Толщина пограничного слоя

На этой странице описаны некоторые параметры, используемые для характеристики толщины и формы пограничных слоев, образованных жидкостью течет по твердой поверхности. Определяющей характеристикой течения в пограничном слое является то, что у твердых стенок скорость жидкости снижается до нуля. Пограничный слой относится к тонкому переходному слою между стенкой и объемным потоком жидкости. Концепция пограничного слоя была первоначально разработана Людвигом Прандтлем и в целом подразделяется на два типа: ограниченный и неограниченный . Каждый из основных типов имеет подтип ламинарный, переходный и турбулентный. В двух типах пограничных слоев используются аналогичные методы для описания толщины и формы переходной области с парой исключений, подробно описанных в разделе «Неограниченный пограничный слой». Характеристики, подробно описанные ниже, относятся к установившемуся потоку, но легко расширяются до неустойчивый поток.

• 1 Описание ограниченного граничного слоя
  • 1.1 Толщина граничного слоя 99%
  • 1.2 Толщина смещения
  • 1.3 Толщина импульса
  • 1,4 Коэффициент формы
  • Метод 1,5 моментов
• 2 Описание неограниченного граничного слоя
  • 2.1 Метод момента
  • 2.2 δ max Толщина
  • 2.3 Толщина граничного слоя 99%
  • 2.4 Толщина смещения, толщина импульса и коэффициент формы
• 3 Дополнительная литература
• 4 Примечания
• 5 Ссылки

Boundedпограничные слои - это имя, используемое для обозначения потока жидкости вдоль внутренней стенки, например что другие внутренние стенки создают давление на поток жидкости вдоль рассматриваемой стенки. Определяющей характеристикой этого типа пограничного слоя является то, что профиль скорости, нормальный к стенке, плавно асимптотически, без пика, с постоянным значением скорости, обозначенным как ue(x) . Концепция ограниченного пограничного слоя изображена для устойчивого потока, входящего в нижнюю половину двухмерного канала с тонкой плоской пластиной высотой H на рисунке 1 (поток и пластина проходят в положительном / отрицательном направлении, перпендикулярном плоскость xy). Примеры этого типа потока в пограничном слое встречаются для потока жидкости через большинство труб, каналов и аэродинамических труб. Двумерный канал, изображенный на рисунке 1, является стационарным, при этом жидкость течет вдоль внутренней стенки со средней по времени скоростью u (x, y), где x - направление потока, а y - нормаль к стенке. Пунктирная линия H / 2 добавлена, чтобы подтвердить, что это ситуация с потоком во внутренней трубе или канале и что есть верхняя стенка, расположенная над изображенной нижней стенкой. На рисунке 1 показано поведение потока для значений H, которые больше максимальной толщины пограничного слоя, но меньше толщины, при которой поток начинает вести себя как внешний поток. Если расстояние от стены до стены, H, меньше толщины вязкого пограничного слоя, то профиль скорости, определяемый как u (x, y) в x для всех y, принимает параболический профиль в направлении y, а толщина пограничного слоя равна H / 2.

У твердых стенок пластины жидкость имеет нулевую скорость (граничное условие без проскальзывания ), но по мере удаления от стенки скорость потока увеличивается без пика, а затем приближается к постоянной средней скорости u e (x). Эта асимптотическая скорость может изменяться или не изменяться вдоль стенки в зависимости от геометрии стенки. Точкой, где профиль скорости по существу достигает асимптотической скорости, является толщина пограничного слоя . Толщина пограничного слоя изображена в виде изогнутой пунктирной линии, начинающейся у входа в канал на рисунке 1. Невозможно определить точное место, в котором профиль скорости достигает асимптотической скорости . В результате ряд параметров толщины пограничного слоя, обычно обозначаемых как $\delta \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (x)\}$, используется для описания характерных масштабов толщины в области пограничного слоя.. Также представляет интерес форма профиля скорости, которая полезна для различения ламинарных и турбулентных потоков в пограничном слое. Форма профиля относится к y-поведению профиля скорости при переходе к u e (x).

