Эллиптическое уравнение в частных производных

редактировать

Класс линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

Линейные уравнения в частных производных второго порядка уравнения в частных производных ( PDE) классифицируются как эллиптические, гиперболические или параболические. Любое линейное УЧП второго порядка с двумя переменными можно записать в виде

A uxx + 2 B uxy + C uyy + D ux + E uy + F u + G = 0, {\ displaystyle Au_ {xx} + 2Bu_ { xy} + Cu_ {yy} + Du_ {x} + Eu_ {y} + Fu + G = 0, \,}

{\ displaystyle Au_ {xx} + 2Bu_ {xy} + Cu_ {yy} + Du_ {x} + Eu_ {y} + Fu + G = 0, \,}

где A, B, C, D, E, F и G - функции от x и y и где $ux = ∂ u ∂ x {\ displaystyle u_ {x} = {\ frac {\ partial u} {\ partial x}}}$ ${\ displaystyle u_ {x} = {\ frac {\ partial u} {\ partial x}}}$ и аналогично для $uxx, uy, uyy, uxy {\ displaystyle u_ {xx}, u_ {y}, u_ {yy}, u_ {xy}}$ ${\ displaystyle u_ {xx}, u_ {y}, u_ {yy}, u_ {xy}}$ . УЧП, записанное в этой форме, является эллиптическим, если

B 2 - AC < 0, {\displaystyle B^{2}-AC<0,}

{\ displaystyle B ^ {2} -AC <0,}

с этим соглашением об именах, вдохновленным уравнением для плоского эллипса.

Простейшими нетривиальными примерами эллиптических УЧП являются Лапласа. уравнение, $Δ u = uxx + uyy = 0 {\ displaystyle \ Delta u = u_ {xx} + u_ {yy} = 0}$ ${\ displaystyle \ Delta u = u_ {xx} + u_ {yy} = 0}$ и уравнение Пуассона, $Δ u = uxx + uyy = f (x, y). {\ displaystyle \ Delta u = u_ {xx} + u_ {yy} = f (x, y).}$ ${\ displaystyle \ Delta u = u_ {xx} + u_ {yy} = е (x, y).}$ В некотором смысле любое другое эллиптическое уравнение в частных производных от двух переменных можно рассматривать как обобщение одно из этих уравнений, так как его всегда можно представить в канонической форме

uxx + uyy + (младшие члены) = 0 {\ displaystyle u_ {xx} + u_ {yy} + {\ text {(lower- упорядочить термины)}} = 0}

{\ displaystyle u_ {xx} + u_ {yy} + {\ текст {(младшие термины)}} = 0}

посредством замены переменных.

Содержание

1 Качественное поведение
2 Вывод канонической формы
3 В более высоких измерениях
4 См. также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Качественное поведение

Эллиптические уравнения не имеют реальных характеристических кривых, кривых, вдоль которых невозможно исключить хотя бы одну вторую производную от $u {\ displaystyle u}$ $u$ из условий задачи Коши. Поскольку характеристические кривые - единственные кривые, вдоль которых решения уравнений в частных производных с гладкими параметрами могут иметь разрывные производные, решения эллиптических уравнений не могут иметь разрывных производных где-либо. Это означает, что эллиптические уравнения хорошо подходят для описания состояний равновесия, в которых любые разрывы уже сглажены. Например, мы можем получить уравнение Лапласа из уравнения теплопроводности $ut = Δ u {\ displaystyle u_ {t} = \ Delta u}$ ${\ displaystyle u_ {t} = \ Delta u}$ , установив $ut = 0 {\ displaystyle u_ {t} = 0}$ ${\ displaystyle u_ {t} = 0}$ . Это означает, что уравнение Лапласа описывает устойчивое состояние уравнения теплопроводности.

В параболических и гиперболических уравнениях характеристики описывают линии, по которым перемещается информация о начальных данных. Поскольку эллиптические уравнения не имеют реальных характеристических кривых, нет смысла в распространении информации для эллиптических уравнений. Это делает эллиптические уравнения более подходящими для описания статических, а не динамических процессов.

