Преобразование Лапласа, примененное к дифференциальным уравнениям

В математике, Преобразование Лапласа - это мощное интегральное преобразование, используемое для переключения функции из временной области в s-область. Преобразование Лапласа можно использовать в некоторых случаях для решения линейных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями.

Сначала рассмотрим следующее свойство преобразования Лапласа:

$L\; \{f\; \prime \}\; =\; s\; L\; \{f\}\; -\; f\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; \{f\; \text{'}\backslash \}\; =\; s\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; \{f\; \backslash \}\; -\; f\; (0)\}$

$L\; \{\; е\; ″\}\; =\; s\; 2\; L\; \{f\}\; -\; sf\; (0)\; -\; f\; \text{'}(0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; \{f\text{'}\; \text{'}\backslash \}\; =\; s\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\; \}\; \backslash \; \{f\; \backslash \}\; -\; sf\; (0)\; -f\; \text{'}(0)\}$

С помощью индукции можно доказать, что

$L\; \{f\; (n)\}\; =\; sn\; L\; \{f\}\; -\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; nsn\; -\; если\; (я\; -\; 1)\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; \{f\; ^\; \{(n)\}\; \backslash \}\; =\; s\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; \{f\; \backslash \}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; s\; ^\; \{ni\}\; f\; ^\; \{(i-1)\}\; (0)\}$

Теперь рассмотрим следующее дифференциальное уравнение:

$\sum \; я\; знак\; равно\; 0\; наивно,\; если\; (я)\; (t)\; знак\; равно\; \varphi \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{я\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{i\}\; f\; ^\; \{(i)\}\; (t)\; =\; \backslash \; phi\; (t)\; \}$

с заданными начальными условиями

$f\; (i)\; (0)\; =\; ci\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(i)\}\; (0)\; =\; c\_\; \{i\}\}$

Использование linearity преобразования Лапласа эквивалентно переписать уравнение как

$\sum \; i\; =\; 0\; nai\; L\; \{е\; (я)\; (t)\}\; знак\; равно\; L\; \{\varphi \; (t)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{i\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; \{f\; ^\; \{\; (i)\}\; (t)\; \backslash \}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; phi\; (t)\; \backslash \}\}$

получение

$L\; \{f\; (t)\}\; \sum \; i\; =\; 0\; naisi\; -\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; \sum \; J\; знак\; равно\; 1\; iaisi\; -\; JF\; (J\; -\; 1)\; (0)\; =\; L\; \{\varphi \; (t)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; \{F\; (t)\; \backslash \}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\; \}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{i\}\; s\; ^\; \{i\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{i\}\; a\_\; \{i\}\; s\; ^\; \{ij\}\; f\; ^\; \{(j-1)\}\; (0)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; phi\; (t)\; \backslash \}\}$

Решение уравнения для $L\; \{f\; (t)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; \{f\; (t)\; \backslash \}\}$и подставив $f\; (i)\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(i)\}\; (0)\}$с $ci\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{i\}\}$получаем

$L\; \{f\; (t)\}\; =\; L\; \{\varphi \; (t)\}\; +\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; \sum \; j\; =\; 1\; iaisi\; -\; jcj\; -\; 1\; \sum \; я\; =\; 0\; наиси\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; \{f\; (t)\; \backslash \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; phi\; (t)\; \backslash \}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{i\}\; a\_\; \{i\}\; s\; ^\; \{ij\}\; c\_\; \{j-1\}\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{i\}\; s\; ^\; \{i\}\}\}\}$

Решение для f (t) получается путем применения обратного преобразования Лапласа к $L\; \{f\; (t)\; \}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; \{f\; (t)\; \backslash \}.\}$

Обратите внимание, что если все начальные условия равны нулю, то есть

$f\; (i)\; (0)\; =\; ci\; =\; 0\; \forall \; i\; \in \; \{0,\; 1,\; 2,...\; n\}\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(i)\}\; (0)\; =\; c\_\; \{i\}\; =\; 0\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; i\; \backslash \; in\; \backslash \; \{0,1,2,...\; \backslash \; n\; \backslash \}\}$

, затем формула упрощается до

$f\; (t)\; =\; L\; -\; 1\; \{L\; \{\varphi \; (t)\}\; \sum \; i\; =\; 0\; naisi\}\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (t)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; phi\; (t)\; \backslash \}\; \backslash \; over\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{i\}\; s\; ^\; \{i\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

Мы хотим решить

$f\; ″\; (t)\; +\; 4\; f\; (t)\; =\; cos\; \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}\text{'}\; (t)\; +\; 4f\; (t)\; =\; \backslash \; cos\; (t)\}$

. с начальными условиями f (0) = 0 и f ′ (0) = 0.

Мы замечаем, что

$\varphi \; (t)\; =\; sin\; \; (2\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (t)\; =\; \backslash \; sin\; (2t)\}$

, и получаем

$L\; \{\varphi \; (t)\}\; знак\; равно\; 2\; s\; 2\; +\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; phi\; (t)\; \backslash \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{s\; ^\; \{2\}\; +4\}\}\}$

Тогда уравнение эквивалентно

$s\; 2\; L\; \{f\; (t)\}\; -\; sf\; (0)\; -\; f\; \prime \; (0)\; +\; 4\; L\; \{f\; (t)\}\; =\; L\; \{\varphi \; (t)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; \{f\; (t)\; \backslash \}\; -\; sf\; (0)\; -f\; \text{'}(0)\; +4\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; \{f\; (t)\; \backslash \}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; phi\; (t)\; \backslash \}\}$

Мы выводим

$L\; \{f\; (t)\}\; =\; 2\; (s\; 2\; +\; 4)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; \{f\; (t)\; \backslash \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{(s\; ^\; \{2\}\; +4)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Теперь мы применяем обратное преобразование Лапласа, чтобы получить

$f\; (t)\; Знак\; равно\; 1\; 8\; грех\; \; (2\; t)\; -\; t\; 4\; соз\; \; (2\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\}\; \backslash \; sin\; (2t)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{4\; \}\}\; \backslash \; cos\; (2t)\}$

• А. Д. Полянин, Справочник по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными для инженеров и ученых, Chapman Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9