Войти
Линии показывают рост количества цифр в последовательностях look-and-say с начальными точками 23 (красный), 1 (синий), 13 (фиолетовый), 312 (зеленый). Эти линии (когда они представлены в логарифмической вертикальной шкале ) стремятся к прямым линиям, наклон которых совпадает с постоянной Конвея. В математике последовательность « посмотри и скажи» - это последовательность целых чисел, начинающаяся следующим образом:
Чтобы сгенерировать член последовательности из предыдущего члена, считайте цифры предыдущего члена, считая количество цифр в группах одной и той же цифры. Например:
Последовательность «взгляни и скажи» была представлена и проанализирована Джоном Конвеем.
Идея последовательности «смотрю и говори» аналогична идее кодирования длин серий.
Если начать с любой цифры d от 0 до 9, то d будет оставаться последней цифрой последовательности неопределенно долго. Для любого d, отличного от 1, последовательность начинается следующим образом:
Илан Варди назвал эту последовательность, начиная с d = 3, последовательностью Конвея (последовательность A006715 в OEIS ). (для d = 2 см. OEIS : A006751 )
Корни полинома Конвея на комплексной плоскости. Константа Конвея обозначается греческой буквой лямбда ( λ). Последовательность растет бесконечно. Фактически, любой вариант, определенный начиная с другого целого начального числа, (в конечном итоге) также будет расти бесконечно, за исключением вырожденной последовательности: 22, 22, 22, 22,… (последовательность A010861 в OEIS )
Никакие цифры, кроме 1, 2 и 3, не появляются в последовательности, если только начальное число не содержит такую цифру или серию из более чем трех одинаковых цифр.
Космологическая теорема Конвея утверждает, что каждая последовательность в конечном итоге расщепляется («распадается») на последовательность «атомарных элементов», которые представляют собой конечные подпоследовательности, которые никогда больше не взаимодействуют со своими соседями. Есть 92 элемента, содержащих только цифры 1, 2 и 3 (92 - это точное количество твердых тел Джонсона и точное количество нетрансурановых элементов), которые Джон Конвей назвал в честь химических элементов вплоть до урана, назвав последовательность аудиоактивной. Также есть два « трансурановых » элемента для каждой цифры, кроме 1, 2 и 3.
В конечном итоге сроки вырастают примерно на 30% за поколение. В частности, если L n обозначает количество цифр n -го члена последовательности, то предел отношения существует и определяется выражением
где λ = 1,303577269034... (последовательность A014715 в OEIS ) - алгебраическое число степени 71. Этот факт был доказан Конвеем, а константа λ известна как константа Конвея. Тот же результат сохраняется для каждого варианта последовательности, начиная с любого начального числа, кроме 22.
Константа Конвея - это уникальный положительный действительный корень следующего многочлена : (последовательность A137275 в OEIS )
В своей оригинальной статье Конвей дает неправильное значение для этого многочлена, написав - вместо + перед. Однако значение λ, приведенное в его статье, является правильным.
Последовательность «взгляни и скажи» также широко известна как последовательность чисел Морриса, в честь криптографа Роберта Морриса, и головоломки «Какое будет следующее число в последовательности 1, 11, 21, 1211, 111221?» иногда упоминается как Яйцо кукушки из описания Морриса в книге Клиффорда Столла «Яйцо кукушки».
Есть много возможных вариантов правила, используемого для создания последовательности «посмотрю и скажи». Например, чтобы сформировать «образец горошины», читают предыдущий термин и подсчитывают все экземпляры каждой цифры, перечисленные в порядке их первого появления, а не только те, которые встречаются в последовательном блоке. Таким образом, начиная с семени 1, паттерн гороха продолжается 1, 11 («одна 1»), 21 («две единицы»), 1211 («одна 2 и одна 1»), 3112 («три единицы и одна 2».), 132112 («одна тройка, две единицы и одна двойка»), 311322 («три единицы, одна тройка и две двойки») и т. Д. Эта версия паттерна горошек в конечном итоге формирует цикл с двумя членами 23322114 и 32232114.
Возможны и другие варианты рисунка горошек; например, вместо того, чтобы читать цифры по мере их появления, можно было бы читать их в возрастающем порядке. В этом случае термин, следующий за 21, будет 1112 («одна 1, одна 2»), а термин, следующий за 3112, будет 211213 («две единицы, одна 2 и одна 3»).
Эти последовательности несколько заметно отличаются от последовательности «посмотрю и скажи». Примечательно, что, в отличие от последовательностей Конвея, данный термин паттерна гороха не определяет однозначно предыдущий термин. Более того, для любого семени образец гороха дает члены ограниченной длины. Эта граница обычно не превышает 2 * основание + 2 цифры и может превышать длину только 3 * цифр счисления для вырожденных длинных начальных начальных чисел («100 единиц и т. Д.»). Для этих максимально ограниченных случаев отдельные элементы последовательности принимают форму a0b1c2d3e4f5g6h7i8j9 для десятичных чисел, где буквы здесь являются заполнителями для количества цифр из предыдущего элемента последовательности. Учитывая, что эта последовательность бесконечна, а длина ограничена, в конечном итоге она должна повторяться из-за принципа «голубятни». Как следствие, эти последовательности всегда в конечном итоге периодичны.