Рисунок 1: Схематический рисунок, изображающий поток жидкости, входящий в нижнюю половину двухмерного канала с расстоянием между пластинами, равным H. Поток и канал проходят перпендикулярно плоскости xy.

Граница 99% Толщина слоя

Толщина пограничного слоя, $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$- это расстояние по нормали к стене до точки, в которой скорость потока по существу достиг «асимптотической» скорости, $ue\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{e\}\}$. До разработки метода моментов отсутствие очевидного метода определения толщины пограничного слоя привело к тому, что большая часть сообщества потоков во второй половине 1900-х годов приняла местоположение $y\; 99\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{99\}\; \}$, обозначается как $\delta \; 99\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{99\}\}$и задается как

$u\; (x,\; y\; 99)\; =\; 0.99\; ue\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x,\; y\_\; \{99\})\; =\; 0.99u\_\; \{e\}\; (x)\; \backslash \; quad,\}$

в качестве толщины пограничного слоя..

Для ламинарного пограничного слоя течет по каналу плоской пластины, которые ведут себя в соответствии с условиями решения Блазиуса, $\delta \; 99\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{99\}\}$значение близко приблизительно

$\delta \; 99\; (x)\; \approx \; 5,0\; \nu \; xu\; 0\; =\; 5,0\; x\; R\; ex,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{99\}\; (x)\; \backslash \; приблизительно\; 5,0\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\; \backslash \; nu\; x\}\; \backslash \; over\; u\_\; \{0\}\}\}\; =\; 5.0\; \{x\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; mathrm\; \{Re\}\; \_\; \{x\}\}\}\}\; \backslash \; quad,\}$

где $ue\; \approx \; u\; 0\; \{\; \backslash \; displaystyle\; u\_\; \{e\}\; \backslash \; приблизительно\; u\_\; \{0\}\}$- константа, и где.

$R\; ex\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Re\}\; \_\; \{x\}\}$- это Число Рейнольдса,

$u\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{0\}\}$- скорость набегающего потока,

$ue\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{e\}\}$- асимптотика скорость,

$x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$- расстояние вниз по потоку от начала пограничного слоя, а

$\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$- кинематическая вязкость..

Для турбулентных пограничных слоев вдоль канала плоской пластины толщина пограничного слоя $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$, определяется как

$\delta \; (x)\; \approx \; 0,37\; x\; R\; e\; x\; 1/5.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (x)\; \backslash \; приблизительно\; 0,37\; \{x\; \backslash \; over\; \{\backslash \; mathrm\; \{Re\}\; \_\; \{x\}\}\; ^\; \{1/5\}\}\; \backslash \; quad.\}$

Эта формула толщины турбулентного пограничного слоя предполагает 1) поток является турбулентным с самого начала пограничного слоя и 2) турбулентный пограничный слой ведет себя геометрически подобным образом (т.е. профили скорости геометрически подобны вдоль потока в направлении x, отличаясь только параметры масштабирования в $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$и $u\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x,\; y)\}$). Ни одно из этих предположений не верно для общего случая турбулентного пограничного слоя, поэтому следует соблюдать осторожность при применении этой формулы.

Толщина смещения

Толщина смещения, $\delta \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\}\}$или $\delta \; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; ^\; \{*\}\}$, нормальное расстояние до базовой плоскости, представляющей нижний край гипотетической невязкой жидкости с постоянной скоростью $ue\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{e\}\}$с такой же скоростью потока, что и в реальной жидкости с пограничным слоем.

Толщина вытеснения существенно изменяет форму тела, погруженного в жидкость, чтобы допускают, в принципе, невязкое решение, если толщины смещения были известны априори.

