По физике, уравнение Ландау – Лифшица – Гильберта, названное в честь Льва Ландау, Евгения Лифшица, и, это имя, используемое для дифференциального уравнения описывающее прецессионное движение намагниченности Mв твердом теле. Это модификация Гильбертом исходного уравнения Ландау и Лифшица.
Различные формы уравнения обычно используются в микромагнетике для моделирования воздействия магнитного поля на ферромагнитные материалы. В частности, его можно использовать для моделирования поведения магнитных элементов во временной области под действием магнитного поля. В уравнение был добавлен дополнительный член для описания влияния спин-поляризованного тока на магниты.
В ферромагнетике намагниченность Mможет изменяться внутри, но в каждой точке его величина равна намагниченности насыщения Ms. Уравнение Ландау – Лифшица – Гильберта предсказывает вращение намагниченности в ответ на крутящие моменты. Более раннее, но эквивалентное уравнение (уравнение Ландау – Лифшица) было введено Ландау и Лифшицем (1935) :
(1) |
где γ - гиромагнитное отношение электрона . а λ - феноменологический параметр демпфирования, часто заменяемый на
где α - безразмерная постоянная, называемая коэффициентом затухания. Эффективное поле Heff представляет собой комбинацию внешнего магнитного поля, размагничивающего поля (магнитного поля, обусловленного намагниченностью) и некоторых квантово-механических эффектов. Чтобы решить это уравнение, необходимо включить дополнительные уравнения для размагничивающего поля.
Используя методы необратимой статистической механики, многие авторы независимо получили уравнение Ландау – Лифшица.
В 1955 году Гилберт заменил демпфирующий член в уравнении Ландау – Лифшица (LL) на член, который зависит от производной намагниченности по времени:
(2b) |
Это уравнение Ландау – Лифшица – Гильберта (LLG), где η - параметр демпфирования, характерный для материала. Его можно преобразовать в уравнение Ландау – Лифшица:
(2a) |
где
В этой форме В уравнении ЛЛ член прецессии γ 'зависит от демпфирующего члена. Это лучше отражает поведение реальных ферромагнетиков при большом затухании.
В 1996 г. Слончевский расширил модель, чтобы учесть крутящий момент с передачей спина, то есть крутящий момент, индуцированный при намагничивании спин -поляризованным током, протекающим через ферромагнетик. Обычно это выражается в единицах момента, определяемых как m= M/ M S:
где - безразмерный параметр демпфирования, и являются движущими моментами, а x - единичный вектор вдоль поляризация тока.