Лесли матрица

В прикладной математике матрица Лесли является дискретной, структурированная по возрасту модель роста населения, которая очень популярна в популяционной экологии. Он был изобретен и назван в честь. Матрица Лесли (также называемая моделью Лесли) - один из наиболее известных способов описания роста популяций (и их прогнозируемого возрастного распределения), при котором популяция закрыта для миграции, растет в неограниченное окружение, где рассматривается только один пол, обычно женский.

Матрица Лесли используется в экологии для моделирования изменений в популяции организмов в течение определенного периода времени. В модели Лесли население делится на группы в зависимости от возрастных классов. Похожая модель, которая заменяет возрастные классы на онтогенетические стадии, называется матрицей Лефковича, в которой индивиды могут оставаться в одном и том же классе стадии или переходить к следующему. На каждом временном шаге популяция представлена ​​вектором с элементом для каждого возрастного класса, где каждый элемент указывает количество людей, находящихся в данный момент в этом классе.

Матрица Лесли - это квадратная матрица с тем же количеством строк и столбцов, что и у вектора генеральной совокупности элементов. (I, j) -я ячейка в матрице указывает, сколько человек будет в возрастном классе i на следующем временном шаге для каждого человека на стадии j. На каждом временном шаге вектор населенности умножается на матрицу Лесли, чтобы сгенерировать вектор населенности для последующего временного шага.

Чтобы построить матрицу, некоторая информация должна быть известна от населения:

• $nx\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{x\}\}$, количество людей (n) каждого возрастного класса x
• $sx\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{x\}\}$, доля людей, которые выживают от возрастного класса x до возрастного класса x + 1,
• $fx\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{x\}\}$, плодовитость, на душу населения среднее количество потомков женского пола, достигающих $n\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{0\}\}$, рожденных от матери возрастного класса x. Точнее, его можно рассматривать как количество потомков, рожденных в следующем возрастном классе $bx\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{x\; +\; 1\}\}$, взвешенное по вероятности достижения следующего возрастного класса. Следовательно, $f\; x\; =\; s\; x\; b\; x\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{x\}\; =\; s\_\; \{x\}\; b\_\; \{x\; +\; 1\}.\}$

Из наблюдений, которые $n\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{0\}\}$в момент t + 1 - это просто сумма всех потомков, рожденных на предыдущем временном шаге, и что организмы, дожившие до времени t + 1, являются организмами, выжившими в момент t с вероятностью $sx\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{x\}\}$получается $nx\; +\; 1\; =\; sxnx\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{x\; +\; 1\}\; =\; s\_\; \{x\}\; n\_\; \{x\}\}$. Тогда это подразумевает следующее матричное представление:

$[n\; 0\; n\; 1\; ⋮\; n\; \omega \; -\; 1]\; t\; +\; 1\; =\; [f\; 0\; f\; 1\; f\; 2\dots \; f\; \omega \; -\; 2\; f\; \omega \; -\; 1\; s\; 0\; 0\; 0\dots \; 0\; 0\; 0\; s\; 1\; 0\dots \; 0\; 0\; 0\; 0\; s\; 2\dots \; 0\; 0\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; ⋮\; 0\; 0\; 0\dots \; s\; \omega \; -\; 2\; 0]\; [n\; 0\; n\; 1\; ⋮\; n\; \omega \; -\; 1]\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; n\_\; \{0\}\; \backslash \backslash \; n\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; n\; \_\; \{\backslash \; omega\; -1\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \_\; \{t\; +\; 1\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; f\_\; \{0\}\; f\_\; \{\; 1\}\; f\_\; \{2\}\; \backslash \; ldots\; f\; \_\; \{\backslash \; omega\; -2\}\; f\; \_\; \{\backslash \; omega\; -1\}\; \backslash \backslash \; s\_\; \{0\}\; 0\; 0\; \backslash \; ldots\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; s\_\; \{1\}\; 0\; \backslash \; ldots\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; s\_\; \{2\}\; \backslash \; ldots\; 0\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; ldots\; s\; \_\; \{\backslash \; omega\; -2\}\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; n\_\; \{0\; \}\; \backslash \backslash \; n\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; n\; \_\; \{\backslash \; omega\; -1\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \_\; \{t\}\}$

где $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$это максимально достижимый возраст у населения.

