Теорема вырезания-вставки

Теорема вставки вырезания, также известная как Пеллегрини Теорема - это теорема о линейной сети, которая позволяет преобразовать общую сеть N в другую сеть N ', которая упрощает анализ и для которой основные свойства более очевидны.

• 1 Заявление
• 2 Сетевые функции
• 3 Передаточная функция
• 4 Оценка импеданса и проводимости между двумя узлами
  • 4.1 Импеданс
  • 4.2 Полная проводимость
  • 4.3 Комментарии
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 См. Также

Общая линейная сеть N. Эквивалентная линейная сеть N '. Реализация трехконтактной схемы средствами независимого источника W r и иммитанса X p.

Пусть e, h, u, w, q = q 'и t = t' - шесть произвольных узлов сети N и $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$- независимый источник напряжения или тока, подключенный между e и h, а $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$- выходная величина, либо напряжение, либо ток относительно ветви с иммитансом $X\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{u\}\}$, соединенным между u и w. Давайте теперь разорвем соединение qq 'и вставим трехконтактную схему ("TTC") между двумя узлами q и q' и узлом t = t ', как на рисунке b ($W\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{r\}\}$и $W\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{p\}\}$- однородные величины, напряжения или токи относительно портов qt и q'q't ' ТТК).

Чтобы две сети N и N 'были эквивалентны для любого $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, два ограничения $W\; r\; =\; W\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{r\}\; =\; W\_\; \{p\}\}$и $W\; r\; ¯\; =\; W\; p\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{W\_\; \{r\}\}\}\; =\; \{\backslash \; bar\; \{W\_\; \{p\})\; \}\}\}$, где верхняя черта указывает двойное количество, должны быть выполнены.

Вышеупомянутая трехконтактная схема может быть реализована, например, путем подключения идеального независимого источника напряжения или тока $W\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{p\}\}$между q 'и t', и иммитанс $X\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{p\}\}$между q и t.

В отношении сети N 'могут быть определены следующие сетевые функции :

$A\; \equiv \; U\; W\; p\; |\; S\; =\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; A\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{U\}\; \{W\_\; \{p\}\}\}\; |\; \_\; \{S\; =\; 0\}\; \backslash !\; \backslash ,\}$; $\beta \; \equiv \; W\; r\; U\; |\; S\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{W\_\; \{r\}\}\; \{U\}\}\; |\; \_\; \{S\; =\; 0\}\; \backslash !\; \backslash ,\}$; $X\; i\; \equiv \; W\; p\; W\; p\; ¯\; |\; S\; =\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\_\; \{i\}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{W\_\; \{p\}\}\; \{\backslash \; bar\; \{W\_\; \{p\}\}\}\}\; |\; \_\; \{S\; =\; 0\}\; \backslash !\; \backslash ,\}$

$\gamma \; \equiv \; США\; |\; W\; п\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; гамма\; \backslash \; экв\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{U\}\; \{S\}\}\; |\; \_\; \{W\_\; \{p\}\; =\; 0\}\; \backslash !\; \backslash ,\}$; $\alpha \; \equiv \; W\; r\; S\; |\; W\; п\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; альфа\; \backslash \; эквив\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{W\_\; \{r\}\}\; \{S\}\}\; |\; \_\; \{W\_\; \{p\}\; =\; 0\}\; \backslash !\; \backslash ,\}$; $\rho \; \equiv \; W\; p\; ¯\; S\; |\; W\; p\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; bar\; \{W\_\; \{p\}\}\}\; \{S\}\}\; |\; \_\; \{W\_\; \{p\}\; =\; 0\}\; \backslash !\; \backslash ,\}$

из которого, используя теорема суперпозиции, получаем:

$W\; r\; =\; \alpha \; S\; +\; \beta \; AW\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{r\}\; =\; \backslash \; alpha\; S\; +\; \backslash \; beta\; AW\_\; \{p\}\}$

$W\; p\; ¯\; =\; \rho \; S\; +\; W\; п\; Икс\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{W\_\; \{p\}\}\}\; =\; \backslash \; rho\; S\; +\; \{\backslash \; frac\; \{W\_\; \{p\}\}\; \{X\_\; \{i\}\}\}\}$.

Таким образом, первое ограничение для эквивалентность сетей выполняется, если $W\; p\; =\; \alpha \; 1\; -\; \beta \; AS\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{1-\; \backslash \; beta\; A\}\}\; S\}$.

