Холл Круги

График Найквиста передаточной функции разомкнутого цикла $G\; (s)\; =\; 1\; /\; (s\; +\; 0,5)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (s)\; =\; 1\; /\; (\; s\; +\; 0.5)\}$синим цветом с наложенными на график кружками M и N. Круг M с M = 0,45 выделен красным и пересекает график Найквиста на частотах $\omega \; \approx \; \pm \; 1,64\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; pm\; 1,64\}$.

круги Холла (также известные как M- кружки и N-кружки) - это графический инструмент в теории управления, используемый для получения значений передаточной функции с обратной связью из графика Найквиста (или график Николса ) связанной передаточной функции разомкнутого контура. Круги Холла были введены в теорию управления Альбертом Холлом в его диссертации.

• 1 Конструкция
• 2 Использование
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 Ссылки

Рассмотрим линейную систему управления с обратной связью с передаточной функцией без обратной связи, задаваемой передаточной функцией $G\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (s)\}$и с единичным усилением в цепи обратной связи. Передаточная функция замкнутого цикла задается выражением $T\; (s)\; =\; G\; (s)\; 1\; +\; G\; (s)\; \{\backslash \; textstyle\; T\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{G\; (s)\}\; \{1\; +\; G\; (s))\}\}\}$.

Чтобы проверить стабильность T (s), можно использовать критерий устойчивости Найквиста с графиком Найквиста передаточной функции G (s) без обратной связи. Обратите внимание, однако, что только график Найквиста G (s) не дает фактических значений T (s). Чтобы получить эту информацию от G (s) -плоскости, Холл предложил построить геометрическое место точек на G (s) -плоскости так, чтобы T (s) имело постоянную величину, а также геометрическое место точек. точки на G (s) -плоскости такие, что T (s) имеет постоянный фазовый угол.

Для заданного положительного действительного значения M, представляющего фиксированную величину, и обозначения G (s) через z, точки, удовлетворяющие

$M\; =\; |\; Т\; (с)\; |\; =\; |\; G\; (s)\; |\; |\; 1\; +\; G\; (s)\; |\; =\; |\; z\; |\; |\; 1\; +\; z\; |\; \{\backslash \; Displaystyle\; M\; =\; |\; T\; (s)\; |\; =\; \{\backslash \; frac\; \{|\; G\; (s)\; |\}\; \{|\; 1\; +\; G\; (s)\; |\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{|\; z\; |\}\; \{|\; 1\; +\; z\; |\}\; \}\}$задаются точками z на G (s) -плоскости, так что отношение расстояния между z и 0 и расстояния между z и -1 равно M. Точки z, удовлетворяющие этому условию геометрического места являются кругами Аполлония, и это место известно в контексте систем управления как M-круги.

Для заданного положительного действительного значения N, представляющего фазовый угол, точки, удовлетворяющие

$N\; =\; arg\; \; [G\; (s)\; 1\; +\; G\; (s)]\; =\; arg\; \; [G\; (s)]\; -\; arg\; \; [1\; +\; G\; (s)]\; знак\; равно\; arg\; \; [z]\; -\; arg\; \; [1\; +\; z]\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; \backslash \; arg\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{G\; (s)\}\; \{1\; +\; G\; (s)\}\}\; \backslash \; right\; ]\; =\; \backslash \; arg\; [G\; (s)]\; -\; \backslash \; arg\; [1\; +\; G\; (s)]\; =\; \backslash \; arg\; [z]\; -\; \backslash \; arg\; [1\; +\; z]\}$задаются точками z в G (s) -плоскость так, чтобы угол между -1 и z и угол между 0 и z был постоянным. Другими словами, угол, противоположный отрезку прямой между -1 и 0, должен быть постоянным. Это означает, что точки z, удовлетворяющие этому условию геометрического места, являются дугами окружностей, и это геометрическое место известно в контексте систем управления как N-окружности. График Николса передаточной функции 1 / с (1 + s) (1 + 2s) вместе с измененными кружками M и N.

Чтобы использовать круги Холла, график M и N. кружки нанесены на график Найквиста передаточной функции без обратной связи. Точки пересечения этих графиков дают соответствующее значение передаточной функции с обратной связью.

Круги Холла также используются с графиком Николса и в этой настройке также известны как диаграмма Николса. Вместо прямого наложения кругов Холла на график Николса, точки кругов переносятся в новую систему координат, где ордината задается как $20\; log\; 10\; \; (|\; G\; (s)\; |)\; \{\backslash \; displaystyle\; 20\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; (|\; G\; (s)\; |)\}$, а абсцисса дается как $arg\; \; (G\; (s))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arg\; (G\; (s))\}$. Преимущество использования диаграммы Николса состоит в том, что регулировка усиления передаточной функции разомкнутого контура напрямую отражается на перемещении вверх и вниз графика Николса на диаграмме.

• График Найквиста
• График Николса

• Кацухико, Огата (2002). Современная контрольная техника (4-е изд.). Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0130609072. OCLC 46619221.
• С., Найз, Норман (2008). Системы управления (5-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 9780471794752. OCLC 154798791.