Теория нечеткой меры

В математике, нечеткая теория меры рассматривает обобщаются меры, в которых свойство аддитивности заменяется более слабым свойством монотонности. Центральным понятием теории нечеткой меры является нечеткая мера (также емкость, см.), Которая была введена Шоке в 1953 г. и независимо определена Сугено в 1974 г. в контексте нечетких интегралов. Существует ряд различных классов нечетких мер, включая меры правдоподобия / убежденности ; возможность / необходимость мер; и вероятностные меры, которые являются подмножеством классических мер.

• 1 Определения
• 2 Свойства нечетких мер
• 3 представление Мебиуса
• 4 Предположения упрощения для нечетких мер
  • 4,1 Sugeno λ -мера
    • 4.1.1 Определение
  • 4.2 k -аддитивная нечеткая мера
    • 4.2.1 Определение
• 5 Шепли и индексы взаимодействия
• 6 См. Также
• 7 ссылки
• 8 Дальнейшее чтение
• 9 Внешние ссылки

Пусть быть универсум дискурса, является класс из подмножеств в, и. Функция, где ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle g: {\ mathcal {C}} \ to \ mathbb {R}}$

1. ${\ Displaystyle \ emptyset \ в {\ mathcal {C}} \ Rightarrow г (\ emptyset) = 0}$
2. ${\ Displaystyle E \ substeq F \ Rightarrow g (E) \ leq g (F)}$

называется нечеткой мерой. Нечеткая мера называется нормализованной или регулярной, если. ${\ Displaystyle г (\ mathbf {X}) = 1}$

Нечеткая мера:

• добавка, если для любого такого, что у нас есть ;${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle E \ cap F = \ emptyset}$${\ displaystyle g (E \ cup F) = g (E) + g (F).}$
• супермодульный, если таковой имеется ;${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle г (E \ чашка F) + г (E \ cap F) \ geq g (E) + g (F)}$
• субмодульный, еслиесть;${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle г (Е \ чашка F) + г (Е \ крышка F) \ Leq г (Е) + г (F)}$
• супераддитив, если для любого такого, что у нас есть ;${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle E \ cap F = \ emptyset}$${\ Displaystyle г (Е \ чашка F) \ geq g (E) + g (F)}$
• субаддитив, если для любого такого, что у нас есть ;${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle E \ cap F = \ emptyset}$${\ Displaystyle г (Е \ чашка F) \ Leq г (Е) + г (F)}$
• симметричный, если для любого, мы подразумеваем ;${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle | E | = | F |}$${\ Displaystyle г (Е) = г (F)}$
• Boolean, если есть, у нас есть или.${\ displaystyle E \ in {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle g (E) = 0}$${\ displaystyle g (E) = 1}$

Понимание свойств нечетких мер полезно в приложениях. Когда нечеткая мера используется для определения функции, такой как интеграл Сугено или интеграл Шоке, эти свойства будут иметь решающее значение для понимания поведения функции. Например, интеграл Шоке по аддитивной нечеткой мере сводится к интегралу Лебега. В дискретных случаях симметричная нечеткая мера приведет к оператору упорядоченного взвешенного усреднения (OWA). Субмодульные нечеткие меры приводят к выпуклым функциям, в то время как супермодульные нечеткие меры приводят к вогнутым функциям при использовании для определения интеграла Шоке.

Пусть г нечеткая мера, представление Мёбиуса г задается множество функций М, где для каждого, ${\ displaystyle E, F \ substeq X}$

${\ Displaystyle M (E) = \ sum _ {F \ substeq E} (- 1) ^ {| E \ backslash F |} g (F).}$

Эквивалентные аксиомы в представлении Мёбиуса:

1. ${\ Displaystyle М (\ emptyset) = 0}$.
2. ${\ Displaystyle \ сумма _ {F \ substeq E | я \ in F} M (F) \ geq 0}$, для всех и всех${\ Displaystyle E \ substeq \ mathbf {X}}$${\ displaystyle i \ in E}$

Нечеткая мера в представлении Мёбиуса M называется нормализованной, если${\ displaystyle \ sum _ {E \ substeq \ mathbf {X}} M (E) = 1.}$

Представление Мёбиуса может использоваться, чтобы указать, какие подмножества X взаимодействуют друг с другом. Например, аддитивная нечеткая мера имеет значения Мебиуса, все равные нулю, за исключением одиночных чисел. Нечеткую меру g в стандартном представлении можно восстановить из формы Мёбиуса с помощью преобразования Дзета:

${\ displaystyle g (E) = \ sum _ {F \ substeq E} M (F), \ forall E \ substeq \ mathbf {X}.}$