Определение толщины вытеснения для сжимаемого потока, основанное на массовом расходе, составляет

$\delta \; 1\; (x)\; =\; \int \; 0\; H\; /\; 2\; (1\; -\; \rho \; (x,\; y)\; U\; (x,\; y)\; \rho \; eue\; (x))\; dy,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; delta\; \_\; \{1\}\; (x)\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{H\; /\; 2\}\; \{\backslash \; left\; (1-\; \{\; \backslash \; rho\; (x,\; y)\; u\; (x,\; y)\; \backslash \; over\; \backslash \; rho\; \_\; \{e\}\; u\_\; \{e\}\; (x)\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\}\; \backslash \; quad,\}$

где $\rho \; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (x,\; y)\}$- плотность. Для несжимаемого потока плотность постоянна, поэтому определение, основанное на объемном расходе, становится

$\delta \; 1\; (x)\; =\; \int \; 0\; H\; /\; 2\; (1\; -\; u\; (x,\; y)\; ue\; (x))\; dy.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; delta\; \_\; \{1\}\; (x)\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{H\; /\; 2\}\; \{\backslash \; left\; (1-\; \{u\; (x,\; y)\; \backslash \; over\; u\_\; \{e\}\; (x)\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\}\; \backslash \; quad.\}$

Для расчетов турбулентного пограничного слоя используются усредненные по времени плотность и скорость.

Для ламинарного пограничного слоя течет по плоской пластине, которая ведет себя в соответствии с условиями решения Блазиуса, толщина смещения составляет

$\delta \; 1\; (x)\; \approx \; 1,72\; \nu \; xu\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\}\; (x)\; \backslash \; приблизительно\; 1,72\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; nu\; x\}\; \backslash \; over\; u\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; quad,\}$

где $ue\; \approx \; u\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{e\}\; \backslash \; приблизительно\; u\_\; \{0\}\}$является постоянным.

Толщина вытеснения не связана напрямую с толщиной пограничного слоя, но задается приблизительно как $\delta \; 1\; \approx \; \delta \; /\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; delta\; /\; 3\}$. Он играет важную роль в вычислении коэффициента формы. Он также отображается в различных формулах метода моментов.

Толщина импульса

Толщина импульса, $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$или $\delta \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{2\}\}$, это нормальное расстояние до базовой плоскости, представляющей нижний край гипотетической невязкой жидкости с постоянной скоростью $ue\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{e\}\}$, который имеет тот же расход импульса, что и в реальной жидкости с пограничным слоем.

Определение толщины импульса для сжимаемого потока на основе массового расхода равно

$\delta \; 2\; (x)\; =\; \int \; 0\; H\; /\; 2\; \rho \; (x,\; y)\; u\; (x,\; y)\; \rho \; 0\; ue\; (x)\; (1\; -\; u\; (x,\; y)\; ue\; (x))\; dy.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{2\}\; (х)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{H\; /\; 2\}\; \{\{\backslash \; rho\; (x,\; y)\; u\; (x,\; y)\; \backslash \; over\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; u\_\; \{\; e\}\; (x)\}\; \{\backslash \; left\; (1-\; \{u\; (x,\; y)\; \backslash \; over\; u\_\; \{e\}\; (x)\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\; \backslash \; quad.\}$

Для несжимаемый расход, плотность постоянна, так что определение, основанное на объемном расходе, становится

$\delta \; 2\; (x)\; =\; \int \; 0\; H\; /\; 2\; u\; (x,\; y)\; ue\; (x)\; (1\; -\; u\; (x,\; y)\; ue\; (x))\; dy,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{2\}\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{H\; /\; 2\}\; \{\{u\; (x,\; y)\; \backslash \; over\; u\_\; \{\; e\}\; (x)\}\; \{\backslash \; left\; (1-\; \{u\; (x,\; y)\; \backslash \; over\; u\_\; \{e\}\; (x)\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\; \backslash \; quad,\}$

где $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$- плотность, а $ue\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{e\}\}$- «асимптотическая» скорость.

Для расчетов турбулентного пограничного слоя используются усредненные по времени плотность и скорость.

Для ламинарного пограничного слоя течет по плоской пластине, которая ведет себя в соответствии с условиями решения Блазиуса, толщина импульса составляет

$\delta \; 2\; (x)\; \approx \; 0,664\; \nu \; xu\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{2\}\; (x)\; \backslash \; приблизительно\; 0,664\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; nu\; x\}\; \backslash \; over\; u\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; quad,\}$

где $ue\; \approx \; u\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{e\}\; \backslash \; приблизительно\; u\_\; \{0\}\}$является постоянным.

