Разложение Гордона

В математической физике, Разложение Гордона (названо в честь Уолтера Гордона ) тока Дирака - это разделение тока заряда или числа частиц на часть, возникающую из движения центра масс частиц, и часть, которая возникает из градиентов спиновой плотности. В нем явно используется уравнение Дирака, и поэтому он применяется только к решениям уравнения Дирака "на оболочке".

• 1 Исходное утверждение
  • 1.1 Доказательство
  • 1.2 Полезность
• 2 Безмассовое обобщение
• 3 Плотность углового момента
• 4 Спин в уравнениях Максвелла
• 5 Ссылки

Для любого решения $\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\}$массивного уравнения Дирака,

$(i\; \gamma \; \mu \; \nabla \; \mu \; -\; m)\; \psi \; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; (i\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; -m)\; \backslash \; psi\; =\; 0,\}$

ковариантное число Лоренца-ток $j\; \mu \; =\; \psi \; ¯\; \gamma \; \mu \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; j\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi\}$может быть выражено как

$\psi \; ¯\; \gamma \; \mu \; \psi \; =\; i\; 2\; m\; (\psi \; ¯\; \nabla \; \mu \; \psi \; -\; (\nabla \; \mu \; \psi \; ¯)\; \psi )\; +\; 1\; м\; \partial \; \nu \; (\psi \; ¯\; \Sigma \; \mu \; \nu \; \psi ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; i\}\; \{2m\}\}\; (\{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \backslash \; nabla\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi\; -\; (\backslash \; nabla\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\})\; \backslash \; psi)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{m\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; (\{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; \backslash \; psi),\}$

где

$\Sigma \; \mu \; \nu \; =\; i\; 4\; [\; \gamma \; \mu ,\; \gamma \; \nu ]\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{4\}\}\; [\backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\},\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; nu\}]\}$

спинор генератор Лорента z преобразования.

Соответствующая версия в импульсном пространстве для решений с плоскими волнами $u\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (p)\}$и $u\; ¯\; (p\; \text{'})\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; bar\; \{u\}\}\; (p\; \text{'})\}$подчиняется

$(\gamma \; \mu \; p\; \mu \; -\; m)\; u\; (p)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; p\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \}\; -m)\; u\; (p)\; =\; 0\}$

$u\; ¯\; (p\; \prime )\; (\gamma \; \mu \; p\; \mu \; \prime \; -\; m)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{u\}\}\; (p\; \text{'})\; (\backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; p\; \text{'}\_\; \{\backslash \; mu\}\; -m)\; =\; 0,\}$

равно

$u\; ¯\; (p\; \prime )\; \gamma \; \mu \; u\; (p)\; =\; u\; ¯\; (p\; \prime )\; [(p\; +\; p\; \prime )\; \mu \; 2\; м\; +\; я\; \sigma \; \mu \; \nu \; (п\; \text{'}-\; р)\; \nu \; 2\; м]\; U\; (п),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{u\}\}\; (р\text{'})\; \backslash \; гамма\; ^\; \{\backslash \; му\}\; и\; (р)\; =\; \{\backslash \; bar\; \{u\}\}\; (p\; \text{'})\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{(p\; +\; p\text{'})\; ^\; \{\backslash \; mu\}\}\; \{2m\}\}\; +\; i\; \backslash \; sigma\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; \{\backslash \; frac\; \{(\; p\text{'}-p)\; \_\; \{\backslash \; nu\}\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; right]\; u\; (p)\; ~,\}$

где

$\sigma \; \mu \; \nu \; =\; 2\; \Sigma \; \mu \; \nu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; 2\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}.\}$

Доказательство

Из уравнения Дирака видно, что

$\psi \; ¯\; \gamma \; \mu \; (\; м\; \psi )\; знак\; равно\; \psi \; ¯\; \gamma \; \mu \; (я\; \gamma \; \nu \; \nabla \; \nu \; \psi )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (m\; \backslash \; psi)\; =\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (i\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; \backslash \; psi)\}$

