Случайная матрица

редактировать

Матричнозначная случайная величина

В теории вероятностей и математической физике, случайная матрица представляет собой матрицу -значную случайную величину, то есть матрицу, в которой некоторые или все элементы являются случайными величинами. Многие важные свойства физических систем могут быть математически представлены в виде матричных задач. Например, теплопроводность решетки может быть вычислена из динамической матрицы взаимодействий частица-частица внутри решетки.

Содержание

1 Приложения
- 1.1 Физика
- 1.2 Математическая статистика и численный анализ
- 1.3 Теория чисел
- 1.4 Теоретическая неврология
- 1.5 Оптимальное управление
2 гауссовских ансамбля
- 2.1 Распределение интервалов уровней
3 Обобщения
4 Спектральная теория случайных матриц
- 4.1 Глобальный режим
  - 4.1.1 Эмпирическая спектральная мера
  - 4.1.2 Колебания
- 4.2 Локальный режим
  - 4.2.1 Массовая статистика
  - 4.2.2 Граничная статистика
5 Другие классы случайных матриц
- 5.1 Матрицы Уишарта
- 5.2 Случайные унитарные матрицы
- 5.3 Неэрмитовы случайные матрицы
6 Руководство по ссылки
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Приложения

Физика

В ядерной физике случайные матрицы были введены Юджином Вигнером для моделирования ядер тяжелых атомов. Он постулировал, что расстояния между линиями в спектре ядра тяжелого атома должны напоминать расстояния между собственными значениями случайной матрицы и должны зависеть только от класса симметрии основной эволюции. В физике твердого тела случайные матрицы моделируют поведение больших неупорядоченных гамильтонианов в приближении среднего поля.

В квантовом хаосе гипотеза Бохигаса – Джаннони – Шмита (BGS) утверждает, что спектральная статистика квантовых систем, классические аналоги которых демонстрируют хаотическое поведение, описывается теорией случайных матриц.

В квантовой оптике преобразования, описываемые случайными унитарными матрицами, имеют решающее значение для демонстрации преимущества квантовых вычислений по сравнению с классическими вычислениями (см., Например, модель выборки бозонов ). Более того, такие случайные унитарные преобразования могут быть непосредственно реализованы в оптической схеме, путем отображения их параметров на компоненты оптической схемы (то есть светоделители и фазовращатели).

Теория случайных матриц также имеет нашел применения киральному оператору Дирака в квантовой хромодинамике, квантовой гравитации в двух измерениях, мезоскопической физике, крутящем моменте передачи спина, дробный квантовый эффект Холла, локализация Андерсона, квантовые точки и сверхпроводники

Математическая статистика и численный анализ

В многомерная статистика, случайные матрицы были введены Джоном Уишартом для статистического анализа больших выборок; см. оценка ковариационных матриц.

Были показаны важные результаты, которые расширяют классические скалярные неравенства Чернова, Бернштейна и Хёффдинга до наибольших собственных значений конечных сумм случайных эрмитовых матриц. Выводятся следующие результаты для максимальных сингулярных значений прямоугольных матриц.

В численном анализе случайные матрицы использовались начиная с работ Джона фон Неймана и Германа Голдстайна для описания ошибок вычислений в таких операциях, как как матричное умножение. См. Также более свежие результаты.

Теория чисел

В теории чисел распределение нулей дзета-функции Римана (и других L-функций ) моделируется распределением собственных значений некоторых случайных матриц. Эта связь была впервые обнаружена Хью Монтгомери и Фрименом Дж. Дайсоном. Это связано с гипотезой Гильберта – Полиа.

Теоретическая нейробиология

В области теоретической нейробиологии случайные матрицы все чаще используются для моделирования сети синаптических связей между нейронами в мозге. Было показано, что динамические модели нейронных сетей со случайной матрицей связности демонстрируют фазовый переход к хаосу, когда дисперсия синаптических весов пересекает критическое значение на пределе бесконечного размера системы. Связь статистических свойств спектра моделей случайных матриц с динамическим поведением случайно связанных нейронных сетей является предметом интенсивных исследований.