Толщина импульса не связана напрямую с толщиной пограничного слоя, но задается приблизительно как $\delta \; 2\; \approx \; \delta \; /\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{2\}\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; delta\; /\; 6\}$. Он играет важную роль в вычислении коэффициента формы.

Связанный параметр, называемый энергетической толщиной, иногда упоминается в связи с турбулентным распределением энергии, но используется редко.

Коэффициент формы

A Коэффициент формы используется в потоке в пограничном слое, чтобы помочь различить ламинарный и турбулентный потоки. Это также проявляется в различных приблизительных трактовках пограничного слоя, включая метод Туэйта для ламинарных потоков. Формальное определение дается следующим образом:

$H\; 12\; (x)\; =\; \delta \; 1\; (x)\; \delta \; 2\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{12\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; \_\; \{1\}\; (x)\; \}\; \{\backslash \; delta\; \_\; \{2\}\; (x)\}\}\; \backslash \; quad,\}$

где $H\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{12\}\}$- коэффициент формы, $\delta \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\}\}$- толщина смещения, а $\delta \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{2\}\}$- толщина импульса.

Обычно $H\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{12\}\}$= 2,59 (пограничный слой Блазиуса) типично для ламинарных потоков, а $H\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{12\}\}$= 1,3–1,4 характерно для турбулентных течений вблизи ламинарно-турбулентного перехода. Для турбулентных потоков вблизи отрыва $H\; 12\; \approx \; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{12\}\; \backslash \; приблизительно\}$2.7. Учитывая, что ламинарные и турбулентные значения $H\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{12\}\}$перекрываются, это не всегда является определяющим параметром для различения ламинарных и турбулентных пограничных слоев.

Метод моментов

Относительно новый метод для описания толщины и формы пограничного слоя использует методологию математических моментов, которая обычно используется для характеристики статистической вероятности функции. Метод моментов пограничного слоя был разработан на основе наблюдения, что график второй производной пограничного слоя Блазиуса для ламинарного потока над пластиной очень похож на кривую распределения Гаусса. Значение второй производной гауссоподобной формы состоит в том, что форма профиля скорости для ламинарного потока близко аппроксимируется как дважды интегрированная функция Гаусса .

Метод моментов основан на простых интегралах профиля скорости, которые используют весь профиль, а не только несколько точек данных хвостовой области, как это делает $\delta \; 99\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{99\}\}$. Метод моментов вводит четыре новых параметра, которые помогают описать толщину и форму пограничного слоя. Этими четырьмя параметрами являются среднее местоположение, пограничный слой ширина, профиль скорости асимметрия и профиль скорости превышение. Асимметрия и эксцесс являются параметрами истинной формы в отличие от параметров простого соотношения, таких как H 12. Применение метода моментов к первой и второй производным профиля скорости генерирует дополнительные параметры, которые, например, определяют расположение, форму и толщину сил вязкости в турбулентном пограничном слое. Уникальное свойство параметров метода моментов состоит в том, что можно доказать, что многие из этих параметров толщины скорости также являются параметрами масштабирования подобия. То есть, если подобие присутствует в наборе профилей скорости, то эти параметры толщины также должны быть параметрами масштабирования длины подобия.

Несложно отлить правильно масштабированный профиль скорости и его первые две производные в подходящие целые ядра.

Центральные моменты на основе масштабированных профилей скорости определяются как

$\zeta \; n\; (x)\; =\; \int \; 0\; H\; /\; 2\; (y\; -\; m\; (x))\; n\; 1\; \delta \; 1\; (x)\; (1\; -\; u\; (x,\; y)\; ue\; (x))\; dy,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; zeta\; \_\; \{n\}\; (x)\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{H\; /\; 2\}\; \{(ym\; (x))\; ^\; \{n\; \}\; \{1\; \backslash \; over\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\}\; (x)\}\; (1-\; \{u\; (x,\; y)\; \backslash \; over\; u\_\; \{e\}\; (x)\})\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\}\; \backslash \; quad,\}$

