Затухание Ландау

В физике, затухание Ландау названо в честь его первооткрывателя, Советский физик Лев Давидович Ландау (1908–68), представляет собой эффект затухания (экспоненциального уменьшения как функции времени) продольного волны пространственного заряда в плазме или подобной среде. Это явление предотвращает развитие нестабильности и создает область стабильности в пространстве параметров . Позже Дональд Линден-Белл утверждал, что подобное явление имеет место в галактической динамике, когда газ электронов, взаимодействующих с помощью электростатических сил, заменяется «газом звезд», взаимодействующим с помощью гравитационных сил. Затуханием Ландау можно точно управлять в численных моделированиях, таких как моделирование частиц в ячейках. Его существование было экспериментально доказано Мальмбергом и Уортоном в 1964 году, почти через два десятилетия после его предсказания Ландау в 1946 году.

• 1 Взаимодействие волны с частицами
• 2 Физическая интерпретация
• 3 Теоретическая физика: возмущение теория в системе Власова
• 4 Математическая теория: задача Коши для пертурбативных решений
• 5 Теоретическая физика: теория возмущений в системе отсчета из N тел
• 6 См. также
• 7 Примечания и ссылки

Затухание Ландау происходит из-за обмена энергией между электромагнитной волной с фазовой скоростью $v\; ph\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; text\; \{ph\}\}\}$и частицы в плазме со скоростью, приблизительно равной $v\; ph\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; text\; \{ph\}\}\}$, которые могут сильно взаимодействовать с волной. Частицы, скорость которых немного меньше $v\; ph\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; text\; \{ph\}\}\}$, будут ускоряться электрическим полем волны, чтобы двигаться с фазовой скоростью волны, а частицы частицы со скоростями, немного превышающими $v\; ph\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; text\; \{ph\}\}\}$, будут замедляться, теряя энергию в волне: частицы стремятся синхронизироваться с волной. Это доказано экспериментально с трубкой бегущей волны.

. В идеальной МГД плазме скорости частиц часто принимаются приблизительно равными максвелловской функции распределения. Если наклон функции отрицательный, то количество частиц со скоростями, немного меньшими, чем фазовая скорость волны, больше, чем количество частиц со скоростями немного больше. Следовательно, больше частиц получает энергию от волны, чем теряет ее, что приводит к затуханию волны. Если же наклон функции положительный, то количество частиц со скоростями, немного меньшими, чем фазовая скорость волны, меньше, чем количество частиц со скоростями немного большей. Следовательно, больше частиц теряет энергию из-за волны, чем из-за волны, что приводит к увеличению энергии волны.

Математическая теория затухания Ландау несколько сложна - см. Раздел ниже. Однако существует простая физическая интерпретация [введенная в разделе 7.5 с оговоркой], которая, хотя и не является строго правильной, помогает визуализировать это явление.

Можно представить волны Ленгмюра как волны в море, а частицы как серфингисты, пытающиеся поймать волну, движущиеся в одном направлении. Если серфер движется по поверхности воды со скоростью, немного меньшей, чем скорость волн, он в конечном итоге будет пойман и вытолкнут вдоль волны (набирая энергию), в то время как серфер, движущийся немного быстрее волны, будет толкать волну при движении. в гору (теряя энергию на волне).

Стоит отметить, что только серферы играют важную роль в этом энергетическом взаимодействии с волнами; пляжный мяч, плавающий на воде (с нулевой скоростью), будет подниматься и опускаться по мере прохождения волны, совсем не набирая энергии. Кроме того, лодка, которая движется очень быстро (быстрее волн), не обменивается большой энергией с волной.

Простое механическое описание динамики частиц обеспечивает количественную оценку синхронизации частиц с волной [Уравнение (1) из]. Более строгий подход показывает, что наиболее сильная синхронизация происходит для частиц со скоростью в волновой системе, пропорциональной скорости затухания и не зависящей от амплитуды волны [раздел 4.1.3]. Поскольку затухание Ландау происходит для волн с произвольно малыми амплитудами, это показывает, что наиболее активные частицы в этом затухании далеки от захвата. Это естественно, поскольку захват включает в себя расходящиеся временные шкалы для таких волн (в частности, $T\; ловушка\; \sim \; A\; -\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; text\; \{trap\}\}\; \backslash \; sim\; A\; ^\; \{-\; 1/2\}\}$для амплитуды волны $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$).