Кроме того,

$W\; р\; ¯\; =\; W\; р\; Икс\; п\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{W\_\; \{r\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{W\_\; \{r\}\}\; \{X\_\; \{p\}\}\}\}$

$W\; p\; ¯\; =\; (1\; Икс\; я\; +\; \rho \; \alpha \; (1\; -\; \beta \; A))\; W\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{W\_\; \{p\}\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{X\_\; \{i\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; (1-\; \backslash \; beta\; A)\; \backslash \; right)\; W\_\; \{r\}\}$

поэтому второе ограничение эквивалентности сетей выполняется, если $1\; X\; p\; =\; 1\; X\; i\; +\; \rho \; \alpha \; (1\; -\; \beta \; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{X\_\; \{p\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{X\_\; \{i\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; (\; 1-\; \backslash \; beta\; A)\}$

Если мы рассмотрим выражения для netw ork функции $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$и $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, первое ограничение эквивалентности сетей, и мы также считаем, что, в результате принципа суперпозиции $U\; =\; \gamma \; S\; +\; AW\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; \backslash \; gamma\; S\; +\; AW\_\; \{p\}\}$, передаточная функция $A\; f\; \equiv \; US\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{f\}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{U\}\; \{S\}\}\}$задается как

$A\; f\; =\; \alpha \; A\; 1\; -\; \beta \; A\; +\; \gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{f\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; A\}\; \{1-\; \backslash \; beta\; A\}\}\; +\; \backslash \; gamma\}$.

В частном случае усилителя обратной связи сеть функционирует $\alpha \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$, $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$и $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$учитывают неидеальности такого усилителя. В частности:

• $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$учитывает неидеальность сети сравнения на входе
• $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$учитывает неоднонаправленность обратной связи цепочка
• $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$учитывает неоднонаправленность цепи усиления.

Если усилитель можно считать идеальным, например, если $\alpha \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 1\}$, $\rho \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; 0\}$и $\gamma \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; 0\}$, передаточная функция сводится к известное выражение, полученное из классической теории обратной связи:

$A\; f\; =\; A\; 1\; -\; \beta \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{f\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{1-\; \backslash \; beta\; A\}\}\}$.

Оценка импеданса (или проводимости ) между двумя узлами несколько упрощается с помощью теоремы вставки-вырезания.

Импеданс

Вырезать для оценки импеданса между узлами k = h и j = e = q.

Давайте вставим общий источник $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$между узлами j = e = q и k = h, между которыми мы хотим оценить импеданс $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$. Выполняя разрез, как показано на рисунке, мы замечаем, что иммитанс $X\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{p\}\}$находится последовательно с $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, и ток через него, таким образом, такой же, как и в $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$. Если мы выберем источник входного напряжения $V\; s\; =\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{s\}\; =\; S\}$и, как следствие, ток $I\; s\; =\; S\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{s\}\; =\; \{\backslash \; bar\; \{S\}\}\}$, и импеданс $Z\; p\; =\; X\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{p\}\; =\; X\_\; \{p\}\}$, мы можем записать следующие отношения:

$Z\; =\; V\; s\; I\; s\; =\; V\; s\; I\; r\; =\; Z\; p\; V\; s\; V\; r\; =\; Z\; p\; V\; s\; V\; p\; =\; Z\; p\; 1\; -\; \beta \; A\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{V\_\; \{s\}\}\; \{I\_\; \{s\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{s\}\}\; \{I\_\; \{r\}\}\}\; =\; Z\_\; \{p\}\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{s\}\}\; \{V\_\; \{r\}\; \}\}\; =\; Z\_\; \{p\}\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{s\}\}\; \{V\_\; \{p\}\}\}\; =\; Z\_\; \{p\}\; \{\backslash \; frac\; \{1-\; \backslash \; beta\; A\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\}$.

Учитывая, что $\alpha \; =\; V\; r\; V\; s\; |\; В\; п\; =\; 0\; знак\; равно\; Z\; п\; Z\; п\; +\; Z\; б\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; альфа\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{V\_\; \{r\}\}\; \{V\_\; \{s\}\}\}\; |\; \_\; \{V\_\; \{p\}\; =\; 0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Z\_\; \{p\}\}\; \{Z\_\; \{p\}\; +\; Z\_\; \{b\}\}\}\}$, где $Z\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{b\}\}$- это импеданс между узлов k = h и t, если удалить $Z\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{p\}\}$и закоротить источники напряжения, мы получим импеданс $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$между узлами j и k в виде:

$Z\; =\; (Z\; p\; +\; Z\; b)\; (1\; -\; \beta \; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; \backslash \; left\; (Z\_\; \{p\}\; +\; Z\_\; \{b\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; beta\; A\; \backslash \; right)\}$

Admittance

Cut для оценки импеданса между узлами k = h = t и j = e = q.

