Глобальное гиперболическое многообразие

редактировать

В математической физике, глобальная гиперболичность - это определенное условие на причинная структура пространственно-временного многообразия (то есть лоренцево многообразие). Это называется гиперболическим, потому что фундаментальное условие, которое порождает лоренцево многообразие:

$t 2 - r 2 = T 2 {\ displaystyle t ^ {2} -r ^ {2} = T ^ {2}}$ ${\ displaystyle t ^ {2} -r ^ {2} = T ^ {2}}$

(t и r - обычные переменные времени и радиуса), которое является одним из обычных уравнений, представляющих гиперболу. Но это выражение верно только относительно обычного происхождения; в этой статье изложены основы для обобщения концепции на любую пару точек в пространстве-времени. Это относится к теории Альберта Эйнштейна по общей теории относительности и, возможно, к другим метрическим теориям гравитации.

Содержание

1 Определения
2 Примечания
3 См. Также
4 Ссылки

Определения

Существует несколько эквивалентных определений глобальной гиперболичности. Пусть M - гладкое связное лоренцево многообразие без края. Мы сделаем следующие предварительные определения:

M не является полностью порочным, если существует хотя бы одна точка, через которую не проходит никакая замкнутая времениподобная кривая.
M является причинной, если она не имеет замкнутых причинных кривых.
M - это не полное заключение, если в компактном наборе нет нерастяжимой причинной кривой. Это свойство подразумевает причинность.
M является строго причинным, если для каждой точки p и любой окрестности U точки p существует причинно выпуклая окрестность V точки p, содержащаяся в U, где причинная выпуклость означает, что любая причинная кривая с концами в V полностью содержится в V. Это свойство подразумевает не полное заключение.
Для любой точки p в M, $J + (p) {\ displaystyle J ^ {+} (p)}$ $J^{+}(p)$ [соотв. $J - (p) {\ displaystyle J ^ {-} (p)}$ $J ^ {-} (p)$ ] - это набор точек, которых может достичь ориентированный на будущее [соотв. направленная в прошлое] непрерывная причинная кривая, начинающаяся с p.
Для данного подмножества S из M область зависимости S - это множество всех точек p в M таких, что каждая непродолжительная причинная кривая, проходящая через p, пересекает S.
Подмножество S из M является ахрональным, если никакая времениподобная кривая не пересекает S более одного раза.
A Поверхность Коши для M является замкнутым ахрональным множеством, область зависимости которого равна M.

условия эквивалентны:

Пространство-время причинно, и для каждой пары точек p и q в M пространство непрерывных направленных в будущее причинных кривых от p до q компактно в $C 0 {\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0}}$ topology.
Пространство-время имеет поверхность Коши.
Пространство-время причинно, и для каждой пары точек p и q в M подмножество $J - (p) ∩ J + (q) {\ displaystyle J ^ {-} (p) \ cap J ^ {+} (q)}$ $J ^ {-} (p) \ cap J ^ {+} (q)$ компактно.
Пространство-время не является полным заключением, и для каждой пары точек p и q в M подмножество $J - (p) ∩ J + (q) {\ displaysty le {J ^ {-} (p) \ cap J ^ {+} (q)}}$ ${\ displaystyle {J ^ {-} ( p) \ cap J ^ {+} (q)}}$ содержится в компактном множестве (то есть его замыкание компактно).

Если любой из эти условия выполнены, мы говорим, что M является глобально гиперболическим. Если M - гладкое связное лоренцево многообразие с краем, мы говорим, что оно глобально гиперболическое, если его внутренность глобально гиперболична.

В других эквивалентных характеристиках глобальной гиперболичности используется понятие лоренцевого расстояния $d (p, q): = sup γ l (γ) {\ displaystyle d (p, q): = \ sup _ {\ gamma} l (\ gamma)}$ ${\ displaystyle d (p, q): = \ sup _ {\ gamma} l (\ gamma) }$ где супремум берется по всем $C 1 {\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ {1}$ причинным кривым, соединяющим точки (по соглашению d = 0, если такой кривой нет). Они являются

строго причинным пространством-временем, для которого $d {\ displaystyle d}$ $d$ имеет конечные значения.
Неполное заточенное пространство-время такое, что $d {\ displaystyle d}$ $d$ является непрерывным для каждого выбора метрики в конформном классе исходной метрики.

Замечания

Глобальная гиперболичность в первой форме, приведенной выше, была введена Лере для того, чтобы рассмотреть корректность задачи Коши для волнового уравнения на многообразии. В 1970 году Герох доказал эквивалентность определений 1 и 2. Определение 3 в предположении сильной причинности и его эквивалентность первым двум было дано Хокингом и Эллисом.