Теоретическое рассмотрение начинается с уравнения Власова в нерелятивистском пределе нулевого магнитного поля, множестве Власова – Пуассона уравнений. Явные решения получаются в пределах небольшого $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$-поля. Функция распределения $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и поле $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$раскрываются в ряд: $f\; =\; f\; 0\; (v)\; +\; f\; 1\; (x,\; v,\; t)\; +\; f\; 2\; (x,\; v,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; f\_\; \{0\}\; (v)\; +\; f\_\; \{1\}\; (x,\; v,\; t)\; +\; f\_\; \{2\}\; (x,\; v,\; t)\}$, $E\; =\; E\; 1\; (x,\; t)\; +\; E\; 2\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; E\_\; \{1\}\; (x,\; t)\; +\; E\_\; \{2\}\; (x,\; t)\}$и условия равного порядка собираются.

Для первого порядка уравнения Власова – Пуассона читаются как

$(\partial \; t\; +\; v\; \partial \; x)\; f\; 1\; +\; em\; E\; 1\; f\; 0\; \prime \; =\; 0,\; \partial \; x\; E\; 1\; =\; e\; ϵ\; 0\; \int \; е\; 1\; дв\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; +\; v\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\})\; f\_\; \{1\}\; +\; \{e\; \backslash \; over\; m\}\; E\_\; \{1\}\; f\; \text{'}\_\; \{0\}\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; E\_\; \{1\}\; =\; \{e\; \backslash \; over\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\}\; \backslash \; int\; f\_\; \{1\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; v\}$.

Ландау вычислил волну, вызванную начальным возмущением $е\; 1\; (Икс,\; v,\; 0)\; знак\; равно\; г\; (v)\; ехр\; \; (ikx)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\}\; (x,\; v,\; 0)\; =\; g\; (v)\; \backslash \; exp\; (ikx)\}$и с помощью преобразования Лапласа и контурного интегрирования была найдена затухающая бегущая волна вида $exp\; \; [ik\; (x\; -\; v\; ph\; t)\; -\; \gamma \; t]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; [ik\; (x-v\; \_\; \{\backslash \; text\; \{ph\}\}\; t)\; -\; \backslash \; gamma\; t]\}$с волновым числом $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$и декремент демпфирования

$\gamma \; \approx \; -\; \pi \; \omega \; p\; 3\; 2\; k\; 2\; N\; f\; 0\; \prime \; (v\; ph),\; N\; =\; \int \; f\; 0\; dv\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \backslash \; приблизительно\; -\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; omega\; \_\; \{\; p\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; over\; 2k\; ^\; \{2\}\; N\}\; f\; \text{'}\_\; \{0\}\; (v\; \_\; \{\backslash \; text\; \{ph\}\}),\; \backslash \; quad\; N\; =\; \backslash \; int\; f\_\; \{0\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; v\}$.

Здесь $\omega \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{p\}\}$- pl частота колебаний асма, а $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$- плотность электронов. Позже Нико ван Кампен доказал, что тот же результат может быть получен с помощью преобразования Фурье. Он показал, что линеаризованные уравнения Власова – Пуассона имеют непрерывный спектр сингулярных нормальных мод, теперь известных как моды Ван Кампена

$\omega \; p\; 2\; k\; N\; f\; 0\; \prime \; P\; kv\; -\; \omega \; +\; ϵ\; \delta \; (v\; -\; \omega \; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{p\}\; ^\; \{2\}\}\; \{kN\}\}\; f\; \text{'}\_\; \{0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \{kv-\; \backslash \; omega\}\}\; +\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; дельта\; \backslash \; left\; (v\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\}\; \{k\}\}\; \backslash \; right)\}$

, в котором $P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\}$означает главное значение, $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$- дельта-функция (см. обобщенная функция ) и

$ϵ\; =\; 1\; +\; \omega \; p\; 2\; k\; N\; \int \; f\; 0\; \prime \; P\; \omega \; -\; kvdv\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{p\}\; ^\; \{2\}\}\; \{kN\}\}\; \backslash \; int\; f\; \text{'}\_\; \{0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \{\backslash \; omega\; -kv\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; v\}$

- диэлектрическая проницаемость плазмы. Разложив исходное возмущение в этих модах, он получил спектр Фурье результирующей волны. Затухание объясняется фазовым смешением этих мод Фурье с немного разными частотами около $\omega \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{p\}\}$.