Оптимальное управление

В оптимальном управлении теория, эволюция n переменных состояния во времени зависит в любой момент от их собственных значений и от значений k переменных управления. При линейной эволюции матрицы коэффициентов появляются в уравнении состояния (уравнении эволюции). В некоторых задачах значения параметров в этих матрицах неизвестны с уверенностью, и в этом случае в уравнении состояния присутствуют случайные матрицы, и проблема известна как одна из стохастического управления. Ключевым результатом в случае линейно-квадратичного управления со стохастическими матрицами является то, что принцип эквивалентности достоверности не применяется: в то время как в отсутствие множителя неопределенности ( то есть только с аддитивной неопределенностью) оптимальная политика с квадратичной функцией потерь совпадает с тем, что было бы решено, если бы неопределенность не принималась во внимание, это больше не выполняется при наличии случайных коэффициентов в уравнении состояния.

Гауссовы ансамбли

Распределение на комплексной плоскости большого количества случайных матриц 2x2 из 4 различных гауссовых ансамблей.

Наиболее изученными ансамблями случайных матриц являются гауссовы ансамбли.

Гауссовский унитарный ансамбль GUE (n) описывается гауссовской мерой с плотностью

1 Z GUE (n) e - n 2 tr H 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {Z _ {{\ text {GUE}} (n)}}} e ^ {- {\ frac {n} {2}} \ mathrm {tr} H ^ {2}} }

\ frac {1} {Z_ { \ text {GUE} (n)}} e ^ {- \ frac {n} {2} \ mathrm {tr} H ^ 2}

на пространстве n × n эрмитовых матриц H = (H ij). i, j = 1. Здесь Z GUE (n) = 2 π - нормировочная константа, выбранная так, чтобы интеграл плотности был равен единице. Термин унитарное относится к тому факту, что распределение инвариантно относительно унитарного сопряжения. Гауссовские модели унитарного ансамбля гамильтонианы не обращаются во времени симметрия.

Гауссовский ортогональный ансамбль GOE (n) описывается гауссовой мерой с плотностью

1 Z GOE (n) e - n 4 tr H 2 {\ displaystyle { \ frac {1} {Z _ {{\ text {GOE}} (n)}}} e ^ {- {\ frac {n} {4}} \ mathrm {tr} H ^ {2}}}

\ frac {1} {Z _ {\ text {GOE} (n)}} e ^ {- \ frac {n} {4} \ mathrm {tr} H ^ 2}

на пространстве вещественных симметричных матриц размера n × n H = (H ij). i, j = 1. Его распределение инвариантно относительно ортогонального сопряжения и моделирует Ham илтонианы с симметрией обращения времени.

Гауссовский симплектический ансамбль GSE (n) описывается гауссовой мерой с плотностью

1 Z GSE (n) e - ntr H 2 {\ displaystyle {\ frac {1 } {Z _ {{\ text {GSE}} (n)}}} e ^ {- n \ mathrm {tr} H ^ {2}} \,}

\ frac {1} {Z _ {\ text {GSE} (n)}} e ^ {- n \ mathrm {tr} H ^ 2} \,

в пространстве n × n эрмитова кватернионные матрицы, например симметричные квадратные матрицы, составленные из кватернионов, H = (H ij). i, j = 1. Его распределение инвариантно относительно сопряжения симплектической группой и моделирует гамильтонианы с симметрией обращения времени, но без вращательной симметрии.

Гауссовские ансамбли GOE, GUE и GSE часто обозначаются их индексом Дайсона, β = 1 для GOE, β = 2 для GUE, и β = 4 для GSE. Этот индекс подсчитывает количество вещественных компонентов на элемент матрицы. Ансамбли, как определено здесь, имеют гауссовские распределенные матричные элементы со средним значением H ij ⟩ = 0 и заданными двухточечными корреляциями по

⟨H ij H mn ∗⟩ знак равно ⟨H ij H nm⟩ = 1 n δ im δ jn + 2 - β n β δ в δ jm {\ displaystyle \ langle H_ {ij} H_ {mn} ^ { *} \ rangle = \ langle H_ {ij} H_ {nm} \ rangle = {\ frac {1} {n}} \ delta _ {im} \ delta _ {jn} + {\ frac {2- \ beta} {n \ beta}} \ delta _ {in} \ delta _ {jm}}

{\ displaystyle \ langle H_ {ij} H_ {mn} ^ {*} \ rangle = \ langle H_ {ij} H_ {nm} \ rangle = {\ frac {1} {n}} \ delta _ {im} \ delta _ {jn} + {\ frac {2- \ beta} {n \ beta}} \ delta _ {in} \ delta _ {jm}}

, из которого следуют все высшие корреляции по теореме Иссерлиса.