Нечеткие меры определены на полукольце множеств или монотонном классе, который может быть таким же гранулярным, как набор степеней X, и даже в дискретных случаях количество переменных может достигать 2 ^{| X |}. По этой причине в контексте анализа решений по нескольким критериям и других дисциплин были введены упрощающие предположения о нечеткой мере, чтобы ее определение и использование было менее затратным с вычислительной точки зрения. Например, когда предполагаются, нечеткая мера является аддитивной, он будет считать, что и значение нечеткой меры может быть оценено из значений на X. Аналогично симметричная нечеткая мера однозначно определяется формулой | X | ценности. Две важные нечеткие меры, которые можно использовать, - это Сугено- или -нечеткая мера и k -аддитивные меры, введенные Сугено и Грабишем соответственно. ${\ Displaystyle г (Е) = \ сумма _ {я \ in E} г (\ {я \})}$${\ displaystyle \ lambda}$

Сугено λ -мера

Мера Сугено - это частный случай нечетких мер, определяемых итеративно. Он имеет следующее определение: ${\ displaystyle \ lambda}$

Определение

Позвольте быть конечным набором и пусть. Суджен -мер является функция таким образом, что ${\ displaystyle \ mathbf {X} = \ left \ lbrace x_ {1}, \ dots, x_ {n} \ right \ rbrace}$${\ Displaystyle \ лямбда \ в (-1, + \ infty)}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle g: 2 ^ {X} \ to [0,1]}$

1. ${\ displaystyle g (X) = 1}$.
2. если (альтернативно) с помощью then.${\ Displaystyle А, В \ substeq \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle А, В \ ин 2 ^ {\ mathbf {X}}}$${\ Displaystyle A \ cap B = \ emptyset}$${\ Displaystyle г (А \ чашка В) = г (А) + г (В) + \ лямбда г (А) г (В)}$

По соглашению, значение g для одноэлементного набора называется плотностью и обозначается. Кроме того, у нас есть то, что удовлетворяет свойству ${\ displaystyle \ left \ lbrace x_ {i} \ right \ rbrace}$${\ Displaystyle г_ {я} = г (\ влево \ lbrace x_ {я} \ вправо \ rbrace)}$${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ lambda + 1 = \ prod _ {i = 1} ^ {n} (1+ \ lambda g_ {i})}$.

Тахани и Келлер, а также Ван и Клир показали, что, как только плотности известны, можно использовать предыдущий многочлен для получения значений однозначно. ${\ displaystyle \ lambda}$

k -аддитивная нечеткая мера

К -аддитивно нечеткая мера ограничивает взаимодействие между подмножествами до размера. Это резко сокращает количество переменных, необходимых для определения нечеткой меры, и, поскольку k может быть любым от 1 (в этом случае нечеткая мера является аддитивной) до X, это позволяет достичь компромисса между возможностью моделирования и простотой. ${\ Displaystyle E \ substeq X}$${\ displaystyle | E | = k}$

Определение

Дискретная нечеткая мера g на множестве X называется k-аддитивной (), если ее представление Мёбиуса проверяет, всякий раз, когда для любого, и существует подмножество F с k элементами такое, что. ${\ Displaystyle 1 \ Leq К \ Leq | \ mathbf {X} |}$${\ Displaystyle M (E) = 0}$${\ displaystyle | E |gt; k}$${\ Displaystyle E \ substeq \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle М (F) \ neq 0}$

В теории игр, то значение Шепли или индекс Шепли используется для обозначения веса игры. Значения Шепли могут быть рассчитаны для нечетких мер, чтобы дать некоторое представление о важности каждого сингла. В случае аддитивных нечетких мер значение Шепли будет таким же, как у каждого синглтона.

Для данной нечеткой меры g и индекс Шепли для каждого равен: ${\ Displaystyle | \ mathbf {X} | = п}$${\ Displaystyle я, \ точки, п \ в X}$

${\ Displaystyle \ phi (я) = \ сумма _ {E \ substeq \ mathbf {X} \ обратная косая черта \ {я \}} {\ frac {(n- | E | -1)! | E |!} {п !}} [g (E \ cup \ {i \}) - g (E)].}$

Значение Шепли - это вектор ${\ displaystyle \ mathbf {\ phi} (g) = (\ psi (1), \ dots, \ psi (n)).}$

• Теория вероятности
• Теория возможностей

• Беляков, Прадера и Кальво, Функции агрегирования: Руководство для практиков, Спрингер, Нью-Йорк, 2007.
• Ван, Чжэньюань и Джордж Дж. Клир, Fuzzy Measure Theory, Plenum Press, Нью-Йорк, 1991.

• Теория нечетких мер при обработке нечетких изображений