Было неясно, как затухание может происходить в бесстолкновительной плазме: где же волновая энергия идет? В теории жидкости, в которой плазма моделируется как диспергирующая диэлектрическая среда, энергия ленгмюровских волн известна: энергия поля, умноженная на коэффициент Бриллюэна $\partial \; \omega \; (\omega \; ϵ)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; omega\}\; (\backslash \; omega\; \backslash \; epsilon)\}$. Но в этой модели невозможно получить демпфирование. Для расчета энергообмена волны с резонансными электронами теория плазмы Власова должна быть расширена до второго порядка, и возникают проблемы с подходящими начальными условиями и вековыми членами.

В справ. эти проблемы изучаются. Поскольку вычисления для бесконечной волны во втором порядке недостаточны, анализируется волновой пакет . Найдены начальные условия второго порядка, которые подавляют секулярное поведение и возбуждают волновой пакет, энергия которого согласуется с теорией жидкости. На рисунке показана плотность энергии волнового пакета, движущегося с групповой скоростью , при этом его энергия уносится электронами, движущимися с фазовой скоростью. Общая энергия, площадь под кривыми, сохраняется.

Строгая математическая теория основана на решении задачи Коши для эволюционного уравнения (здесь частный производный Власова – Пуассона уравнение) и доказательство оценок решения.

Сначала со времен Ландау была разработана довольно полная линеаризованная математическая теория.

Выход за рамки линеаризованного уравнения и рассмотрение нелинейности было давней проблемой математической теории затухания Ландау. Ранее одним математическим результатом на нелинейном уровне было существование класса экспоненциально затухающих решений уравнения Власова – Пуассона в круге, что было доказано с помощью метода рассеяния (этот результат был недавно расширен). Однако эти результаты существования ничего не говорят о том, какие исходные данные могут привести к таким затухающим решениям.

В недавней статье решена проблема с исходными данными и впервые математически установлено затухание Ландау для нелинейного уравнения Власова. Доказано, что решения, начинающиеся в некоторой окрестности (для аналитической топологии или топологии Жевре) линейно устойчивого однородного стационарного решения, (орбитально) устойчивы во все времена и глобально затухают во времени. Явление затухания переосмысливается в терминах передачи регулярности $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$как функции $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$соответственно, а не обмен энергией. Крупномасштабные вариации переходят в вариации все меньшего и меньшего масштаба в пространстве скоростей, что соответствует сдвигу спектра Фурье $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$как функции $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$. Этот сдвиг, хорошо известный в линейной теории, оказывается справедливым в нелинейном случае.

Выражение диэлектрической проницаемости плазмы, аналогичное приведенному выше, но соответствующее преобразованию Лапласа, используемому Ландау, может быть получено просто в N-образная рама. Один рассматривает (однокомпонентную) плазму, в которой в качестве частиц присутствуют только электроны, а ионы просто обеспечивают однородный нейтрализующий фон. Принцип расчета основан на рассмотрении фиктивного линеаризованного движения отдельной частицы в единственной фурье-компоненте ее собственного электрического поля. Полный расчет сводится к суммированию соответствующего результата по всем частицам $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$и всем компонентам Фурье. Власовское выражение для диэлектрической проницаемости плазмы, наконец, восстанавливается путем подстановки интеграла по гладкой функции распределения для дискретной суммы по частицам в диэлектрической проницаемости плазмы N тел. Вместе с затуханием Ландау этот механический подход также обеспечивает расчет экранирования Дебая, или экранирования электрического поля, в плазме.

• Список статей по плазме (физике)