Как упоминалось в более ранней литературе, условие причинность в первом и третьем определениях глобальной гиперболичности, данных выше, заменяется более сильным условием сильной причинности. В 2007 году Бернал и Санчес показали, что условие сильной причинности может быть заменено причинностью. В частности, любое глобально гиперболическое многообразие, как определено в п. 3, является сильно причинным. Позже Хуннонкпе и Мингуцци доказали, что для вполне разумных пространств-времени, точнее тех из них размерности больше трех, которые некомпактны или не полностью порочны, «причинное» условие может быть исключено из определения 3.

В определении 3 закрытие $J - (p) ∩ J + (q) {\ displaystyle J ^ {-} (p) \ cap J ^ {+} (q)}$ $J ^ {-} (p) \ cap J ^ {+} (q)$ кажется сильным (в Фактически, замыкания множеств $J ± (p) {\ displaystyle J ^ {\ pm} (p)}$ ${\ displaystyle J ^ {\ pm} (p)}$ подразумевают причинную простоту, уровень причинной иерархии пространств-времени, который остается чуть ниже глобальная гиперболичность). Эту проблему можно решить, усилив условие причинности, как в определении 4, предложенном Мингуцци в 2009 году. Эта версия поясняет, что глобальная гиперболичность устанавливает условие совместимости между причинной связью и понятием компактности: каждый причинный алмаз содержится в компактном множестве и всякая непродолжаемая причинная кривая ускользает от компактов. Заметьте, что чем больше семейство компактов, тем легче каузальным алмазам содержаться в некотором компакте, но тем труднее причинным кривым избежать компактов. Таким образом, глобальная гиперболичность уравновешивает обилие компактных множеств по отношению к причинной структуре. Поскольку более тонкие топологии имеют менее компактные множества, мы также можем сказать, что баланс находится на количестве открытых множеств с учетом причинной связи. Определение 4 также устойчиво к возмущениям метрики (которые в принципе могут ввести замкнутые причинные кривые). Фактически, с помощью этой версии было показано, что глобальная гиперболичность устойчива по отношению к метрическим возмущениям.

В 2003 году Бернал и Санчес показали, что любое глобально гиперболическое многообразие M имеет гладкую вложенную трехмерную поверхность Коши, и, более того, что любые две поверхности Коши для M диффеоморфны. В частности, M диффеоморфен произведению поверхности Коши на $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ . Ранее было хорошо известно, что любая поверхность Коши глобально гиперболического многообразия является вложенным трехмерным $C 0 {\ displaystyle C ^ {0}}$ $C ^ 0$ подмногообразием, любые два из которых гомеоморфны, и такое, что многообразие топологически расщепляется как произведение поверхности Коши и $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ . В частности, глобально гиперболическое многообразие расслаивается поверхностями Коши.

Ввиду формулировки начального значения для уравнений Эйнштейна глобальная гиперболичность рассматривается как очень естественное условие в контексте общей теории относительности в том смысле, что при произвольных начальных данных является единственным максимальным глобально гиперболическим решением уравнений Эйнштейна.

См. Также

Ссылки

^J. К. Бим, П. Э. Эрлих и К. Л. Изли, "Глобальная лоренцевская геометрия". Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc. (1996).
^Жан Лерэ, «Гиперболические дифференциальные уравнения». Заметки на мимеографе, Princeton, 1952.
^Роберт П. Героч, «Область зависимости», Journal of Mathematical Physics 11, (1970) 437, 13pp
^Стивен Хокинг и Джордж Эллис, «The Large Масштабная структура пространства-времени ». Кембридж: Издательство Кембриджского университета (1973).
^Антонио Н. Бернал и Мигель Санчес, «Глобально гиперболическое пространство-время может быть определено как« причинное », а не« строго причинное »», Классическая и квантовая гравитация 24(2007), нет. 3, 745–749 [1]
^Раймонд Н. Хуннонкпе и Этторе Мингуцци, «Глобально гиперболическое пространство-время можно определить без« причинного »условия», Классическая и квантовая гравитация 36(2019), 197001 [2]
^E. Мингуцци и М. Санчес, «Причинная иерархия пространств-времени», в «Последние разработки в псевдоримановой геометрии» ESI Lect. Математика. Phys., Под редакцией Х. Баум и Д. Алексеевский (Издательство Европейского математического общества (EMS), Цюрих, 2008), с. 299 [3]
^Этторе Мингуцци, «Характеристика некоторых условий причинности через непрерывность лоренцевского расстояния», Journal of Geometry and Physics 59(2009), 827–833 [ 4]
^JJ Бенавидес Наварро и Э. Мингуцци, «Глобальная гиперболичность стабильна в интервальной топологии», Journal of Mathematical Physics 52(2011), 112504 [5]
^Антонио Н. Берналь и Мигель Санчес, «О гладких гиперповерхностях Коши и теореме Героха о расщеплении», Сообщения по математической физике 243 (2003), нет. 3, 461–470 [6]

Хокинг, Стивен; Эллис, Г. Ф. Р. (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4.
Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности. Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-87033-2.