Частота Бранта – Вяйсяля

Угловая частота, с которой вертикально смещенный участок будет колебаться в статически стабильной среде

В динамике атмосферы, океанография, астросейсмология и геофизика, частота Бранта – Вяйсяля или плавучесть частота, является мерой устойчивости жидкости к вертикальным смещениям, например, вызванным конвекцией. Точнее, это частота, с которой вертикально смещенный участок будет колебаться в статически стабильной среде. Он назван в честь Дэвида Бранта и Вилхо Вяйсяля. Его можно использовать как меру стратификации атмосферы.

• 1 Вывод для общей жидкости
• 2 В метеорологии и астрофизике
• 3 В океанографии
• 4 Контекст
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Рассмотрим участок воды или газа с плотностью $\rho \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\}$. Этот участок находится в среде с другими частицами воды или газа, где плотность среды является функцией высоты: $\rho \; =\; \rho \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; \backslash \; rho\; (z)\}$. Если участок смещен на небольшое вертикальное приращение $z\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \text{'}\}$, и он сохраняет свою первоначальную плотность, так что его объем не меняется, за него будет взиматься дополнительная плата. гравитационная сила, действующая на окружающую среду:

$\rho \; 0\; \partial \; 2\; z\; \prime \; \partial \; t\; 2\; =\; -\; g\; [\rho \; (z)\; -\; \rho \; (z\; +\; z\; \prime )]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; z\; \text{'}\}\; \{\backslash \; partial\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; -\; g\; \backslash \; left\; [\backslash \; rho\; (z)\; -\; \backslash \; rho\; (z\; +\; z\text{'})\; \backslash \; right]\}$

$g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \}$- ускорение свободного падения, определено как положительное. Мы делаем линейное приближение к $\rho \; (z\; +\; z\; \prime )\; -\; \rho \; (z)\; =\; \partial \; \rho \; (z)\; \partial \; zz\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (z\; +\; z\; \text{'})\; -\; \backslash \; rho\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; rho\; (z)\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; z\; \text{'}\}$и переместите $\rho \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\}$на правую сторону:

$\partial \; 2\; z\; \prime \; \partial \; t\; 2\; =\; g\; \rho \; 0\; \partial \; \rho \; (z)\; \partial \; zz\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; z\; \text{'}\}\; \{\backslash \; partial\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{g\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{0\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; rho\; (z)\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; z\; \text{'}\}$

Второй -порядок дифференциальное уравнение имеет простые решения:

$z\; \prime \; =\; z\; 0\; \prime \; ei\; N\; 2\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \text{'}=\; z\text{'}\; \_\; \{0\}\; e\; ^\; \{i\; \{\backslash \; sqrt\; \{N\; ^\; \{2\}\}\}\; t\}\; \backslash !\}$

где частота Бранта – Вяйсяля $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$равна:

$N\; =\; -\; g\; \rho \; 0\; \partial \; \rho \; (z)\; \partial \; Z\; \{\backslash \; Displaystyle\; N\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{g\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{0\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; rho\; (z)\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\}\}\}$

Для отрицательных $\partial \; \rho \; (z)\; \partial \; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; rho\; (z)\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\}$смещение $z\; \prime \; \{\; \backslash \; displaystyle\; z\; \text{'}\}$имеет колеблющиеся решения (а N дает нашу угловую частоту). Если он положительный, то есть неконтролируемый рост, т.е. жидкость статически нестабильна.

Для газового пакета плотность останется фиксированной, как предполагалось в предыдущем выводе, только если давление, $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$, постоянно с высотой, что неверно в атмосфере, ограниченной гравитацией. Вместо этого пакет будет адиабатически расширяться по мере снижения давления. Поэтому в метеорологии используется более общая формулировка:

$N\; \equiv \; g\; \theta \; d\; \theta \; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{g\}\; \{\backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; theta\}\; \{\; dz\}\}\}\}\}$, где $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$- потенциальная температура, $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$- это локальное ускорение силы тяжести, а $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$- геометрическая высота.

Поскольку $\theta \; =\; T\; (P\; 0\; /\; P)\; R\; /\; c\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; T\; (P\_\; \{0\}\; /\; P)\; ^\; \{R\; /\; c\_\; \{P\}\}\}$, где $P\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\}\}$- постоянное эталонное давление, для идеального газа это выражение эквивалентно:

$N\; 2\; \equiv \; g\; \{1\; T\; d\; T\; dz\; -\; R\; c\; P\; 1\; P\; d\; P\; dz\; \}\; знак\; равно\; g\; \{1\; T\; d\; T\; dz\; -\; \gamma \; -\; 1\; \gamma \; 1\; P\; d\; P\; dz\}\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Equiv\; g\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dT\; \}\; \{dz\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{c\_\; \{P\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{P\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dP\}\; \{dz\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; =\; g\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dT\}\; \{dz\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; -1\}\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{P\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dP\}\; \{dz\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$,