1. ^ Ландау Л. «О колебаниях электронной плазмы». ЖЭТФ 16 (1946), 574. Английский перевод в J. Phys. (СССР) 10 (1946), 25. Воспроизведено в Сборнике статей Л.Д. Ландау, отредактированный и с введением Д. тер Хаара, Pergamon Press, 1965, стр. 445–460; и в Men of Physics: L.D. Ландау, т. 2, Pergamon Press, D. ter Haar, ed. (1965).
2. ^ Чен, Фрэнсис Ф. Введение в физику плазмы и управляемый синтез. Второе издание, 1984 Plenum Press, Нью-Йорк.
3. ^Линден-Белл, Д. (1962). «Устойчивость и колебания звездного газа». Пн. Не. R. Astron. Soc. 124 (4): 279–296. Bibcode : 1962MNRAS.124..279L. doi : 10.1093 / mnras / 124.4.279.
4. ^Бинни, Дж., И Тремейн, С. Галактическая динамика, второе изд. Принстонская серия в астрофизике. Princeton University Press, 2008.
5. ^У Мён, Чанг; Ку Ли, Джэ (2014). «Влияние конечной амплитуды на затухание Ландау и уменьшение переноса захваченных электронов». Журнал Физического общества Японии. 83 (7): 074502. Bibcode : 2014JPSJ... 83g4502M. doi : 10.7566 / jpsj.83.074502.
6. ^Malmberg, J. H.; Уортон, К. Б. (1964-08-10). «Бесстолкновительное затухание электростатических плазменных волн». Письма с физическим обзором. 13 (6): 184–186. Bibcode : 1964PhRvL..13..184M. doi : 10.1103 / PhysRevLett.13.184.
7. ^Ландау, Л.Д. «О колебаниях электронной плазмы». Ж. Эксп. Теор. Физ. 16 : 574–86 (перепечатано 1965 г., Сборник статей Ландау эд Д тер Хаара (Оксфорд: Пергамон), стр. 445–60).
8. ^Цурутани, B.; Лахина, Г. (1997). «Некоторые основные концепции взаимодействия волны с частицами в бесстолкновительной плазме». Обзоры геофизики. 35 (4): 491–502. Bibcode : 1997RvGeo..35..491T. doi : 10.1029 / 97rg02200.
9. ^ Doveil, F.; Escande, D. F.; Макор, А. (2005-03-04). «Экспериментальное наблюдение нелинейной синхронизации одной волны». Письма с физическим обзором. 94 (8): 085003. Bibcode : 2005PhRvL..94h5003D. doi : 10.1103 / PhysRevLett.94.085003. PMID 15783900.
10. ^Эсканд, Доминик; Эльскенс, Ив (2002-10-23). Микроскопическая динамика плазмы и хаоса. Микроскопическая динамика плазмы и хаоса. Серия: Серия по физике плазмы. Серия по физике плазмы. 12. Bibcode : 2002SPP.... 12..... E. doi : 10.1201 / 9781420033953. ISBN 9780750306126.
11. ^ван Кампен, Н. Г., «К теории стационарных волн в плазме», Physica 21 (1955), 949–963. См. http://theor.jinr.ru/~kuzemsky/kampenbio.html
12. ^Ландау, Л. Д., Лифшиц, Э. М., Электродинамика сплошных сред, §80, Pergamon Press (1984).
13. ^Бест, Роберт В. Б., "Энергия и плотность импульса затухающего Ландау волнового пакета", J. Plasma Phys. 63 (2000), 371-391
14. ^См., Например, Бэкус Г. «Линеаризованные колебания плазмы в произвольных распределениях электронов». J. Math. Phys. 1 (1960), 178–191, 559. Дегонд П. Спектральная теория линеаризованного уравнения Власова – Пуассона. Пер. Амер. Математика. Soc. 294, 2 (1986), 435–453. Маслов, В. П., Федорюк, М. В. "Линейная теория затухания Ландау". Мат. Сб. (N.S.) 127 (169), 4 (1985), 445–475, 559.
15. ^Caglioti, E.; Маффеи, К. (1998). «Асимптотика по времени решений уравнения Власова – Пуассона в круге». J. Statist. Phys. 92 : 1–2, 301–323. doi : 10.1023 / A: 1023092317419.
16. ^Хван, Х. Дж. И Веласкес Дж. Дж. Л. «О существовании экспоненциально убывающих решений нелинейной задачи затухания Ландау», Indiana Univ. Математика. J. 68, 6 (2009), 2623–2660
17. ^Мухо, К., Виллани, К. «О затухании Ландау», Acta Math. 207, 1 (2011), 29–201 (процитировано для Медали Филдса, присужденной Седрику Виллани в 2010 году)
18. ^Escande, D. F; Doveil, F; Эльскенс, Ив (2016). "N-тело описание экранирования Дебая и затухания Ландау". Физика плазмы и управляемый термоядерный синтез. 58 (1): 014040. arXiv : 1506.06468. Bibcode : 2016PPCF... 58a4040E. doi :10.1088/0741-3335/58/1/014040.