Совместная плотность вероятности для собственные значения λ1,λ2,..., λ n из GUE / GOE / GSE определяется как

1 Z β, n ∏ k = 1 ne - β n 4 λ k 2 ∏ i < j | λ j − λ i | β, ( 1) {\displaystyle {\frac {1}{Z_{\beta,n}}}\prod _{k=1}^{n}e^{-{\frac {\beta n}{4}}\lambda _{k}^{2}}\prod _{i

\ frac {1} {Z _ {\ beta, n}} \ prod_ {k = 1} ^ ne ^ {- \ frac {\ beta n} {4} \ lambda_k ^ 2} \ prod_ {i <j} \ left | \ lambda_j- \ lambda_i \ right | ^ \ beta ~, \ quad (1)

где Z β, n - нормировочная константа, которая может быть вычислена явно, см. интеграл Сельберга. В случае GUE (β = 2) формула (1) описывает детерминантный точечный процесс. Собственные значения отталкиваются, поскольку совместная плотность вероятности имеет ноль ( $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ -го порядка) для совпадающих собственных значений $λ j = λ i {\ displaystyle \ lambda _ {j } = \ lambda _ {i}}$ $\ lambda_j = \ lambda_i$ .

О распределении наибольшего собственного значения для матриц GOE, GUE и Wishart конечных размеров см.

Распределение расстояний между уровнями

Из упорядоченная последовательность собственных значений $λ 1 < … < λ n < λ n + 1 < … {\displaystyle \lambda _{1}<\ldots <\lambda _{n}<\lambda _{n+1}<\ldots }$ $\ lambda_1 <\ ldots <\ lambda_n <\ lambda_ {n + 1} <\ ldots$ , определяется нормализованное промежутки $s = (λ n + 1 - λ n) / ⟨s⟩ {\ displaystyle s = (\ lambda _ {n + 1} - \ lambda _ {n}) / \ langle s \ rangle}$ $s = (\ lambda_ {n + 1} - \ lambda_n) / \ langle s \ rangle$ , где $⟨s⟩ = ⟨λ n + 1 - λ n⟩ {\ displaystyle \ langle s \ rangle = \ langle \ lambda _ {n + 1} - \ lambda _ {n} \ rangle}$ $\ langle s \ rangle = \ langle \ lambda_ {n + 1} - \ lambda_n \ rangle$ - средний интервал. Распределение вероятностей расстояний приблизительно определяется следующим образом:

p 1 (s) = π 2 se - π 4 s 2 {\ displaystyle p_ {1} (s) = {\ frac {\ pi} {2}} s \, \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {\ pi} {4}} s ^ {2}}}

p_1 (s) = \ frac {\ pi } {2} s \, \ mathrm {e} ^ {- \ frac {\ pi} {4} s ^ 2}

для ортогонального ансамбля GOE $β = 1 {\ displaystyle \ beta = 1}$ $\ beta = 1$ ,

п 2 (s) = 32 π 2 s 2 e - 4 π s 2 {\ displaystyle p_ {2} (s) = {\ frac {32} {\ pi ^ {2}}} s ^ {2 } \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {4} {\ pi}} s ^ {2}}}

p_ {2} (s) = {\ frac {32} {\ pi ^ {2}}} s ^ {2} {\ mathrm {e}} ^ {{- {\ frac {4} {\ pi}} s ^ {2}}}

для унитарного ансамбля GUE $β = 2 {\ displaystyle \ beta = 2}$ $\ beta = 2$ и

p 4 (s) = 2 18 3 6 π 3 s 4 e - 64 9 π s 2 {\ displaystyle p_ {4} (s) = {\ frac {2 ^ {18 }} {3 ^ {6} \ pi ^ {3}}} s ^ {4} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {64} {9 \ pi}} s ^ {2}}}

p_4 (s) = \ frac {2 ^ {18}} {3 ^ 6 \ pi ^ 3} s ^ 4 \ mathrm {e} ^ {- \ frac {64} {9 \ pi} s ^ 2}

для симплектического ансамбля GSE $β = 4 {\ displaystyle \ beta = 4}$ $\beta=4$ .