и из сопряженного уравнения Дирака

$(\psi \; ¯\; m)\; \gamma \; \mu \; \psi \; =\; (\; (\nabla \; \nu \; \psi \; ¯)\; (-\; i\; \gamma \; \nu ))\; \gamma \; \mu \; \psi .\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; m)\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi\; =\; ((\backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\})\; (-\; я\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; nu\}))\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi.\}$

Сложение этих двух уравнений дает

$\psi \; ¯\; \gamma \; \mu \; \psi \; =\; i\; 2\; m\; (\psi \; ¯\; \gamma \; \mu \; \gamma \; \nu \; \nabla \; \nu \; \psi \; -\; (\nabla \; \nu \; \psi \; ¯)\; \gamma \; \nu \; \gamma \; \mu \; \psi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{2m\}\}\; (\{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; \backslash \; psi\; -\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\})\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi).\}$

Из алгебры Дирака можно показать, что матрицы Дирака удовлетворяют

$\gamma \; \mu \; \gamma \; \nu \; =\; \eta \; \mu \; \nu \; -\; i\; \sigma \; \mu \; \nu \; =\; \eta \; \nu \; \mu \; +\; i\; \sigma \; \nu \; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; =\; \backslash \; eta\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; -i\; \backslash \; sigma\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; \backslash \; eta\; ^\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; mu\}\; +\; я\; \backslash \; sigma\; ^\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; mu\}.\}$

Используя это соотношение,

$\psi \; ¯\; \gamma \; \mu \; \psi \; =\; i\; 2\; m\; (\psi \; ¯\; (\eta \; \mu \; \nu \; -\; i\; \sigma \; \mu \; \nu )\; \nabla \; \nu \; \psi \; -\; (\nabla \; \nu \; \psi \; ¯)\; (\eta \; \mu \; \nu \; +\; я\; \sigma \; \mu \; \nu )\; \psi ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{2m\}\}\; (\{\backslash \; бар\; \{\backslash \; psi\}\}\; (\backslash \; eta\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; -i\; \backslash \; sigma\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\})\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; \backslash \; psi\; -\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; \{\backslash \; bar\; \{\; \backslash \; psi\}\})\; (\backslash \; eta\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; +\; i\; \backslash \; sigma\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\})\; \backslash \; psi),\}$

что представляет собой разложение Гордона после некоторой алгебры.

Утилита

Вторая, зависящая от спина, часть тока, связанная с полем фотона, $-\; A\; \mu \; j\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; -A\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; j\; ^\; \{\; \backslash \; mu\}\}$дает с точностью до игнорируемого полного расхождения

$-\; e\; 2\; mc\; \partial \; \nu \; A\; \mu \; \psi \; ¯\; \sigma \; \nu \; \mu \; \psi \; =\; -\; e\; \hslash \; 2\; mc\; 1\; 2\; F\; \mu \; \nu \; \psi \; ¯\; \sigma \; \mu \; \nu \; \psi ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{е\; \backslash \; hbar\}\; \{2mc\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; A\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \backslash \; sigma\; ^\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; mu\}\; \backslash \; psi\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{e\; \backslash \; hbar\}\; \{2mc\}\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; F\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \backslash \; sigma\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; \backslash \; psi,\}$

то есть эффективный моментный член Паули, $-\; (e\; \hslash \; /\; 2\; mc)\; B\; \to \; \cdot \; \psi \; †\; \sigma \; \to \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; (e\; \backslash \; hbar\; /\; 2mc)\; \{\backslash \; vec\; \{B\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; psi\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; psi\}$.

Это разложение тока на поток числа частиц (первый член) и вклад связанного спина (второй член) требует $m\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; neq\; 0\}$.

Если предположить, что данное решение имеет энергию $E\; =\; |\; k\; |\; 2\; +\; m\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; |\; ^\; \{2\}\; +\; m\; ^\; \{2\}\}\}\}$так что $\psi \; (r,\; t)\; знак\; равно\; \psi \; (г)\; ехр\; \; \{-\; я\; E\; t\}\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; psi\; (\{\backslash \; mathbf\; \{r\}\},\; t)\; =\; \backslash \; psi\; (\{\backslash \; mathbf\; \{r\}\})\; \backslash \; exp\; \backslash \; \{-\; iEt\; \backslash \; \}\}$, можно получить разложение, справедливое как для массивных, так и для безмассовых случаев.

