Уравнения Колмогорова

редактировать

В теории вероятностей, уравнения Колмогорова, в том числе прямые уравнения Колмогорова и обратные уравнения Колмогорова, характеризуют случайные процессы. В частности, они описывают, как вероятность того, что случайный процесс находится в определенном состоянии, изменяется с течением времени.

Содержание

1 Диффузионные процессы и скачковые процессы
2 История
3 Современный взгляд
4 Пример из биологии
5 Ссылки

Диффузионные процессы и скачковые процессы

В 1931 году Андрей Колмогоров начал с теории марковских процессов с дискретным временем, которые описываются уравнением Чепмена-Колмогорова, и стремился вывести теорию непрерывных время марковские процессы, расширяя это уравнение. Он обнаружил, что существует два типа марковских процессов с непрерывным временем, в зависимости от предполагаемого поведения в течение небольших интервалов времени:

Если вы предположите, что «в небольшом временном интервале существует подавляющая вероятность того, что состояние останется без изменений; однако, если оно изменится, изменение может быть радикальным », - Бен Шмасе, тогда вы попадаете в так называемые процессы перехода.

Другой случай приводит к процессам, подобным тем, которые« представлены диффузией и броуновским движением ; там несомненно, что какое-то изменение произойдет в любом временном интервале, каким бы малым он ни был; только здесь несомненно, что изменения в течение небольших временных интервалов также будут небольшими ».

Для каждого из этих двух типов процессов Колмогоров вывел прямую и обратную системы уравнений (всего четыре).

История

Уравнения названы в честь Андрея Колмогорова, поскольку они были выделены в его основополагающей работе 1931 года.

Уильям Феллер в 1949 году использовал называет «прямое уравнение» и «обратное уравнение» для своей более общей версии пары Колмогорова, как в скачкообразных, так и в диффузионных процессах. Намного позже, в 1956 году, он назвал уравнения для процесса скачка «уравнениями Колмогорова вперед» и «уравнениями Колмогорова назад».

Другие авторы, такие как Мотоо Кимура, ссылались на уравнение диффузии (Фоккера – Планка) как прямое уравнение Колмогорова, название, которое сохранилось.

Современный взгляд

В контексте марковского процесса с непрерывным временем с скачками, см. уравнения Колмогорова (процесс марковского скачка). В частности, в естественных науках прямое уравнение также известно как основное уравнение.
. В контексте процесса диффузии для обратных уравнений Колмогорова см. Колмогоровские обратные уравнения (диффузия). Прямое уравнение Колмогорова также известно как уравнение Фоккера – Планка.

Пример из биологии

Ниже приводится один пример из биологии:

pn ′ (t) = (n - 1) β pn - 1 (t) - n β pn (t) {\ displaystyle p_ {n} '(t) = (n-1) \ beta p_ {n-1} (t) -n \ beta p_ {n} (t)}

p_{n}'(t)=(n-1)\beta p_{n-1}(t)-n\beta p_{n}(t)

Это уравнение применяется к модели роста населения при рождении. Где $n {\ displaystyle n}$ $n$ - это индекс населения со ссылкой на исходное население, $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ - коэффициент рождаемости, и, наконец, $pn (t) = Pr (N (t) = n) {\ displaystyle p_ {n} (t) = \ Pr (N (t) = n)}$ ${\ displaystyle p_ {n} (t) = \ Pr (N (t) = n)}$ , то есть вероятность достижения определенного размера популяции.

Аналитическое решение:

pn (t) = (n - 1) β e - n β t ∫ 0 tpn - 1 (s) en β sds {\ displaystyle p_ {n} (t) = (n-1) \ beta \ mathrm {e} ^ {- n \ beta t} \ int _ {0} ^ {t} \! p_ {n-1 } (s) \, \ mathrm {e} ^ {n \ beta s} \ mathrm {d} s}

{\ displaystyle p_ {n} (t) = (n-1) \ beta \ mathrm {e} ^ {- n \ beta t} \ int _ {0} ^ {t} \! p_ {n-1} ( s) \, \ mathrm {e} ^ {n \ be ta s} \ mathrm {d} s}

Это формула для плотности $pn (t) {\ displaystyle p_ {n} ( t)}$ ${\ displaystyle p_ {n} (t)}$ в терминах предыдущих, например, $pn - 1 (t) {\ displaystyle p_ {n-1} (t)}$ ${\ displaystyle p_ {n-1} (t)}$ .

Ссылки