Числовые константы таковы, что $p β (s) {\ displaystyle p _ {\ beta} (s)}$ $p_ \ beta (s)$ нормализовано:

∫ 0 ∞ dsp β (s) = 1 {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} ds \, p _ {\ beta} (s) = 1}

\ int_0 ^ \ infty ds \, p_ \ beta (s) = 1

и средний интервал:

∫ 0 ∞ dssp β (s) = 1, {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} ds \, s \, p _ {\ beta} (s) = 1,}

\ int_0 ^ \ infty ds \, s \, p_ \ бета (s) = 1,

для $β = 1, 2, 4 {\ displaystyle \ beta = 1,2,4}$ $\ beta = 1,2,4$ .

Generalizations

Wigner матрицы представляют собой случайные эрмитовы матрицы $H n = (H n (i, j)) i, j = 1 n {\ displaystyle \ textstyle H_ {n} = (H_ {n} (i, j)) _ {i, j = 1} ^ {n}}$ $\ textstyle H_n = (H_n (i, j)) _ {i, j = 1} ^ n$ такие, что записи

{H n (i, j), 1 ≤ i ≤ j ≤ n} {\ displaystyle \ left \ {H_ {n } (i, j) ~, \, 1 \ leq i \ leq j \ leq n \ right \}}

\ left \ {H_n (i, j) ~, \, 1 \ leq i \ leq j \ leq n \ right \}

над главной диагональю находятся независимые случайные величины с нулевым средним и идентичными вторыми моментами.

Инвариантные матричные ансамбли - это случайные эрмитовы матрицы с плотностью в пространстве вещественных симметричных / эрмитовых / кватернионных эрмитовых матриц, которая имеет вид $1 Z ne - ntr V (H), {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {Z_ {n}}} e ^ {- n \ mathrm {tr} V (H)} ~,}$ $\ textstyle \ frac {1} {Z_n} e ^ {- n \ mathrm {tr} V (H)} ~,$ , где функция V называется потенциалом.

Гауссовы ансамбли - единственные частные частные случаи этих двух классов случайных матриц.

Спектральная теория случайных матриц

Спектральная теория случайных матриц изучает распределение собственных значений по мере того, как размер матрицы стремится к бесконечности.

Глобальный режим

В глобальном режиме интересует распределение линейной статистики вида N f, H = n tr f (H).

Эмпирическая спектральная мера

Эмпирическая спектральная мера μ H H определяется как

μ H (A) = 1 n # {собственные значения H в A } = N 1 A, H, A ⊂ R. {\ displaystyle \ mu _ {H} (A) = {\ frac {1} {n}} \, \ # \ left \ {{\ text {собственные значения}} H {\ text {in}} A \ right \} = N_ {1_ {A}, H}, \ quad A \ subset \ mathbb {R}.}

\ mu_ {H} ( A) = \ frac {1} {n} \, \ # \ left \ {\ text {собственные значения} H \ text {in} A \ right \} = N_ {1_A, H}, \ quad A \ subset \ mathbb {R}.

Обычно предел $μ H {\ displaystyle \ mu _ {H}}$ $\ mu_ {H}$ - детерминированная мера; это частный случай самоусреднения. кумулятивная функция распределения ограничивающей меры называется интегрированной плотностью состояний и обозначается N (λ). Если интегральная плотность состояний дифференцируема, ее производная называется плотностью состояний и обозначается ρ (λ).

Предел эмпирической спектральной меры для матриц Вигнера был описан Юджином Вигнером ; см. распределение полукругов Вигнера и предположение Вигнера. Что касается выборочных ковариационных матриц, теория была разработана Марченко и Пастуром.

Предел эмпирической спектральной меры ансамблей инвариантных матриц описывается некоторым интегральным уравнением, которое возникает из теории потенциала.

Колебания

Для линейной статистики N f, H = n ∑ f (λ j), также интересны флуктуации около ∫ f ( λ) dN (λ). Для многих классов случайных матриц центральная предельная теорема имеет вид

N f, H - ∫ f (λ) d N (λ) σ f, n ⟶ DN (0, 1) {\ displaystyle {\ frac { N_ {f, H} - \ int f (\ lambda) \, dN (\ lambda)} {\ sigma _ {f, n}}} {\ overset {D} {\ longrightarrow}} N (0,1) }

\ frac {N_ {f, H} - \ int f (\ lambda) \, dN (\ lambda)} {\ sigma_ {f, n}} \ overset {D} {\ longrightarrow} N (0, 1)

известен, см. И т. Д.