Снова используя уравнение Дирака, можно найти, что

$j\; \equiv \; e\; \psi \; ¯\; \gamma \; \psi \; =\; e\; 2\; i\; E\; (\psi \; †\; \nabla \; \psi \; -\; (\nabla \; \psi \; †)\; \psi )\; +\; e\; E\; (\nabla \; \times \; S).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{j\}\}\; \backslash \; Equiv\; e\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \backslash \; psi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\}\; \{2iE\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; psi\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; psi\; -\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; psi\; ^\; \{\backslash \; dagger\})\; \backslash \; psi\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{e\}\; \{E\}\}\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\}).\}$

Здесь $\gamma \; =\; (\gamma \; 1,\; \gamma \; 2,\; \gamma \; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; gamma\}\}\; =\; (\backslash \; gamma\; ^\; \{1\},\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\},\; \backslash \; gamma\; ^\; \{3\; \})\}$и $S\; =\; \psi \; †\; S\; ^\; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; =\; \backslash \; psi\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\}\}\; \backslash \; psi\}$с $(S\; ^\; x,\; S\; ^\; y,\; S\; ^\; z)\; =\; (\Sigma \; 23,\; \Sigma \; 31,\; \Sigma \; 12),\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; hat\; \{S\}\}\; \_\; \{x\},\; \{\backslash \; hat\; \{S\}\}\; \_\; \{y\},\; \{\backslash \; hat\; \{S\}\}\; \_\; \{z\})\; =\; (\backslash \; Sigma\; ^\; \{23\},\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{31\},\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{12\}),\}$так, чтобы

$S\; ^\; =\; 1\; 2\; [\sigma \; 0\; 0\; \sigma ],\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right],\}$

где $\sigma \; =\; (\sigma \; Икс,\; \sigma \; Y,\; \sigma \; Z)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; =\; (\backslash \; sigma\; \_\; \{x\},\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\},\; \backslash \; sigma\; \_\; \{z\})\}$- вектор матриц Паули.

с числом частиц d Величина определяется как $\rho \; =\; \psi \; †\; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; \backslash \; psi\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; psi\}$, а для решения конечной протяженности почти плоско-волнового решения можно интерпретировать первый член разложения как текущий $jfree\; =\; e\; \rho \; k\; /\; E\; =\; e\; \rho \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{j\}\}\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{free\}\}\; =\; e\; \backslash \; rho\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\; \}\; /\; E\; =\; e\; \backslash \; rho\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}$, из-за частиц, движущихся со скоростью $v\; =\; k\; /\; E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; =\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; /\; E\}$.

Второй член, $jbound\; =\; (e\; /\; E)\; \nabla \; \times \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{j\}\}\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{bound\}\}\; =\; (e\; /\; E)\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\}\}$- ток, возникающий из-за градиентов плотности собственного магнитного момента. Сам магнитный момент находится интегрированием по частям, чтобы показать, что

$\mu \; =\; 1\; 2\; \int \; r\; \times \; jboundd\; 3\; x\; =\; 1\; 2\; \int \; r\; \times \; (e\; E\; \nabla \; \times \; S)\; d\; 3\; x\; =\; e\; E\; \int \; S\; d\; 3\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; rm\; \{\}\}\; \{=\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathbf\; \{j\; \}\}\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{bound\}\}\; \backslash ,\; d\; ^\; \{3\}\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{e\}\; \{\; E\}\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; d\; ^\; \{3\}\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\}\; \{E\}\}\; \backslash \; int\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; \backslash ,\; d\; ^\; \{\; 3\}\; x\; ~.\}$

Для одиночной массивной частицы в ее системе покоя, где $E\; =\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; m\}$, магнитный момент уменьшается до

$\mu \; D\; irac\; =\; (em)\; S\; =\; (например,\; 2\; м)\; S.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{Dirac\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{e\}\; \{m\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{eg\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\}.\}$

где $|\; S\; |\; =\; \hslash \; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; |\; =\; \backslash \; hbar\; /\; 2\}$и $g\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; 2\}$- это Значение Дирака гиромагнитного отношения.

