Константа Чамперноуна

В математике постоянная Чамперноуна C10является трансцендентной вещественная константа, десятичное расширение которой имеет важные свойства. Назван в честь экономиста и математика Д. Г. Чамперноун, который опубликовал его в 1933 году, будучи студентом.

Для с основанием 10 число определяется путем конкатенации представлений последовательных целых чисел:

C10= 0,12345678910111213141516… (последовательность A033307 в OEIS ).

Константы Чамперноуна также могут быть построены в других базах, аналогично, например:

C2= 0,11011100101110111… 2

C3= 0,12101112202122… 3.

Константы Чамперноуна могут быть выражены точно так: бесконечный ряд :

$C\; m\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; n\; 10\; b\; (\sum \; k\; =\; 1\; n\; \lceil \; log\; 10\; b\; \; (k\; +\; 1)\; \rceil )\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{m\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{10\_\; \{b\}\; ^\; \{~\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\})\; \backslash \; left\; \backslash \; lceil\; \backslash \; log\; \_\; \{10\_\; \{b\}\}\; (k\; +\; 1)\; \backslash \; right\; \backslash \; rceil\; \backslash \; right)\}\}\}$

где $\lceil \; x\; \rceil \; =\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lceil\; \{x\}\; \backslash \; rceil\; =\}$потолок ($x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$), $10\; bx\; =\; bx\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\_\; \{b\}\; ^\; \{~\; x\}\; =\; b\; ^\; \{x\}\}$в основании 10, $журнал\; 10\; b\; \; (x)\; =\; журнал\; b\; 10\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{10\_\; \{b\}\}\; (x)\; =\; \backslash \; log\; \_\; \{b\_\; \{10\}\}\; (x)\}$и $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$- основание константы.

Несколько иное выражение дает Эрик У. Вайстейн (MathWorld ):

$C\; m\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; нм\; (n\; +\; \sum \; К\; знак\; равно\; 1\; N\; -\; 1\; \lfloor \; журнал\; м\; \; (к\; +\; 1)\; \rfloor )\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{m\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{m\; ^\; \{\; \backslash \; left\; (n\; +\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \backslash \; log\; \_\; \{m\}\; (k\; +\; 1)\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; \backslash \; right)\}\}\}$

где $\lfloor \; x\; \rfloor \; =\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lfloor\; \{x\}\; \backslash \; rfloor\; =\}$floor ($x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$).

• 1 Слова и последовательности
• 2 Нормальность
• 3 Расширение непрерывной дроби
• 4 Мера иррациональности
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Слово Champernowne или слово Barbier - это последовательность цифр C 10, полученный записью n по основанию 10 и сопоставлением цифр:

12345678910111213141516… (последовательность A007376 в OEIS )

В общем, a Последовательность Чамперноуна (иногда также называемая словом Чамперноуна) - это любая последовательность цифр, полученная путем объединения всех конечных цифр. it-строки (в любой заданной базе) в некотором рекурсивном порядке. Например, двоичная последовательность Шамперноуна в порядке коротких линий равна

0 1 00 01 10 11 000 001... (последовательность A076478 в OEIS )

, где пробелы (в противном случае должны игнорироваться) были вставлены только для того, чтобы показать конкатенируемые строки.

A вещественное число x считается нормальным, если его цифры в каждом base подчиняется равномерному распределению: все цифры равновероятны, все пары цифр равновероятны, все тройки цифр равновероятны и т. д. x считается нормальным в base b, если его цифры в базе b следуют равномерное распределение.

Если мы обозначим строку цифр как [a 0,a1,...], то в базе 10 мы ожидаем, что строки [0], [1], [2],..., [9] встречаются в 1/10 случаев, строки [0,0], [0,1],..., [9,8], [9,9] встречаются в 1/100 случаев время и т. д. в нормальном числе.

Чамперноун доказал, что $C\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{10\}\}$нормально в базе 10, в то время как Накаи и Шиокава доказал более общую теорему, следствие o f, который означает, что $C\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{b\}\}$является нормальным для любого основания $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$. Вопрос о том, является ли $C\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{k\}\}$нормальным в базисах $b\; \ne \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; \backslash \; neq\; k\}$.

, также дизъюнктивная последовательность.

Первые 161 частное непрерывной дроби постоянной Чамперноуна. 4-й, 18-й, 40-й и 101-й (намного) больше 270, поэтому они не отображаются на графике. Первые 161 частное непрерывной дроби постоянной Чамперноу, представленной с использованием логарифмической шкалы.

Также было изучено разложение простой цепной дроби постоянной Чамперноуна. Курт Малер показал, что константа трансцендентна ; следовательно, его непрерывная дробь не завершает (потому что она не рациональна ) и является апериодической (потому что она не является неприводимой квадратичной).

Члены в разложении непрерывной дроби демонстрируют очень неустойчивое поведение, при этом очень большие члены появляются между множеством маленьких. Например, в базе 10

C10= [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, 4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987, 6, 1, 1,...]. (последовательность A030167 в OEIS )

Большое число в позиции 18 состоит из 166 цифр, а следующий очень большой член в позиции 40 непрерывной дроби состоит из 2504 цифр. Тот факт, что есть такие большие числа, как члены разложения непрерывной дроби, эквивалентны утверждению, что подходящие дроби, полученные остановкой до этих больших чисел, обеспечивают исключительно хорошее приближение постоянной Чамперноуна.

