Экспорт (логика)

редактировать

Экспорт - это действительное правило замены в логика высказываний. Правило позволяет заменять условные операторы , имеющие конъюнктивы антецеденты, на утверждения, имеющие условные консеквенты, и наоборот в логических доказательствах. Это правило:

$((P ∧ Q) → R) ⇔ (P → (Q → R)) {\ displaystyle ((P \ land Q) \ to R) \ Leftrightarrow (P \ to (Q \ to R))}$ ${\ displaystyle ((P \ land Q) \ to R) \ Leftrightarrow (P \ to (Q \ to R))}$

Где " $⇔ {\ displaystyle \ Leftrightarrow}$ $\ Leftrightarrow$ " - это металогический символ, представляющий ", можно заменить в доказательство с. "

Содержание

1 Формальная нотация
2 Естественный язык
- 2.1 Истинные значения
- 2.2 Пример
3 Доказательство
4 Связь с функциями
5 Ссылки

Формальная нотация

Правило экспорта может быть записано в записи sequent :

((P ∧ Q) → R) ⊣⊢ (P → (Q → R)) {\ displaystyle ((P \ land Q) \ к R) \ dashv \ vdash (P \ to (Q \ to R))}

{\ displaystyle ( (P \ земля Q) \ к R) \ dashv \ vdash (P \ to (Q \ to R))}

, где $⊣⊢ {\ displaystyle \ dashv \ vdash}$ ${\ displaystyle \ dashv \ vdash}$ - металогическое символ, означающий, что $(P → (Q → R)) {\ displaystyle (P \ to (Q \ to R))}$ ${\ displaystyle (P \ to (Q \ to R))}$ является синтаксическим эквивалентом из $((P ∧ Q) → R) {\ displaystyle ((P \ land Q) \ to R)}$ ${\ displaystyle ((P \ land Q) \ to R)}$ в некоторой логической системе ;

или в форме правила :

(P ∧ Q) → RP → (Q → R) {\ displaystyle {\ frac {(P \ land Q) \ to R} {P \ to (Q \ to R)}}}

{\ displaystyle {\ frac {(P \ land Q) \ to R} {P \ к (Q \ к R)}}}

P → (Q → R) (P ∧ Q) → R. {\ displaystyle {\ frac {P \ to (Q \ to R)} {(P \ land Q) \ to R}}.}

{\ displaystyle {\ frac {P \ to (Q \ к R)} {(P \ земля Q) \ к R}}.}

где правило таково: везде, где есть экземпляр " $(P ∧ Q) → R {\ displaystyle (P \ land Q) \ to R}$ ${\ displaystyle (P \ земля Q) \ к R}$ "появляется в строке доказательства, его можно заменить на" $P → (Q → R) {\ displaystyle P \ to (Q \ to R)}$ ${\ displaystyle P \ to (Q \ to R)}$ "и наоборот;

или как утверждение функциональной истинности тавтологии или теоремы логики высказываний:

((P ∧ Q) → R) ↔ (P → (Q → R)) {\ displaystyle ((P \ land Q) \ to R) \ leftrightarrow (P \ to (Q \ to R))}

{\ displaystyle ((P \ land Q) \ to R) \ leftrightarrow (P \ to (Q \ to R))}

где $P {\ displaystyle P}$ $P$ , $Q {\ displaystyle Q}$ $Q$ и $R {\ displaystyle R}$ $R$ суждения, выраженные в некоторой логической системе.

Естественный язык

Значения истинности

В любой момент, если P → Q истинно, его можно заменить на P → (P∧Q).. Один из возможных случаев для P → Q - это истинность P и истинность Q; таким образом, P∧Q также верно, и P → (P∧Q) верно.. Другой возможный случай устанавливает P как ложь, а Q как истину. Таким образом, P∧Q ложно, а P → (P∧Q) ложно; ложь → ложь верно.. Последний случай возникает, когда и P, и Q ложны. Таким образом, P∧Q ложно, а P → (P∧Q) истинно.

Пример

Идет дождь и светит солнце, подразумевает, что есть радуга.. Таким образом, если идет дождь, то светит солнце означает, что есть радуга.

Если моя машина включена, когда я переключаю передачу на D, машина трогается с места. Если моя машина включена и я переключил передачу на D, машина должна тронуться с места.

Доказательство

В следующем доказательстве используются Существенное значение, двойное отрицание, Законы Де Моргана, отрицание условного выражение, ассоциативное свойство соединения, отрицание другого условного оператора и снова двойное отрицание в указанном порядке для получения результата.


Предложение	Вывод
$P → (Q → R) {\ displaystyle P \ rightarrow (Q \ rightarrow R)}$ ${\ displaystyle P \ rightarrow (Q \ rightarrow R)}$	Дано
$¬ P ∨ (Q → R) { \ Displaystyle \ neg P \ lor (Q \ rightarrow R)}$ ${\ displaystyle \ neg P \ lor (Q \ rightarrow R)}$	Материальное значение
$¬ P ∨ (¬ Q ∨ R) {\ displaystyle \ neg P \ lor (\ neg Q \ lor R)}$ ${\ displaystyle \ neg P \ lor (\ нег Q \ lor R)}$	Материальный смысл
$(¬ P ∨ ¬ Q) ∨ R {\ displaystyle (\ neg P \ lor \ neg Q) \ lor R}$ ${\ displaystyle (\ нег P \ lor \ neg Q) \ lor R}$	ассоциативность
$¬ (P ∧ Q) ∨ R {\ displaystyle \ neg (P \ land Q) \ lor R}$ ${\ displaystyle \ neg (P \ land Q) \ lor R}$	закон Де Моргана
$(P ∧ Q) → R {\ displaystyle (P \ land Q) \ rightarrow R}$ ${\ displaystyle (P \ land Q) \ rightarrow R}$	Материальный смысл

Соотношение к функциям

Экспорт связан с Каррированием через соответствие Карри – Ховарда.

Ссылки