Для одиночной безмассовой частицы, подчиняющейся правостороннему уравнению Вейля, спин-1/2 привязан к направлению $k\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\}\}$его кинетического момента, и магнитный момент становится

$\mu \; W\; eyl\; =\; (e\; E)\; \hslash \; k\; ^\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{Weyl\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{e\}\; \{E\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\; \}\}\}\}\; \{2\}\}.\}$

Как для массивного, так и для безмассового случая, есть также выражение для плотности импульса как часть симметричного Белинфанте – Розенфельда тензор напряжения-энергии

$TBR\; \mu \; \nu \; =\; i\; 4\; (\psi \; ¯\; \gamma \; \mu \; \nabla \; \nu \; \psi \; -\; (\nabla \; \nu \; \psi \; ¯)\; \gamma \; \mu \; \psi \; +\; \psi \; ¯\; \gamma \; \nu \; \nabla \; \mu \; \psi \; -\; (\nabla \; \mu \; \psi \; ¯)\; \gamma \; \nu \; \psi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{BR\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{4\}\}\; (\{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; nabla\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; \backslash \; psi\; -\; (\backslash \; nabla\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\})\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi\; +\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; \backslash \; nabla\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi\; -\; (\backslash \; nabla\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\})\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; \backslash \; psi).\}$

Используя уравнение Дирака, можно вычислить $TBR\; 0\; \mu \; знак\; равно\; (E,\; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{BR\}\}\; ^\; \{0\; \backslash \; mu\}\; =\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\},\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\})\}$чтобы найти плотность энергии равной $E\; =\; E\; \psi \; †\; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; =\; E\; \backslash \; psi\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; psi\}$, а плотность импульса

$P\; =\; 1\; 2\; i\; (\psi \; †\; (\nabla \; \psi )\; -\; (\nabla \; \psi \; †)\; \psi )\; +\; 1\; 2\; \nabla \; \times \; S.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2i\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; psi\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; psi)\; -\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; psi\; ^\; \{\backslash \; dagger\})\; \backslash \; psi\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\}.\}$

Если бы использовать несимметричный канонический тензор энергии-импульса

$T\; канонический\; \mu \; \nu \; знак\; равно\; я\; 2\; (\psi \; ¯\; \gamma \; \mu \; \nabla \; \nu \; \psi \; -\; (\nabla \; \nu \; \psi \; ¯)\; \gamma \; \mu \; \psi ),\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{canonical\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{2\; \}\}\; (\{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; nabla\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; \backslash \; psi\; -\; (\backslash \; nabla\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\})\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi),\}$

невозможно найти связанный вклад спинового импульса.

Путем интегрирования по частям получается, что вклад спина в полный угловой момент равен

$r\; \times \; (1\; 2\; \nabla \; \times \; S)\; d\; 3\; x\; =\; \int \; S\; d\; 3\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; d\; ^\; \{3\}\; x\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; \backslash ,\; d\; ^\; \{3\}\; x.\}$

Это то, что ожидается, поэтому деление на 2 спинового вклада в плотность импульса необходимо. Отсутствие деления на 2 в формуле для тока отражает гиромагнитное отношение электрона $g\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; 2\}$. Другими словами, градиент спиновой плотности в два раза эффективнее создает электрический ток, чем вносит вклад в линейный импульс.

На основании векторной формы Римана – Зильберштейна уравнений Максвелла, Майкл Берри использует Стратегия Гордона для получения калибровочно-инвариантных выражений для собственной плотности спинового углового момента для решений уравнений Максвелла.