Это можно понять из бесконечного ряда выражения $C\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{10\}\}$: для указанного $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$мы всегда можем аппроксимировать сумму по $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, установив верхний предел на $\infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; infty\}$вместо $10\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{n\}\; -1\}$. Затем мы игнорируем термины для более высокого $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$.

. Например, если мы сохраняем самый низкий порядок n, это эквивалентно усечению перед 4-е частное частное, получаем частичное su м

$10/81\; =\; \sum \; N\; =\; 1\; \infty \; n\; /\; 10\; n\; =\; 0.\; 123456790\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; 10/81\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; n\; /\; 10\; ^\; \{n\}\; =\; 0.\; \{\backslash \; Overline\; \{123456790\}\}\}$

, который приближает константу Чамперноуна с ошибкой примерно 1 × 10. При усечении непосредственно перед 18-м частным мы получаем приближение ко второму порядку:

$60499999499\; 490050000000\; =\; 0,123456789\; +\; 10\; -\; 9\; \sum \; k\; =\; 10\; \infty \; k\; /\; 10\; 2\; (k\; -\; 9)\; =\; 0,123456789\; +\; 10\; -\; 9\; 991\; 9801\; =\; 0,123456789\; 10111213141516171819\dots \; 90919293949596979900010203040506070809\; ¯,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; \{\backslash \; frac9400000\}\; 49940099\; \{\; \}\}\; =\; 0.123456789\; +\; 10\; ^\; \{-\; 9\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 10\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; k\; /\; 10\; ^\; \{2\; (k-9)\}\; =\; 0.123456789\; +\; 10\; ^\; \{-\; 9\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; 991\}\; \{9801\}\}\; \backslash \backslash \; =\; 0.123456789\; \{\backslash \; overline\; \{10111213141516171819\; \backslash \; ldots\; 90919293949596979900010203040506070809\}\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

что приближает константу Шамперновна с ошибкой приблизительно 9 × 10.

первые и вторые по величине слагаемые («максимальные отметки») после начального нуля равны 8 и 9, соответственно, и встречаются в p Варианты 1 и 2. Сикора (2012) заметил, что количество цифр в отметках максимального уровня воды, начиная с четвертого, отображает очевидную закономерность. В самом деле, сами высокие отметки растут вдвойне экспоненциально, и количество цифр $dn\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{n\}\}$в n-й отметке для $n\; ⩾\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geqslant\; 3\}$:

6, 166, 2504, 33102, 411100, 4911098, 57111096, 651111094, 7311111092,...

, чей образец становится очевидным, начиная с 6-го старшего - водяной знак. Количество членов может быть задано следующим образом:

$dn\; =\; 13\; -\; 67\; \ast \; 10\; n\; -\; 3\; 45\; +\; (2\; n\; 5\; n\; -\; 3\; -\; 2),\; n\; \in \; Z\; \cap \; [3,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{n\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{13-67\; *\; 10\; ^\; \{n-3\}\}\; \{45\}\}\; +\; \backslash \; left\; (2\; ^\; \{n\}\; 5\; ^\; \{n-3\}\; -2\; \backslash \; right),\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{\; Z\}\; \backslash \; cap\; \backslash \; left\; [3,\; \backslash \; infty\; \backslash \; right)\}$

Однако до сих пор неизвестно, существует ли способ определить, где встречаются большие члены (как минимум с 6 цифрами), или их ценности. Однако сами отметки паводка расположены в позициях:

1, 2, 4, 18, 40, 162, 526, 1708, 4838, 13522, 34062,...

мера иррациональности для $C\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{10\}\}$: $\mu \; (C\; 10)\; =\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (C\_\; \{10\})\; =\; 10\}$, и в более общем плане $\mu \; (C\; b)\; =\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (C\_\; \{b\})\; =\; b\}$для любого основания $b\; \ge \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; \backslash \; geq\; 2\}$.

• константа Коупленда – Эрдеша, аналогичное нормальное число, определенное с помощью простых чисел
• константа Лиувилля, другая константа, определяемая ее десятичным представлением

• Cassaigne, J.; Николас, Ф. (2010). «Факторная сложность». В Берте, Валери ; Риго, Мишель (ред.). Комбинаторика, автоматы и теория чисел. Энциклопедия математики и ее приложений. 135 . Кембридж: Cambridge University Press. С. 163–247. ISBN 978-0-521-51597-9. Zbl 1216.68204.
• Champernowne, DG (1933), «Построение десятичных дробей, нормальных по десятичной шкале», Журнал Лондонского математического общества, 8( 4): 254–260, doi : 10.1112 / jlms / s1-8.4.254.
• Nakai, Y.; Шиокава, И. (1992), «Расхождения оценок для класса нормальных чисел», Acta Arithmetica, 62(3): 271–284, doi : 10.4064 / aa- 62-3-271-284.

• Вайсштейн, Эрик У. «Константа Чамперноуна». MathWorld.