где в последней форме $\gamma \; =\; c\; P\; /\; c\; V\; \{\backslash \; displayst\; yle\; \backslash \; gamma\; =\; c\_\; \{P\}\; /\; c\_\; \{V\}\}$, индекс адиабаты. Используя закон идеального газа, мы можем исключить температуру, чтобы выразить $N\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; ^\; \{2\}\}$через давление и плотность:

$N\; 2\; \equiv \; g\; \{1\; \gamma \; 1\; P\; d\; P\; dz\; -\; 1\; \rho \; d\; \rho \; dz\; -\}\; знак\; равно\; g\; \{1\; \gamma \; d\; ln\; \; P\; dz\; -\; d\; ln\; \; \rho \; dz\}\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Equiv\; g\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{P\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dP\}\; \{dz\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; rho\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; rho\}\; \{dz\}\}\; -\; \backslash \; right\; \backslash \}\; =\; g\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; ln\; P\}\; \{dz\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; ln\; \backslash \; rho\}\; \{dz\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$.

Эта версия на самом деле является более общей, чем первая, поскольку она применяется, когда химический состав газа изменяется с высотой, а также для несовершенных газов с переменным индексом адиабаты в этот случай $\gamma \; \equiv \; \gamma \; 01\; знак\; равно\; (\partial \; пер\; п\; /\; \partial \; пер\; \; \rho )\; S\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; гамма\; \backslash \; эквив\; \backslash \; гамма\; \_\; \{01\}\; =\; (\backslash \; partial\; \backslash \; ln\; P\; /\; \backslash \; partial\; \backslash \; ln\; \backslash \; rho)\; \_\; \{S\}\}$, т.е. производная берется при постоянной энтропии, $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$.

Если газовый пакет толкается вверх и $N\; 2>0\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; ^\; \{2\}>0\}$, воздушная посылка будет двигаться вверх и вниз по высоте, где плотность посылки соответствует плотности окружающего воздуха. Если воздушная посылка вытолкнута вверх и $N\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; ^\; \{2\}\; =\; 0\}$, воздушная посылка не будет двигаться дальше. Если воздушная посылка подталкивается вверх и (т.е. частота Бранта – Вяйсяля мнима), то воздушная посылка будет подниматься и подниматься, если $N\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; ^\; \{2\}\; \}$снова становится положительным или нулевым выше в атмосфере. На практике это приводит к конвекции, и, следовательно, критерий Шварцшильда устойчивости к конвекции (или критерий Леду при наличии композиционной стратификации) эквивалентен утверждению, что $N\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; ^\; \{2\}\}$должно быть положительным.

Частота Бранта – Вяйсяля обычно фигурирует в уравнениях термодинамики для атмосферы и в структуре звезд.

В океане, где соленость важна, или в пресноводных озерах, близких к замерзанию, где плотность не является линейной функцией температура,

$N\; \equiv \; -\; g\; \rho \; d\; \rho \; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{g\}\; \{\backslash \; rho\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; rho\}\; \{dz\}\}\}\}\}$, где $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$, потенциальная плотность, зависит как от температуры, так и от солености.

Пример осцилляции Бранта – Вяйсяля в стратифицированной по плотности жидкости можно наблюдать в фильме «Волшебная пробка» здесь.

Эта концепция происходит из Второго закона Ньютона применительно к частицам жидкости в присутствии фоновой стратификации (при которой плотность изменяется по вертикали, т. е. можно сказать, что плотность имеет несколько вертикальных слоев). Посылка, смещенная по вертикали из исходного положения, испытывает вертикальное ускорение. Если ускорение возвращается к исходному положению, расслоение считается устойчивым, и пакет колеблется вертикально. В этом случае N>0 и угловая частота колебаний задается N. Если ускорение отличается от начального положения (N< 0), the stratification is unstable. In this case, overturning or convection generally ensues.

Частота Бранта – Вяйсяля относится к внутренним гравитационным волнам : это частота, когда волны распространяются горизонтально; она дает полезное описание атмосферных и океанических стабильность.

• Плавучесть
• Ячейка Бенара

1. ^Валлис, Джеффри К. (2017). Атмосферная и океаническая гидродинамика: основы и крупномасштабная циркуляция (2-е изд..). Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017 / 9781107588417. ISBN 9781107588417. OCLC 990033511.
2. ^Эммануэль, KA (1994). Атмосферная конвекция. Oxford University Press. doi : 10.1002 / joc.3370150709. ISBN 0195066308.
3. ^Кристенсен-Далсгаард, Йорген (2014), Конспекты лекций по звездным колебаниям (PDF) (5-е изд.)