Он предполагает, что решения являются монохроматическими, и использует выражения фазора $E\; =\; E\; (г)\; е\; -\; я\; \omega \; T\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{E\}\}\; =\; \{\backslash \; mathbf\; \{E\}\}\; (\{\backslash \; mathbf\; \{r\}\})\; e\; ^\; \{-\; я\; \backslash \; omega\; t\}\}$, $H\; Знак\; равно\; ЧАС\; (г)\; е\; -\; я\; \omega \; T\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{H\}\}\; =\; \{\backslash \; mathbf\; \{H\}\}\; (\{\backslash \; mathbf\; \{r\}\})\; e\; ^\; \{-\; я\; \backslash \; омега\; т\}\}$. Среднее по времени значение плотности импульса вектора Пойнтинга определяется следующим образом:

$⟨P⟩\; =\; 1\; 4\; c\; 2\; [E\; \ast \; \times \; H\; +\; E\; \times \; H\; \ast ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; mathbf\; \{P\; \}\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4c\; ^\; \{2\}\}\}\; [\{\backslash \; mathbf\; \{E\}\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathbf\; \{H\}\}\; +\; \{\backslash \; mathbf\; \{E\}\}\; \backslash \; times\; \{\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\}\; ^\; \{*\}]\}$

$=\; ϵ\; 0\; 4\; я\; \omega \; [E\; \ast \; \cdot \; (\nabla \; E)\; -\; (\nabla \; E\; \ast )\; \cdot \; E\; +\; \nabla \; \times \; (E\; \ast \; \times \; E)]\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\}\; \{4i\; \backslash \; omega\}\}\; [\{\backslash \; mathbf\; \{E\}\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; nabla\; \{\backslash \; mathbf\; \{E\}\})\; -\; (\backslash \; nabla\; \{\backslash \; mathbf\; \{E\}\}\; ^\; \{*\})\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathbf\; \{E\}\}\; +\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; (\{\backslash \; mathbf\; \{E\}\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathbf\; \{E\}\})]\}$

$=\; \mu \; 0\; 4\; i\; \omega \; [H\; \ast \; \cdot \; (\nabla \; H)\; -\; (\nabla \; H\; \ast )\; \cdot \; H\; +\; \nabla \; \times \; (H\; \ast \; \times \; H)].\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\; \{4i\; \backslash \; omega\}\}\; [\{\backslash \; mathbf\; \{H\}\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; nabla\; \{\backslash \; mathbf\; \{H\}\})\; -\; (\backslash \; nabla\; \{\backslash \; mathbf\; \{H\}\}\; ^\; \{*\})\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathbf\; \{H\}\}\; +\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; (\{\backslash \; mathbf\; \{H\}\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathbf\; \{H\}\})].\; \}$

Мы использовали уравнения Максвелла при переходе от первой ко второй и третьей строкам и в таких выражениях, как $H\; \ast \; \cdot \; (\nabla \; H)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{H\}\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; nabla\; \{\backslash \; mathbf\; \{H\}\})\}$скалярное произведение находится между полями, так что векторный символ определяется $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\}$.

As

$P\; tot\; =\; P\; свободный\; +\; P\; связанный,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\}\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{tot\}\}\; =\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\}\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{free\}\}\; +\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\}\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{bound\}\},\}$

и для жидкости с собственной плотностью углового момента $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\}\}$мы имеем

$P\; bound\; =\; 1\; 2\; \nabla \; \times \; S,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\}\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{bound\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\; \},\}$

эти тождества предполагают, что спиновая плотность может быть идентифицирована как

$S\; =\; \mu \; 0\; 2\; я\; \omega \; H\; \ast \; \times \; H\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\; \{2i\; \backslash \; omega\}\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{H\}\}\; ^\; \{\; *\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathbf\; \{H\}\}\}$

или

$S\; =\; ϵ\; 0\; 2\; i\; \omega \; E\; \ast \; \times \; E.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\}\; \{2i\; \backslash \; omega\}\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{E\}\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathbf\; \{E\}\}.\}$

Два разложения совпадают, когда поле параксиально. Они также совпадают, когда поле является состоянием чистой спиральности, то есть когда $E\; =\; i\; \sigma \; c\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{E\}\}\; =\; i\; \backslash \; sigma\; c\; \{\backslash \; mathbf\; \{B\}\}\}$где спиральность $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$принимает значения $\pm \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; 1\}$для света, который направлен вправо или влево по кругу поляризованы соответственно. В остальных случаях они могут отличаться.