Мы переходим к аналогично случаю импеданса, но на этот раз разрез будет таким, как показано на рисунке справа, с учетом того, что $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$теперь параллельно $X\; p\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\_\; \{p\}\}$. Если мы рассмотрим источник входного тока $I\; s\; =\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{s\}\; =\; S\}$(в результате мы имеем напряжение $V\; s\; =\; S\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{s\}\; =\; \{\backslash \; bar\; \{S\}\}\}$) и допуск $Y\; p\; =\; X\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{p\}\; =\; X\_\; \{p\}\}$, проводимость $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$между узлами j и k можно вычислить следующим образом:

$Y\; =\; I\; s\; V\; s\; =\; I\; s\; V\; r\; =\; Y\; p\; I\; s\; I\; r\; Знак\; равно\; Y\; п\; I\; s\; I\; p\; =\; Y\; п\; 1\; -\; \beta \; A\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{s\}\}\; \{V\_\; \{s\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{s\}\}\; \{V\_\; \{r\; \}\}\}\; =\; Y\_\; \{p\}\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{s\}\}\; \{I\_\; \{r\}\}\}\; =\; Y\_\; \{p\}\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{s\}\}\; \{I\_\; \{p\}\}\}\; =\; Y\_\; \{p\}\; \{\backslash \; frac\; \{1-\; \backslash \; beta\; A\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\}$.

Учитывая, что $\alpha \; =\; I\; r\; I\; s\; |\; Я\; п\; =\; 0\; знак\; равно\; Y\; п\; Y\; п\; +\; Y\; б\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{r\}\}\; \{I\_\; \{s\}\}\}\; |\; \_\; \{I\_\; \{p\}\; =\; 0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Y\_\; \{p\}\}\; \{Y\_\; \{p\}\; +\; Y\_\; \{b\}\}\}\}$, где $Y\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{b\}\}$- это пропускная способность между узлов k = h и t, если мы удалим $Y\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{p\}\}$и откроем текущие источники, мы получим адмиттанс $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$в форме:

$Y\; =\; (Y\; p\; +\; Y\; b)\; (1\; -\; \beta \; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; \backslash \; left\; (Y\_\; \{p\}\; +\; Y\_\; \{b\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; beta\; A\; \backslash \; right)\}$

Комментарии

Реализация трехполюсной схемы с помощью независимого источника $W\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{p\}\}$и зависимого источника $W\; p\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{W\_\; \{p\}\}\}\}$.

Реализация TTC с независимым источником $W\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{p\}\}$и иммитанс $X\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{p\}\}$полезны и интуитивно понятны для вычисления импеданса между двумя узлами, но включают, как и в случае других сетевых функций, трудность CA Вычисление $X\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{p\}\}$из уравнения эквивалентности. Таких трудностей можно избежать, используя зависимый источник $W\; p\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{W\_\; \{p\}\}\}\}$вместо $X\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{p\}\; \}$и используя формулу Блэкмана для вычисления $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. Такая реализация ТТС позволяет найти топологию обратной связи даже в сети, состоящей из источника напряжения и двух последовательных сопротивлений.

1. ^Бруно Пеллегрини был первым выпускником электронной инженерии в Пизанском университете, где в настоящее время является почетным профессором. Он также является автором теоремы Электрокинематики, которая связывает скорость и заряд носителей, движущихся внутри произвольного объема, с токами, напряжениями и мощностью на его поверхности через произвольный вектор безвихревого движения.
2. ^Обратите внимание, что для оценки X p нам нужны сетевые функции, которые, в свою очередь, зависят от X p. Поэтому для продолжения расчетов целесообразно выполнить разрез, для которого ρ = 0, так что X p=Xi.
3. ^R. Б. Блэкман, Влияние обратной связи на импеданс, Bell System Tech. J. 22, 269 (1943).

• B. Пеллегрини, Соображения по теории обратной связи, Alta Frequenza 41, 825 (1972).
• B. Пеллегрини, Улучшенная теория обратной связи, IEEE Transactions on Circuits and Systems 56, 1949 (2009).

• Обратная связь
• Теория управления