Вывод канонической формы

Мы выводим каноническую форму для эллиптических уравнений с двумя переменными, $uxx + uxy + uyy + (младшие члены) = 0 {\ displaystyle u_ {xx} + u_ {xy} + u_ {yy} + {\ text {(младшие члены)}} = 0}$ ${\ displaystyle u_ {xx} + u_ {xy} + u_ {yy} + {\ text {(термины нижнего порядка)}} = 0}$ .

ξ = ξ (Икс, Y) {\ Displaystyle \ Xi = \ XI (X, Y)}

{\ displaystyle \ xi = \ xi (x, y)}

η = η (x, y) {\ Displaystyle \ eta = \ eta (x, y) }

{\ displaystyle \ eta = \ eta (x, y)}

Если $u (ξ, η) = u [ξ (x, y), η (x, y)] {\ displaystyle u (\ xi, \ eta) = u [\ xi (x, y), \ eta (x, y)]}$ ${\ displaystyle u (\ xi, \ eta) = u [\ xi (x, y), \ eta (x, y)]}$ , однократное применение цепного правила дает

ux = u ξ ξ x + u η η x {\ displaystyle u_ {x} = u _ {\ xi} \ xi _ {x} + u _ {\ eta} \ eta _ {x}}

{\ displaystyle u_ {x} = u _ {\ xi} \ xi _ {x} + u _ {\ eta} \ eta _ {x}}

uy = u ξ ξ y + u η η y {\ displaystyle u_ {y} = u _ {\ xi} \ xi _ {y} + u _ {\ eta} \ eta _ {y}}

{ \ displaystyle u_ {y} = u _ {\ xi} \ xi _ {y} + u _ {\ eta} \ eta _ {y}}

второе приложение дает

uxx = u ξ ξ ξ 2 x + u η η η 2 x + 2 u ξ η ξ x η x + u ξ ξ xx + u η η xx, {\ displaystyle u_ {xx} = u _ {\ xi \ xi} {\ xi ^ {2}} _ {x} + u _ {\ eta \ eta} {\ eta ^ {2}} _ {x} + 2u _ {\ x i \ eta} \ xi _ {x} \ eta _ {x} + u _ {\ xi} \ xi _ {xx} + u _ {\ eta} \ eta _ {xx},}

{\ displaystyle u_ {xx} = u _ {\ xi \ xi} {\ xi ^ {2}} _ {x} + u _ {\ eta \ eta} {\ eta ^ {2}} _ {x} + 2u _ {\ xi \ eta} \ xi _ {x} \ eta _ {x} + u _ {\ xi} \ xi _ {xx } + U _ {\ eta} \ eta _ {xx},}

uyy = u ξ ξ ξ 2 Y + U η η η 2 Y + 2 u ξ η ξ y η y + u ξ ξ yy + u η η yy, {\ displaystyle u_ {yy} = u _ {\ xi \ xi} {\ xi ^ { 2}} _ {y} + u _ {\ eta \ eta} {\ eta ^ {2}} _ {y} + 2u _ {\ xi \ eta} \ xi _ {y} \ eta _ {y} + u_ { \ xi} \ xi _ {yy} + u _ {\ eta} \ eta _ {yy},}

{\ displaystyle u_ {yy} = u _ {\ xi \ xi} {\ xi ^ {2}} _ {y} + u _ {\ eta \ eta} {\ eta ^ {2}} _ {y} + 2u _ {\ xi \ eta} \ xi _ {y} \ eta _ {y} + u _ {\ xi} \ xi _ {yy} + u _ {\ eta} \ eta _ {yy},}

uxy = u ξ ξ ξ x ξ y + u η η η x η y + u ξ η (ξ x η y + ξ y η x) + u ξ ξ xy + u η η xy. {\ displaystyle u_ {xy} = u _ {\ xi \ xi} \ xi _ {x} \ xi _ {y} + u _ {\ eta \ eta} \ eta _ {x} \ eta _ {y} + u_ { \ xi \ eta} (\ xi _ {x} \ eta _ {y} + \ xi _ {y} \ eta _ {x}) + u _ {\ xi} \ xi _ {xy} + u _ {\ eta} \ eta _ {xy}.}