где $\delta \; 1\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\}\; (x)\}$- толщина смещения, а среднее местоположение, $м\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; (x)\}$определяется как

$m\; (x)\; =\; \int \; 0\; H\; /\; 2\; y\; 1\; \delta \; 1\; (x)\; (1\; -\; u\; (x,\; y)\; ue\; (x))\; dy.\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{H\; /\; 2\}\; \{y\; \{1\; \backslash \; over\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\}\; (x)\}\; (1-\; \{u\; (x,\; y)\; \backslash \; over\; u\_\; \{\; e\}\; (x)\})\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\}\; \backslash \; quad.\}$

Есть некоторые преимущества, связанные с включением описаний моментов производных профиля пограничного слоя по отношению к высоте над стеной. Рассмотрим центральные моменты профиля скорости первой производной, заданные как

$\kappa \; n\; (x)\; =\; \int \; 0\; H\; /\; 2\; (y\; -\; \delta \; 1\; (x))\; nd\; \{u\; (x,\; y)\; /\; ue\; (x)\}\; dydy,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; kappa\; \_\; \{n\}\; (x)\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{H\; /\; 2\}\; \{(y\; -\; \{\backslash \; delta\; \_\; \{1\}\; (x)\})\; ^\; \{n\}\; \{d\; \backslash \; \{\; u\; (x,\; y)\; /\; u\_\; \{e\}\; (x)\; \backslash \}\; \backslash \; over\; dy\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\}\; \backslash \; quad,\}$

где первая производная среднее положение - толщина смещения $\delta \; 1\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\}\; (x)\}$.

Наконец, центральные моменты профиля скорости второй производной определяются как

$\lambda \; n\; (x)\; =\; \int \; 0\; H\; /\; 2\; (\; y\; -\; \mu \; 1\; (x))\; nd\; 2\; \{-\; \mu \; 1\; (x)\; u\; (x,\; y)\; /\; ue\; (x)\}\; dy\; 2\; dy,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; (x)\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{H\; /\; 2\}\; \{(y\; -\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; (x)\})\; ^\; \{n\}\; \{d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; \{-\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; (x)\; u\; (\; x,\; y)\; /\; u\_\; \{e\}\; (x)\; \backslash \}\; \backslash \; over\; dy\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\}\; \backslash \; quad,\}$

где вторая производная означает местоположение, $\mu \; 1\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; (x)\}$, определяется как

$\mu \; 1\; (x)\; =\; ue\; (x)\; du\; (x,\; y)\; dy\; |\; y\; знак\; равно\; 0\; знак\; равно\; v\; ue\; (x)\; \tau \; вес\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; (x)\}\; =\; \{u\_\; \{e\}\; (x)\; \backslash \; over\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{du\; (x),\; y)\}\; \{dy\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{y\; =\; 0\}\}\; =\; \{\backslash \; upsilon\; u\_\; \{e\}\; (x)\; \backslash \; over\; \backslash \; tau\; \_\; \{w\}\; (x)\}\; \backslash \; quad,\}$

где $\upsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; upsilon\}$- вязкость, а $\tau \; w\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \_\; \{w\}\; (x)\}$- стена напряжение сдвига. Среднее местоположение, $\mu \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}$, для этого случая формально определяется как u e (x) над областью под вторым производная кривая.. Приведенные выше уравнения работают как для ламинарных, так и для турбулентных пограничных слоев, если для турбулентного случая используется усредненная по времени скорость.

С определенными моментами и средними местоположениями, толщина и форма пограничного слоя могут быть описаны в терминах ширины пограничного слоя (дисперсия ), асимметрии и эксцессы (чрезмерный эксцесс ). Экспериментально установлено, что толщина, определяемая как $\delta \; m\; =\; m\; +\; 3\; \sigma \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{m\}\; =\; m\; +\; 3\; \backslash \; sigma\; \_\; \{m\}\}$, где $\sigma \; m\; =\; \zeta \; 2\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{m\}\; =\; \backslash \; zeta\; \_\; \{2\}\; ^\; \{1/2\}\}$, отслеживает $\delta \; 99\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{99\}\}$очень хорошо для турбулентных течений в пограничном слое.