Локальный режим

В локальном режиме нас интересуют расстояния между собственными значениями и, в более общем смысле, совместное распределение собственных значений в интервале длины порядка 1 / n. Различают совокупную статистику, относящуюся к интервалам внутри опоры ограничивающей спектральной меры, и краевую статистику, относящуюся к интервалам вблизи границы опоры.

Массовая статистика

Формально исправьте $λ 0 {\ displaystyle \ lambda _ {0}}$ $\ lambda _ {0}$ в внутреннем тега поддержка из $N (λ) {\ displaystyle N (\ lambda)}$ $N (\ lambda)$ . Затем рассмотрим точечный процесс

Ξ (λ 0) = ∑ j δ (⋅ - n ρ (λ 0) (λ j - λ 0)), {\ displaystyle \ Xi (\ lambda _ {0}) = \ sum _ {j} \ delta {\ Big (} {\ cdot} -n \ rho (\ lambda _ {0}) (\ lambda _ {j} - \ lambda _ {0}) {\ Big) } ~,}

\ Xi (\ lambda_0) = \ sum_j \ delta \ Big ({\ cdot} - n \ rho (\ lambda_0) (\ lambda_j - \ lambda_0) \ Big) ~,

где $λ j {\ displaystyle \ lambda _ {j}}$ $\ lambda _ {j}$ - собственные значения случайной матрицы.

Точечный процесс $Ξ (λ 0) {\ displaystyle \ Xi (\ lambda _ {0})}$ $\Xi(\lambda_0)$ захватывает статистические свойства собственных значений в окрестности $λ 0 {\ displaystyle \ lambda _ {0}}$ $\ lambda _ {0}$ . Для гауссовых ансамблей известен предел $Ξ (λ 0) {\ displaystyle \ Xi (\ lambda _ {0})}$ $\Xi(\lambda_0)$ ; таким образом, для GUE это детерминантный точечный процесс с ядром

K (x, y) = sin ⁡ π (x - y) π (x - y) {\ displaystyle K (x, y) = {\ frac {\ sin \ pi (xy)} {\ pi (xy)}}}

K (x, y) = \ frac {\ sin \ pi (xy)} {\ pi (xy)}

(ядро синуса).

Принцип универсальности постулирует, что предел $Ξ (λ 0) {\ displaystyle \ Xi (\ lambda _ {0})}$ $\Xi(\lambda_0)$ при $n → ∞ { \ displaystyle n \ to \ infty}$ $n \ to \ infty$ должен зависеть только от класса симметрии случайной матрицы (и ни от конкретной модели случайных матриц, ни от $λ 0 {\ displaystyle \ lambda _ {0 }}$ $\ lambda _ {0}$ ). Это было строго доказано для нескольких моделей случайных матриц: для ансамблей инвариантных матриц, для матриц Вигнера и т. Д.

Граничная статистика

См. Распределение Трейси – Уидома.

Другие классы случайных матриц

Матрицы Уишарта

Матрицы Уишарта имеют размер n × n случайные матрицы вида H = XX, где X - это случайная матрица размера n × m (m ≥ n) с независимыми элементами, а X - ее сопряженное транспонирование. В важном частном случае, рассмотренном Уишартом, элементы X являются одинаково распределенными гауссовскими случайными величинами (действительными или комплексными).

Предел эмпирической спектральной меры матриц Уишарта был найден Владимиром Марченко и Леонидом Пастуром, см. распределение Марченко – Пастура.

Случайное унитарное матрицы

См. круговые ансамбли.

Неэрмитовы случайные матрицы

См. круговой закон.

Справочник по ссылкам

Книги по теории случайных матриц:
Обзорные статьи по теории случайных матриц:
Исторические труды:

Литература

Внешние ссылки

Федоров Ю. (2011). «Теория случайных матриц». Scholarpedia. 6 (3): 9886. Bibcode : 2011SchpJ... 6.9886F. doi : 10.4249 / scholarpedia.9886.
Вайсштейн, Э. У. «Случайная матрица». Wolfram MathWorld.