Войти
Нечеткая математика образует раздел математики, включая теорию нечетких множеств и нечеткую логику. Это началось в 1965 году после публикации основополагающей работы Лотфи Аскер Заде « Нечеткие множества».
Нечеткое подмножество из множества X является функцией : Х → L, где L представляет собой интервал [0, 1]. Эта функция также называется функцией принадлежности. Функция принадлежности - это обобщение индикаторной функции (также называемой характеристической функцией ) подмножества, определенного для L = {0, 1}. В более общем плане, можно использовать любой полную решетку L в определении нечеткого подмножества A.
Эволюцию фаззификации математических понятий можно разбить на три этапа:
Обычно фаззификация математических понятий основана на обобщении этих понятий от характеристических функций до функций принадлежности. Пусть и B два нечетких подмножества X. Пересечение ∩ B и объединение ∪ B определены следующим образом: ( ∩ B) ( х) = мин ( ( х), В ( х)), ( ∪ B) ( х) = тах ( ( х), в ( х)) для всех х в X. Вместо min и max можно использовать t-норму и t-конорму соответственно, например, min ( a, b) можно заменить умножением ab. Прямая фаззификация обычно основана на минимальных и максимальных операциях, потому что в этом случае на нечеткий случай можно распространить больше свойств традиционной математики.
Важным принципом обобщения, используемым при фаззификации алгебраических операций, является свойство замыкания. Пусть * будет бинарная операция на X. Свойство замыкания для нечеткого подмножества A в X состоит в том, что для всех x, y в X, A ( x * y ) ≥ min ( A ( x ), A ( y )). Пусть ( G, *) является группой и нечеткое подмножество G. Тогда является нечетким подгруппа из G, если для всех х, у в G, А ( х * у -1) ≥ мин ( ( х), ( у -1)).
Аналогичный принцип обобщения используется, например, для фаззификации свойства транзитивности. Пусть R нечеткое отношение на X, т.е. R является нечеткое подмножество X × X. Тогда R транзитивно (Нечетко-), если для всех х, у, г в X, Р ( х, г ) ≥ мин ( Р ( х, у ), R ( у, г )).
Нечеткие подгруппы и нечеткие подгруппы были введены в 1971 г. А. Розенфельдом.
Аналоги других математических предметов были переведены в нечеткую математику, например, теория нечеткого поля и нечеткая теория Галуа, нечеткая топология, нечеткая геометрия, нечеткие упорядочения и нечеткие графы.
