Круговой закон

редактировать

В вероятности теории, а точнее исследования случайных матриц, круговой закон касается распределения собственных значений случайной матрицы размера n × n с независимым и идентично распределенным записанные записи в пределе n → ∞.

Он утверждает, что для любой последовательности случайных матриц размера n × n, элементы которых являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами, все с означают ноль и дисперсия, равная 1 / n, ограничивающим спектральным распределением является равномерное распределение по единичному диску.

График действительной и мнимой частей (масштабированных sqrt (1000)) собственных значений матрицы размером 1000x1000 с независимыми стандартными нормальными элементами.

Содержание

1 Точное утверждение
2 История
3 См. Также
4 Ссылки

Точная инструкция

Пусть $(X n) n = 1 ∞ {\ displaystyle (X_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty }}$ $(X_ {n}) _ {{n = 1}} ^ {\ infty}$ быть последовательностью ансамблей матриц размера n × n, элементами которой являются iid копии сложной случайной величины x с средним 0 и дисперсией <62.>1. Пусть $λ 1,…, λ n, 1 ≤ j ≤ n {\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}, 1 \ leq j \ leq n}$ $\ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}, 1 \ leq j \ leq n$ обозначают собственные значения для $1 n X n {\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {n}}} X_ {n}}$ $\ displaystyle {\ frac {1} {{\ sqrt {n}}}} X_ {n}$ . Определите эмпирическую спектральную меру $1 n X n {\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {n}}} X_ {n}}$ $\ displaystyle {\ frac {1} {{\ sqrt {n}}}} X_ {n}$ как

μ 1 n X n (A) = n - 1 # {j ≤ n: λ j ∈ A}, A ∈ B (C). {\ displaystyle \ mu _ {{\ frac {1} {\ sqrt {n}}} X_ {n}} (A) = n ^ {- 1} \ # \ {j \ leq n: \ lambda _ {j } \ in A \} ~, \ quad A \ in {\ mathcal {B}} (\ mathbb {C}).}

{\ displaystyle \ mu _ {{\ frac {1} {\ sqrt {n}}} X_ {n}} (A) = n ^ {- 1} \ # \ {j \ leq n: \ lambda _ {j} \ in A \} ~, \ quad A \ in {\ mathcal {B}} (\ mathbb {C}).}

С учетом этих определений циркулярный закон утверждает, что почти наверняка (то есть с вероятностью единица) последовательность мер $μ 1 N X n {\ displaystyle \ displaystyle \ mu _ {{\ frac {1} {\ sqrt {n}}} X_ {n}}}$ ${\ displaystyle \ Displaystyle \ му _ {{\ гидроразрыва {1} {\ sqrt {n}}} X_ {n}}}$ сходится в распределении к единой мере на единичном диске.

История

Для случайных матриц с гауссовым распределением элементов (ансамбли Жинибра) круговой закон был установлен в 1960-х годах Жаном Жинибром. В 1980-х годах Вячеслав Гирко представил подход, который позволил установить круговой закон для более общих распределений. Дальнейший прогресс был достигнут Чжидонг Баем, который установил круговой закон при определенных предположениях о гладкости распределения.

Эти предположения были смягчены в работах Теренс Тао и Ван Х. Ву, Гуанмин Пань и Ван Чжоу, а также Фридриха Гетце и Александра Тихомирова. Наконец, в 2010 году Тао и Ву доказали круговой закон при минимальных предположениях, указанных выше.

Результат кругового закона был расширен в 1988 году Соммерсом, Крисанти, Сомполински и Штейном до эллиптического закона для ансамблей матриц с произвольными корреляциями. Эллиптические и круговые законы были далее обобщены Асейтуно, Роджерсом и Шомерусом до закона гипотрохоидов, который включает корреляции более высокого порядка.

См. Также

Распределение полукругов Вигнера

Ссылки