Уравнение Фишера

Не путать с уравнением Фишера в финансовой математике. Численное моделирование уравнения Фишера – КПП. Цветами: решение u ( t, x); точками: наклон, соответствующий теоретической скорости бегущей волны. Рональд Фишер в 1913 году

В математике, уравнение Фишера (названный после того, как статистик и биолог Ronald Fisher ), также известный как уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова (имени Андрея Колмогорова, И. Петровского и Н. Пискунов ), уравнение КРР или уравнение Фишера-КРР является дифференциальное уравнение :

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - D {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} = ru (1-u). \,}$

Это своего рода система реакции-диффузии, которую можно использовать для моделирования роста населения и распространения волн.

• 1 Детали
• 2 Уравнение КПП
• 3 См. Также
• 4 ссылки
• 5 Внешние ссылки

Уравнение Фишера относится к классу уравнений реакции-диффузии : по сути, это одно из простейших полулинейных уравнений реакции-диффузии, имеющее неоднородный член

${\ Displaystyle е (и, х, т) = ру (1-и), \,}$

которые могут отображать решения с бегущей волной, которые переключаются между состояниями равновесия, заданными формулой. Такие уравнения встречаются, например, в экологии, физиологии, горении, кристаллизации, физике плазмы и в общих задачах фазовых переходов. ${\ displaystyle f (u) = 0}$

Фишер предложил это уравнение в своей статье 1937 года «Волна продвижения полезных генов в контексте популяционной динамики», чтобы описать пространственное распространение выгодного аллеля, и исследовал его решения в виде бегущей волны. Для любой скорости волны ( в безразмерном виде) он допускает решения бегущей волны вида ${\ displaystyle c \ geq 2 {\ sqrt {rD}}}$${\ displaystyle c \ geq 2}$

${\ Displaystyle и (Икс, T) = v (х \ pm ct) \ эквив v (г), \,}$

где растет и ${\ displaystyle \ textstyle v}$

${\ displaystyle \ lim _ {z \ rightarrow - \ infty} v \ left (z \ right) = 0, \ quad \ lim _ {z \ rightarrow \ infty} v \ left (z \ right) = 1.}$

То есть решение переключается из состояния равновесия u = 0 в состояние равновесия u = 1. Такого решения не существует при c  lt;2. Форма волны для данной скорости волны уникальна. Решения с бегущей волной устойчивы к возмущениям ближнего поля, но не к возмущениям дальнего поля, которые могут утолщать хвост. Используя принцип сравнения и теорию суперрешений, можно доказать, что все решения с компактными начальными данными сходятся к волнам с минимальной скоростью.

Для специальной волновой скорости все решения можно найти в замкнутом виде с ${\ displaystyle c = \ pm 5 / {\ sqrt {6}}}$

${\ displaystyle v (z) = \ left (1 + C \ mathrm {exp} \ left (\ mp {z} / {\ sqrt {6}} \ right) \ right) ^ {- 2}}$

где произвольно, а указанные выше предельные условия выполняются при. ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle Cgt; 0}$

Доказательство существования решений с бегущей волной и анализ их свойств часто выполняется методом фазового пространства.

В том же 1937 году, когда Фишер, Колмогоров, Петровский и Пискунов ввели более общее уравнение реакции-диффузии

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} = F (u)}$

где - достаточно гладкая функция со свойствами that и для всех. Это также относится к решениям с бегущей волной, обсуждавшимся выше. Уравнение Фишера получается после установки и изменения масштаба координаты с коэффициентом. Более общий пример дается с. Колмогоров, Петровский и Пискунов обсуждали этот пример в контексте популяционной генетики. ${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle F (0) = F (1) = 1, F '(0) = rgt; 0}$${\ Displaystyle F (v)gt; 0, F '(v) lt;r}$${\ displaystyle 0 lt;v lt;1}$${\ Displaystyle F (u) = ru (1-u)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ sqrt {D}}}$${\ Displaystyle F (u) = ru (1-u ^ {q})}$${\ displaystyle qgt; 0}$${\ displaystyle q = 2}$

• Список статей по плазме (физике)
• Уравнение Аллена – Кана

• Уравнение Фишера на MathWorld.
• Уравнение Фишера на EqWorld.