Неравенство Караматы

В математике, неравенство Карамата, названный в честь Йована Карамата, также известный как неравенство мажорирования, является теоремой в элементарной алгебре для выпуклых и вогнутых вещественных функций, определенных на отрезке вещественной прямой. Он обобщает дискретную форму неравенства Йенсена и, в свою очередь, обобщает понятие выпуклых функций по Шуру.

• 1 Формулировка неравенства
• 2 Замечания
• 3 Пример
• 4 Доказательство неравенства
• 5 ссылки
• 6 Внешние ссылки

Пусть я быть промежутком в прямом и пусть е обозначит вещественную, выпуклую функцию, определенную на I. Если x 1,…, x n и y 1,…, y n - числа в I такие, что ( x 1,…, x n ) мажорирует ( y 1,…, y n ), то

${\ displaystyle f (x_ {1}) + \ cdots + f (x_ {n}) \ geq f (y_ {1}) + \ cdots + f (y_ {n}).}$

( 1 )

Здесь мажоризация означает, что x 1,…, x n и y 1,…, y n удовлетворяет

${\ Displaystyle х_ {1} \ geq x_ {2} \ geq \ cdots \ geq x_ {п}}$     а также     ${\ displaystyle y_ {1} \ geq y_ {2} \ geq \ cdots \ geq y_ {n},}$

( 2 )

и у нас есть неравенства

${\ displaystyle x_ {1} + \ cdots + x_ {i} \ geq y_ {1} + \ cdots + y_ {i}}$      для всех i ∈ {1,…, n - 1}.

( 3 )

и равенство

${\ displaystyle x_ {1} + \ cdots + x_ {n} = y_ {1} + \ cdots + y_ {n}}$

( 4 )

Если f   - строго выпуклая функция, то неравенство ( 1 ) выполняется с равенством тогда и только тогда, когда x i = y i для всех i ∈ {1,…, n }.

• Если выпуклая функция F   является не убывает, то доказательство ( 1 ) ниже, и обсуждение равенства в случае строгой выпуклости показывает, что равенство ( 4 ) может быть ослаблено до

  ${\ displaystyle x_ {1} + \ cdots + x_ {n} \ geq y_ {1} + \ cdots + y_ {n}.}$

  ( 5 )

• Неравенство ( 1 ), восстанавливается, если F   является вогнутым, так как в этом случае функции - F   выпукло.

Конечная форма неравенства Йенсена является частным случаем этого результата. Рассмотрим действительные числа x 1,…, x n ∈ I и пусть

${\ displaystyle a: = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}$

обозначают их среднее арифметическое. Тогда ( x 1,…, x n ) мажорирует n -набор ( a, a,…, a ), поскольку среднее арифметическое i самых больших чисел из ( x 1,…, x n ) не меньше, чем среднее арифметическое a всех n чисел для каждого i ∈ {1,…, n - 1}. По неравенству Карамата ( 1 ) для функции выпукло е,

${\ Displaystyle f (x_ {1}) + f (x_ {2}) + \ cdots + f (x_ {n}) \ geq f (a) + f (a) + \ cdots + f (a) = nf (а).}$

Деление на n дает неравенство Дженсена. Знак меняется на противоположный, если f   вогнутая.

Мы можем предположить, что числа расположены в порядке убывания, как указано в ( 2 ).

Если x i = y i для всех i ∈ {1,…, n }, то неравенство ( 1 ) выполняется с равенством, поэтому в дальнейшем мы можем предполагать, что x i ≠ y i хотя бы для одного i.

Если x i = y i для i ∈ {1,…, n - 1}, то неравенство ( 1 ) и свойства мажорирования ( 3 ) и ( 4 ) не изменяются, если мы удалим x i и y i. Следовательно, мы можем считать, что x i ≠ y i для всех i ∈ {1,…, n - 1}.

Это свойство выпуклых функций, что для двух чисел х ≠ у в интервале I наклона

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {f (x) -f (y)} {xy}}}$

от секущей линии через точку ( х, е  ( х )) и ( у, ф  ( у )) на графике из F   является монотонно неубывающей функцией х для у фиксированного (и наоборот ). Это означает, что

${\ displaystyle c_ {i + 1}: = {\ frac {f (x_ {i + 1}) - f (y_ {i + 1})} {x_ {i + 1} -y_ {i + 1}} } \ leq {\ frac {f (x_ {i}) - f (y_ {i})} {x_ {i} -y_ {i}}} =: c_ {i}}$

( 6 )

для всех i ∈ {1,…, n - 1}. Определите A 0 = B 0 = 0 и

${\ displaystyle A_ {i} = x_ {1} + \ cdots + x_ {i}, \ qquad B_ {i} = y_ {1} + \ cdots + y_ {i}}$

для всех i ∈ {1,…, n }. По свойству мажоризации ( 3 ) A i ≥ B i для всех i ∈ {1,…, n - 1} и по ( 4 ) A n = B n. Следовательно,

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ bigl (} f (x_ {i}) - f (y_ {i}) {\ bigr)} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x_ {i} -y_ {i}) \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} {\ bigl (} \ underbrace {A_ {i} -A_ {i-1}} _ {= \, x_ {i}} {} - (\ underbrace {B_ {i} -B_ {i-1}} _ {= \, y_ {i}}) {\ bigr)} \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (A_ {i} -B_ {i}) - \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (A_ {i-1} -B_ {i-1}) \\ amp; = c_ {n} (\ underbrace {A_ {n} -B_ {n}} _ {= \, 0}) + \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} (\ underbrace {c_ {i} -c_ {i + 1}} _ {\ geq \, 0}) (\ underbrace {A_ {i } -B_ {i}} _ {\ geq \, 0}) - c_ {1} (\ underbrace {A_ {0} -B_ {0}} _ {= \, 0}) \\ amp; \ geq 0, \ конец {выровнено}}}$

( 7 )

что доказывает неравенство Караматы ( 1 ).

Чтобы обсудить случай равенства в ( 1 ), заметим, что x 1 gt; y 1 по ( 3 ) и нашему предположению x i ≠ y i для всех i ∈ {1,…, n - 1}. Пусть i - наименьший индекс такой, что ( x i, y i ) ≠ ( x i +1, y i +1 ), который существует в силу ( 4 ). Тогда A i gt; B i. Если f   строго выпуклый, то в ( 6 ) есть строгое неравенство, означающее, что c i +1 lt; c i. Следовательно, в сумме в правой части ( 7 ) есть строго положительный член и равенство в ( 1 ) не может выполняться.

Если выпуклая функция f   неубывающая, то c n ≥ 0. Расслабленное условие ( 5 ) означает, что A n ≥ B n, чего достаточно, чтобы заключить, что c n ( A n - B n ) ≥ 0 на последнем шаге ( 7 ).

Если функция f   строго выпуклая и неубывающая, то c n gt; 0. Остается обсудить только случай A n gt; B n. Однако тогда в правой части ( 7 ) стоит строго положительный член и равенство в ( 1 ) не может выполняться.

Объяснение теории неравенства и мажоризации Караматы можно найти здесь.