Принимая во внимание уравнения баланса импульса пограничного слоя, моменты второй производной пограничного слоя, $\lambda \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\}\}$отслеживает толщину и форму той части пограничного слоя, где силы вязкости значительны. Следовательно, метод моментов позволяет отслеживать и количественно определять ламинарный пограничный слой и внутреннюю вязкую область турбулентных пограничных слоев с помощью $\lambda \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{\; n\}\}\}$моментов, тогда как толщина и форма пограничного слоя всего турбулентного пограничного слоя отслеживается с помощью $\zeta \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; zeta\; \_\; \{n\}\}\}$и $\kappa \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; kappa\; \_\; \{n\}\}\}$моменты.

Вычисление моментов второй производной может быть проблематичным, поскольку при определенных условиях вторые производные могут стать положительными в очень пристеночной области (в общем случае отрицательными). Это, по-видимому, относится к внутреннему потоку с отрицательным градиентом давления (ПНГ). Значения интегрирования не меняют знак в стандартной структуре вероятностей, поэтому применение методологии момента к случаю второй производной приведет к смещенным измерениям момента. Вейберн указал, что простое исправление состоит в том, чтобы исключить проблемные значения и определить новый набор моментов для усеченного профиля второй производной, начиная с минимума второй производной. Если ширина $\sigma \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{v\}\}\}$вычисляется с использованием минимума в качестве среднего местоположения, то толщина вязкого пограничного слоя определяется как точка, в которой второй производный профиль над стенкой становится незначительным, его можно правильно идентифицировать с помощью этого модифицированного подхода.

Для производных моментов, у которых подынтегральные выражения не меняют знак, моменты могут быть вычислены без необходимости брать производные с помощью интегрирования по частям, чтобы уменьшить моменты до простых интегралов на основе ядра толщины смещения, заданного как

$\alpha \; n\; (x)\; =\; \int \; 0\; H\; /\; 2\; yn\; (1\; -\; u\; (x,\; y)\; ue\; (x))\; dy.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\}\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{H\; /\; 2\}\; \{y\; ^\; \{n\}\; (1-\; \{u\; (x,\; y)\; \backslash \; over\; u\_\; \{e\}\; (\; x)\})\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\}\; \backslash \; quad.\}$

Например, значение второй производной $\sigma \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{v\}\}$равно $\sigma \; v\; знак\; равно\; -\; \mu \; 1\; 2\; +\; 2\; \mu \; 1\; \alpha \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{v\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{-\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}\; ^\; \{2\}\; +2\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{0\}\}\}\}$и асимметрия первой производной, $\gamma \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\}$, могут быть вычислены так как

$\gamma \; 1\; (x)\; =\; \kappa \; 3\; /\; \kappa \; 2\; 3/2\; =\; (2\; \delta \; 1\; 3\; -\; 6\; \delta \; 1\; \alpha \; 1\; +\; 3\; \alpha \; 2)\; /\; (2\; \alpha \; 1\; -\; \delta \; 1\; 2)\; 3/2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\; (x)\; =\; \backslash \; kappa\; \_\; \{3\}\; /\; \backslash \; kappa\; \_\; \{2\}\; ^\; \{3/2\}\; =\; (2\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\}\; ^\; \{3\}\; -6\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; +3\; \backslash \; alpha\; \_\; \{2\})\; /\; (2\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\})\; ^\; \{3/2\}\; \backslash \; quad.\}$

Было показано, что этот параметр отслеживает изменения формы пограничного слоя, которые сопровождают переход от ламинарного пограничного слоя к турбулентному.

Численные ошибки, возникающие при вычислении моментов, особенно моментов более высокого порядка, серьезное беспокойство. Небольшие экспериментальные или численные ошибки могут привести к взрыву части подынтегральных выражений со свободным потоком. Чтобы избежать этих ошибок, необходимо следовать рекомендациям по численным расчетам, упомянутым Вейберном.

