Экспоненциальная дихотомия

редактировать

В математической теории динамических систем, экспоненциальная дихотомия - это свойство точки равновесия, которое расширяет идею гиперболичность для не- автономных систем.

Определение

Если

x ˙ = A (t) x {\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = A (t) \ mathbf {x}}

{\ точка {{\ mathbf {x}}}} = A (t) {\ mathbf {x}}

- линейная неавтономная динамическая система в R с Φ (t), Φ (0) = I, тогда считается, что точка равновесия 0 имеет экспоненциальную дихотомию, если существует (постоянная) матрица P такая, что при P = P и положительных постоянных K, L, α и β, таких что

| | Φ (t) P Φ - 1 (s) | | ≤ K e - α (t - s) для s ≤ t < ∞ {\displaystyle ||\Phi (t)P\Phi ^{-1}(s)||\leq Ke^{-\alpha (t-s)}{\t_dv{ for }}s\leq t<\infty }

|| \ Phi (t) P \ Phi ^ { {-1}} (s) || \ leq Ke ^ {{- \ alpha (ts)}} {\ t_dv {for}} s \ leq t <\ infty

| | Φ (t) (I - P) Φ - 1 (s) | | ≤ L e - β (s - t) для s ≥ t>- ∞. {\ Displaystyle || \ Phi (t) (IP) \ Phi ^ {- 1} (s) || \ leq Le ^ {- \ beta (st)} {\ t_dv {for}} s \ geq t>- \ infty.}

||\Phi (t)(I-P)\Phi ^{{-1}}(s)||\leq Le^{{-\beta (s-t)}}{\t_dv{ for }}s\geq t>- \ infty.

Если, кроме того, L = 1 / K и β = α, то считается, что 0 имеет равномерную экспоненциальную дихотомию.

Константы α и β допускают мы определим спектральное окно точки равновесия (−α, β).

Пояснение

Матрица P является проекцией на устойчивое подпространство, а I - P является проекцией на нестабильное подпространство. Экспоненциальная дихотомия говорит о том, что норма проекции на устойчивое подпространство любой орбиты в системе экспоненциально убывает при t → ∞, а норма проекции на неустойчивое подпространство любой орбиты экспоненциально затухает при t → −∞, и, кроме того, стабильное и нестабильное подпространства сопряжены (поскольку $P ⊕ (I - P) = R n {\ displaystyle \ scriptstyle P \ op lus (I-P) = \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ scriptstyle P \ oplus ( IP) = {\ mathbb {R}} ^ {n}$ ).

Точка равновесия с экспоненциальной дихотомией обладает многими свойствами гиперболической точки равновесия в автономных системах. Фактически, можно показать, что гиперболическая точка имеет экспоненциальную дихотомию.

Ссылки

Коппель, Вашингтон Дихотомии в теории устойчивости, Springer-Verlag (1978), ISBN 978-3-540-08536-2 doi : 10.1007 / BFb0067780