Условия Дирихле

В математике, условия Дирихле являются достаточными условиями для действительной -значной, периодической функции f равняется сумме его ряда Фурье в каждой точке, где f является непрерывным. Кроме того, определяется поведение ряда Фурье в точках разрыва (это середина значений разрыва). Эти условия названы в честь Питера Густава Лежена Дирихле.

Условия:

1. f должно быть абсолютно интегрируемым за период.
2. f должно быть ограниченная вариация в любом заданном ограниченном интервале.
3. f должна иметь конечное число разрывов в любом заданном ограниченном интервале, и эти разрывы не могут быть бесконечными.

Мы формулируем теорему Дирихле в предположении, что f является периодической функцией периода 2π с разложением в ряд Фурье, где

$an\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; -\; \pi \; \pi \; f\; (x)\; e\; -\; inxdx.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; pi\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; f\; (x)\; e\; ^\; \{-\; inx\}\; \backslash ,\; dx.\}$

Аналогичное утверждение выполняется независимо от того, каков период f или какая версия разложения Фурье выбрана (см. ряд Фурье )..

Теорема Дирихле: Если f удовлетворяет условиям Дирихле, то для всех x мы имеем, что ряд, полученный подстановкой x в ряд Фурье, сходится и задается следующим образом:

$\sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; aneinx\; знак\; равно\; е\; (х\; +)\; +\; е\; (х\; -)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; e\; ^\; \{inx\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x\; ^\; \{+\})\; +\; f\; (x\; ^\; \{-\})\}\; \{2\}\},\}$

где обозначение

$f\; (x\; +)\; =\; lim\; y\; \to \; x\; +\; f\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; ^\; \{+\})\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{y\; \backslash \; к\; x\; ^\; \{+\}\}\; f\; (y)\}$

$f\; (x\; -)\; =\; lim\; y\; \to \; x\; -\; f\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; ^\; \{\; -\})\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{y\; \backslash \; to\; x\; ^\; \{-\}\}\; f\; (y)\}$

обозначает правый / левый пределы f.

Функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, должна иметь правый и левый пределы в каждом точка разрыва, иначе функция должна будет колебаться в этой точке, нарушая условие на максимумы / минимумы. Обратите внимание, что в любой точке непрерывного f

$f\; (x\; +)\; +\; f\; (x\; -)\; 2\; =\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x\; ^\; \{+\})\; +\; f\; (x\; ^\; \{-\})\}\; \{2\}\}\; =\; f\; (x)\}$

Таким образом, теорема Дирихле говорит, в частности, что в условиях Дирихле ряд Фурье для f сходится и равен f везде, где f непрерывен.

• «Условия Дирихле». PlanetMath.