Это можно записать как:

$nt\; +\; 1\; =\; L\; nt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \_\; \{t\; +\; 1\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \_\; \{t\}\; \}$

или:

$nt\; =\; L\; tn\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \_\; \{t\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; ^\; \{t\}\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \_\; \{0\}\}$

где $nt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \_\; \{t\}\}$- вектор населения во время t и $L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\}$- матрица Лесли. Доминантное собственное значение для $L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\}$, обозначенное $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$, дает асимптотический темп роста населения (темп прироста при стабильном возрастном распределении). Соответствующий собственный вектор обеспечивает стабильное возрастное распределение, долю лиц каждого возраста в популяции, которая остается постоянной в этой точке асимптотического роста, за исключением изменений показателей естественной смертности. После достижения стабильного возрастного распределения популяция претерпевает экспоненциальный рост со скоростью $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$.

характеристический полином матрицы определяется выражением уравнение Эйлера – Лотки.

Модель Лесли очень похожа на дискретную цепь Маркова. Основное отличие состоит в том, что в модели Маркова для каждого $x\; \{\backslash \; будет$ fx\; +\; sx\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{x\}\; +\; s\_\; \{x\}\; =\; 1\}$$displaystyle x}, тогда как в модели Лесли эти суммы могут быть больше или меньше 1.

• 1 Стабильная возрастная структура
• 2 Случайный случай Лесли
• 3 Ссылки
• 4 Источники

Эта модель роста с возрастной структурой предполагает установившуюся или стабильную возрастную структуру и темпы роста. Независимо от исходного размера популяции, $N\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{0\}\}$или возрастного распределения, популяция асимптотически стремится к этой возрастной структуре и скорости роста. Он также возвращается в это состояние после возмущения. Уравнение Эйлера – Лотки предоставляет средства определения внутренней скорости роста. Стабильная возрастная структура определяется как скоростью роста, так и функцией выживаемости (т.е. матрицей Лесли). Например, население с высокой внутренней скоростью роста будет иметь непропорционально «молодую» возрастную структуру. Население с высоким уровнем смертности в любом возрасте (то есть с низкой выживаемостью) будет иметь аналогичную возрастную структуру. Чарльзуорт (1980) предоставляет дополнительные подробности о скорости и форме конвергенции к стабильной возрастной структуре.

Существует обобщение скорости роста населения на случай, когда матрица Лесли имеет случайные элементы, которые могут быть коррелированы. При характеристике расстройства или неопределенности жизненно важных параметров; Для работы с линейными неотрицательными случайными матрицами разностными уравнениями необходимо использовать пертурбативный формализм. Тогда нетривиальное эффективное собственное значение, которое определяет долгосрочную асимптотическую динамику среднего вектора состояния популяции, может быть представлено как эффективный темп роста. Это собственное значение и связанный с ним инвариантный вектор состояния среднего значения могут быть вычислены из наименьшего положительного корня секулярного полинома и остатка среднезначной функции Грина. Таким образом, точные и пертурбативные результаты могут быть проанализированы для нескольких моделей беспорядка.

• Кребс К.Дж. (2001) Экология: экспериментальный анализ распространения и численности (5-е издание). Сан-Франциско. Бенджамин Каммингс.
• Charlesworth, B. (1980) Эволюция населения с возрастной структурой. Кембридж. Cambridge University Press
• Leslie, P.H. (1945) "Использование матриц в математике некоторых популяций". Биометрика, 33 (3), 183–212.
• Leslie, P.H. (1948) "Некоторые дальнейшие заметки об использовании матриц в математике народонаселения". Биометрика, 35 (3–4), 213–245.
• Лотка, А.Дж. (1956) Элементы математической биологии. Нью-Йорк. Dover Publications Inc.
• Кот, М. (2001) Элементы математической экологии, Кембридж. Cambridge University Press.