Теорема Крейна – Рутмана

редактировать

В функциональном анализе Теорема Крейна – Рутмана является обобщением теоремы Перрона – Фробениуса на бесконечномерные банаховы пространства. Это было доказано Керином и Рутманом в 1948 году.

Утверждение

Пусть $X {\ displaystyle X}$ $X$ быть банаховым пространством, и пусть $K ⊂ X {\ displaystyle K \ subset X}$ $К \ подмножество Икс$ будет выпуклым конусом таким, что $K - K {\ displaystyle KK}$ ${\ displaystyle KK}$ является плотным в $X {\ displaystyle X}$ $X$ , т.е. закрытие множества ${u - v: u, v ∈ K} = X {\ displaystyle \ {uv: u, \, v \ in K \} = X}$ ${\ displaystyle \ {uv: u, \, v \ in K \} = X}$ . $K {\ displaystyle K}$ $К$ также известен как a общий конус . Пусть $T: X → X {\ displaystyle T: X \ to X}$ ${\ displaystyle T: X \ к X}$ будет ненулевым компактным оператором, который является положительным, что означает, что $T (K) ⊂ K {\ displaystyle T (K) \ subset K}$ ${\ displaystyle T (K) \ subset K}$ , и предположим, что его спектральный радиус $r (T) {\ displaystyle r (T)}$ ${\ displaystyle r (T)}$ строго положительный.

Тогда $r (T) {\ displaystyle r (T)}$ ${\ displaystyle r (T)}$ является собственным значением из $T {\ displaystyle T}$ $T$ с положительным собственным вектором, что означает, что существует $u ∈ K ∖ 0 {\ displaystyle u \ in K \ setminus {0}}$ ${\ displaystyle u \ in K \ setminus {0}}$ такое, что $T (u) = r (T) u {\ displaystyle T (u) = r (T) u}$ ${\ displaystyle T (u) = r (T) u}$ .

Теорема Де Пагтера

Если положительный оператор $T {\ displaystyle T}$ $T$ считается идеальной неприводимой, а именно, не существует идеала $J ≠ 0 {\ displaystyle J \ neq 0}$ ${\ displaystyle J \ neq 0}$ , $X {\ displaystyle X}$ $X$ такого, что $TJ ⊂ J {\ displaystyle TJ \ subset J}$ ${ \ displaystyle TJ \ subset J}$ , тогда теорема де Пагтера утверждает, что $r (T)>0 {\ displaystyle r (T)>0}$ $r(T)>0$ .

Следовательно, для идеальных неприводимых операторов предположение $r (T)>0 {\ displaystyle r (T)>0}$ $r(T)>0$ не требуется.

Ссылки