{\ displaystyle u_ {xy} = u _ {\ xi \ xi} \ xi _ {x} \ xi _ {y} + u _ {\ eta \ eta} \ eta _ {x} \ eta _ {y} + u _ {\ xi \ eta} (\ xi _ {x} \ eta _ {y} + \ xi _ {y} \ eta _ {x}) + u _ {\ xi} \ xi _ {xy} + u _ {\ eta} \ eta _ {xy}.}

Мы можем заменить наши PDE в x и y эквивалентным уравнением в $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ и $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$

au ξ ξ + 2 bu ξ η + cu η η + (члены более низкого порядка) = 0, {\ displaystyle au _ {\ xi \ xi} + 2bu _ {\ xi \ eta} + cu _ {\ eta \ eta} {\ text {+ (младшие члены)}} = 0, \,}

{\ displaystyle au_ {\ xi \ xi} + 2bu _ {\ xi \ eta} + cu _ {\ eta \ eta} {\ text {+ (младшие члены)}} = 0, \,}

где

a = A ξ x 2 + 2 B ξ x ξ y + C ξ y 2, {\ стиль отображения a = A {\ xi _ {x}} ^ {2} + 2B \ xi _ {x} \ xi _ {y} + C {\ xi _ {y}} ^ {2},}

{\ displaystyle a = A {\ xi _ {x}} ^ {2} + 2B \ xi _ {x} \ xi _ {y } + C {\ xi _ {y}} ^ {2},}

b Знак равно 2 A ξ x η Икс + 2 В (ξ x η y + ξ y η x) + 2 C ξ y η y, {\ displaystyle b = 2A \ xi _ {x} \ eta _ {x} + 2B ( \ xi _ {x} \ eta _ {y} + \ xi _ {y} \ eta _ {x}) + 2C \ xi _ {y} \ eta _ {y},}

{\ displaystyle b = 2A \ xi _ {x} \ eta _ {x} + 2B (\ xi _ {x} \ eta _ {y} + \ xi _ {y} \ eta _ {x}) + 2C \ xi _ {y} \ eta _ {y},}

с знак равно A η x 2 + 2 B η x η y + C η y 2. {\ displaystyle c = A {\ eta _ {x}} ^ {2} + 2B \ eta _ {x} \ eta _ {y} + C {\ eta _ {y}} ^ {2}.}

{\ displaystyle c = A {\ eta _ {x}} ^ {2} + 2B \ eta _ {x} \ eta _ {y} + C {\ eta _ {y}} ^ {2 }.}

Чтобы преобразовать наш PDE в желаемую каноническую форму, мы ищем $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ и $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ такие, что $a = c {\ displaystyle a = c}$ $a = с$ и $b = 0 {\ displaystyle b = 0}$ $b = 0$ . Это дает нам систему уравнений

a - c = A (ξ x 2 - η x 2) + 2 B (ξ x ξ y - η x η y) + C (ξ y 2 - η y 2) = 0 {\ displaystyle ac = A ({\ xi _ {x}} ^ {2} - {\ eta _ {x}} ^ {2}) + 2B (\ xi _ {x} \ xi _ {y} - \ eta _ {x} \ eta _ {y}) + C ({\ xi _ {y}} ^ {2} - {\ eta _ {y}} ^ {2}) = 0}

{\ displaystyle ac = A ( {\ xi _ {x}} ^ {2} - {\ eta _ {x}} ^ {2}) + 2B (\ xi _ {x} \ xi _ {y} - \ eta _ {x} \ eta _ {y}) + С ({\ xi _ {y}} ^ {2} - {\ eta _ {y}} ^ {2}) = 0}

b = 0 знак равно 2 A ξ x η x + 2 B (ξ x η y + ξ y η x) + 2 C ξ y η y, {\ displaystyle b = 0 = 2A \ xi _ {x} \ eta _ {x} + 2B (\ xi _ {x} \ eta _ {y} + \ xi _ {y} \ eta _ {x}) + 2C \ xi _ {y} \ eta _ {y},}

{\ displaystyle b = 0 = 2A \ xi _ {x} \ eta _ {x} + 2B (\ xi _ {x} \ eta _ {y} + \ xi _ {y} \ eta _ {x}) + 2C \ xi _ {y} \ eta _ {y},}

