в подсолнухах после чисел Фибоначчи, когда подсчитываются спирали по часовой стрелке и против часовой стрелки.

• Обобщения чисел Фибоначчи

• "Многочлены Лукаса", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Число Лукаса». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Лукаса». MathWorld.
• " Числа Лукаса ", доктор Рон Нотт
• Числа Лукаса и золотое сечение
• Калькулятор чисел Лукаса можно найти здесь.
• Последовательность OEIS A000032 (числа Лукаса, начинающиеся с 2)