Неограниченные пограничные слои, как следует из названия, обычно представляют собой потоки внешнего пограничного слоя вдоль стен (и некоторые внутренние потоки с очень большими зазорами в каналах и трубах). Хотя это и не признается широко, определяющей характеристикой этого типа потока является то, что профиль скорости проходит через пик около края вязкого пограничного слоя, а затем медленно асимптотически приближается к скорости набегающего потока u 0. Примером такого типа течения в пограничном слое может служить пристенный воздушный поток над крылом в полете. Концепция неограниченного пограничного слоя изображена для установившегося ламинарного потока вдоль плоской пластины на рисунке 2. Нижняя пунктирная кривая представляет положение максимальной скорости u max (x), а верхняя пунктирная кривая представляет место, где u (x, y) по существу становится u 0, то есть местоположением толщины пограничного слоя. Для очень тонкого корпуса с плоской пластиной пик небольшой, в результате чего внешний пограничный слой плоской пластины очень похож на корпус с плоским каналом внутреннего потока. Это привело к тому, что большая часть литературы по потокам жидкости неверно трактовала ограниченный и неограниченный случаи как эквивалентные. Проблема с этим представлением об эквивалентности состоит в том, что максимальное пиковое значение может легко превышать 10-15% от u 0 для потока вдоль крыла в полете. Вейберн исследовал это и другие различия в серии отчетов Air Force Tech Reports.

Пик неограниченного пограничного слоя означает, что некоторые параметры толщины профиля скорости и формы, которые используются для потоков внутреннего ограниченного пограничного слоя, должны быть быть пересмотренным для этого случая. Среди других отличий случай ламинарного неограниченного пограничного слоя включает в себя вязкие и инерционные области с преобладанием, подобные турбулентным потокам в пограничном слое.

Рис. 2: Изображение ламинарного «неограниченного» пограничного слоя вдоль двухмерной плоской пластины с потоком и пластиной, простирающейся перпендикулярно плоскости xy.

Метод моментов

Для неограниченного внешнего вида пограничный слой, необходимо изменить уравнения моментов для достижения желаемой цели оценки различных местоположений толщины пограничного слоя. Пиковое поведение профиля скорости означает, что нормализация по площади моментов $\zeta \; n\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; \_\; \{n\}\; (x)\}$становится проблематичной. Чтобы избежать этой проблемы, было предложено разделить неограниченный пограничный слой на вязкую и инерционную области и затем рассчитать толщину пограничного слоя с использованием отдельных интегралов момента, специфичных для этой области. То есть, внутреннюю вязкую область ламинарных и турбулентных неограниченных областей пограничного слоя можно отслеживать с помощью модифицированного $\lambda \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\}\}$моменты, тогда как общую толщину пограничного слоя можно отслеживать с помощью модифицированных $\zeta \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; zeta\; \_\; \{n\}\}\}$и $\kappa \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; kappa\; \_\; \{n\}\}\}$моменты . Низкая скорость, с которой пик достигает скорости набегающего потока, означает, что рассчитанные значения толщины пограничного слоя обычно намного больше, чем в случае ограниченного пограничного слоя.

Модифицированный $\zeta \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; zeta\; \_\; \{\; n\}\}\}$и $\kappa \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; kappa\; \_\; \{n\}\}\}$моменты создаются путем: 1) замены нижнего предела интеграла расположением пик скорости, обозначенный $\delta \; max\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; delta\; \_\; \{max\}\}\}$, 2) изменение верхнего предела интеграла на h, где h находится глубоко в набегающем потоке, и 3) изменение шкалы скорости с $ue\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{e\}\}$на $u\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{0\}\}$. Толщина смещения в модифицированных моментах должна быть рассчитана с использованием тех же интегральных пределов, что и модифицированные интегралы момента. Если взять $\delta \; max\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{max\}\}$в качестве среднего местоположения, модифицированная 3-сигма толщина пограничного слоя станет $\delta \; m\; =\; \delta \; max\; +\; 3\; \sigma \; i\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{m\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{max\}\; +3\; \backslash \; sigma\; \_\; \{i\}\}$где $\sigma \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{i\}\}$- это измененная ширина $\zeta \; 2\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; zeta\; \_\; \{2\}\; ^\; \{1/2\}\}\}$.