Добавление $я {\ displaystyle i}$ $i$ умножаем второе уравнение на первое и устанавливаем $ϕ = ξ + i η {\ displaystyle \ phi = \ xi + i \ eta}$ ${\ displaystyle \ phi = \ xi + i \ eta}$ дает квадратное уравнение

A ϕ x 2 + 2 B ϕ x ϕ y + C ϕ y 2 = 0. {\ displaystyle A {\ phi _ {x}} ^ {2} + 2B \ phi _ {x } \ phi _ {y} + C {\ phi _ {y}} ^ {2} = 0.}

{\ displaystyle A {\ phi _ {x} } ^ {2} + 2B \ phi _ {x} \ phi _ {y} + C {\ phi _ {y}} ^ {2} = 0.}

Поскольку дискриминант $B 2 - AC < 0 {\displaystyle B^{2}-AC<0}$ ${\ displaystyle B ^ {2} -AC <0}$ , это уравнение имеет два различных решения:

ϕ x, ϕ y знак равно В ± я AC - B 2 A {\ displaystyle {\ phi _ {x}}, {\ phi _ {y}} = {\ frac {B \ pm i {\ sqrt {AC -B ^ {2}}}} {A}}}

{\ displaystyle {\ phi _ {x}}, {\ phi _ {y}} = {\ frac {B \ pm i {\ sqrt {AC-B ^ {2}}}} {A}}}

, которые являются комплексно сопряженными. Выбирая любое решение, мы можем решить для $ϕ (x, y) {\ displaystyle \ phi (x, y)}$ $\ phi (x, y)$ и восстановить $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ и $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ с преобразованиями $ξ = Re ⁡ ϕ {\ displaystyle \ xi = \ operatorname {Re} \ phi}$ ${\ displaystyle \ xi = \ operatorname {Re} \ phi}$ и $η = Im ⁡ ϕ {\ displaystyle \ eta = \ operatorname {Im} \ phi}$ ${\ displaystyle \ eta = \ operatorname {Im} \ phi}$ . Поскольку $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ и $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ удовлетворяет $a - c = 0 {\ displaystyle ac = 0 }$ ${\ displaystyle ac = 0}$ и $b = 0 {\ displaystyle b = 0}$ $b = 0$ , поэтому при изменении переменных с x и y на $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ и $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ преобразует PDE

A uxx + 2 B uxy + C uyy + D ux + E uy + F u + G = 0, {\ displaystyle Au_ {xx} + 2Bu_ {xy} + Cu_ {yy} + Du_ {x} + Eu_ {y} + Fu + G = 0, \,}

{\ displaystyle Au_ {xx} + 2Bu_ {xy} + Cu_ {yy} + Du_ {x} + Eu_ {y} + Fu + G = 0, \,}

в каноническую форму

u ξ ξ + u η η + (члены более низкого порядка) = 0, {\ displaystyle u _ {\ xi \ xi} + u _ {\ eta \ eta} + {\ text {(члены более низкого порядка)}} = 0, }

{\ displaystyle u _ {\ xi \ xi} + u _ {\ eta \ eta} + {\ text {(l термины верхнего порядка)}} = 0,}

по желанию.

В высших измерениях

Общее уравнение в частных производных второго порядка от n переменных принимает вид

∑ i = 1 n ∑ j = 1 nai, j ∂ 2 u ∂ xi ∂ xj + (члены более низкого порядка) = 0. {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i, j} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} \; {\ text {+ (младшие члены)}} = 0.}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i, j} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j} }} \; {\ text {+ (младшие члены)}} = 0.}

Это уравнение считается эллиптическим, если есть нет характеристических поверхностей, т. е. поверхностей, вдоль которых невозможно исключить хотя бы одну вторую производную u из условий задачи Коши.

В отличие от двумерного случая, это уравнение в общем случае не может быть сведено к простому каноническая форма.

См. также

Эллиптический оператор
Гиперболическое уравнение в частных производных
Параболическое уравнение в частных производных
УЧП второго порядка (для более полного обсуждения)

Ссылки

Внешние ссылки