модифицированные $\lambda \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\}\}$моменты второй производной могут быть вычислены с использованием тех же интегралов, которые определены выше. но с h вместо H / 2 для верхнего предела интеграла, когда h находится глубоко в набегающем потоке, и с изменением шкалы скорости с $ue\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{e\}\}$на $и\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{0\}\}$. Чтобы избежать численных ошибок, следует следовать рекомендациям по расчетам, упомянутым Вейберном. Те же проблемы для моментов второй производной в отношении ограниченных пограничных слоев APG для ограниченного случая выше также применимы к модифицированным моментам для неограниченного случая.

Пример измененных моментов показан для неограниченного течения в пограничном слое вдоль сечения крыла на рисунке 3. Эта цифра была получена в результате двухмерного моделирования Свансоном и Лангером для ламинарного воздушного потока 0,5 Маха над секцией крыла NACA_0012. На этом рисунке представлены модифицированные 3 сигмы $\delta \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{m\}\}$, модифицированные 3 сигмы $\delta \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{v\; \}\}$и местоположения $\delta \; 99\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{99\}\}$. Измененное значение отношения $\delta \; m\; /\; \delta \; 99\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{m\}\; /\; \backslash \; delta\; \_\; \{99\}\}$равно 311, модифицированное $\delta \; v\; /\; \delta \; 99\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{v\}\; /\; \backslash \; delta\; \_\; \{99\}\}$значение коэффициента равно ~ 2, а значение $umax\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{max\}\}$равно 9 % выше значения $u\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{0\}\}$. Большая разница между $\delta \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{m\}\}$и $\delta \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{v\}\}$по сравнению с значение $\delta \; 99\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{99\}\}$демонстрирует неадекватность границы $\delta \; 99\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{99\}\}$толщина слоя. Кроме того, большой пик скорости демонстрирует проблему с обработкой внутренних ограниченных пограничных слоев как эквивалента внешних неограниченных пограничных слоев .

Рисунок 3: Профиль скорости из моделирования аэродинамического профиля NACA0012 при x / c = 0,3 по Суонсону и Лангеру.

δmax Толщина

Местоположение пика скорости, обозначенное как $\delta \; max\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{max\}\}$является очевидным демаркационным местом для неограниченного пограничного слоя . Основная привлекательность этого выбора заключается в том, что это местоположение приблизительно разделяет вязкую и инерционную области. Для моделирования ламинарного потока 0,5 Маха вдоль крыла, u max, расположенное при δ max, как находят, аппроксимирует толщину вязкого пограничного слоя, заданную как $\delta \; макс\; \approx \; \delta \; v\; 4,3\; знак\; равно\; \mu \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{max\}\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; delta\; \_\; \{v\}\; ^\; \{4.3\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}$+$4,3\; \sigma \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; 4.3\; \backslash \; sigma\; \_\; \{v\}\}$. Для инерционных областей как ламинарных, так и турбулентных потоков, $\delta \; m\; a\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{max\}\}$является удобной нижней границей для интегралов момента. Если ширина, $\sigma \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{i\}\}\}$, вычисляется с использованием $\delta \; max\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{max\}\}$в качестве среднего местоположения, тогда толщина пограничного слоя, определяемая как точка, в которой скорость по существу становится равной u 0 над стенкой, затем может быть правильно идентифицирована.

99% толщины пограничного слоя

Существенным следствием пикового поведения является то, что толщина 99%, $\delta \; 99\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{\; 99\}\}$, НЕ рекомендуется в качестве параметра толщины для внешнего потока, неограниченного пограничного слоя, поскольку он больше не соответствует местоположению пограничного слоя последствий. Это полезно только для неограниченного ламинарного потока вдоль очень тонкой плоской пластины при нулевом угле падения к направлению потока, поскольку пик для этого случая будет очень маленьким, а профиль скорости будет точно аппроксимирован как случай ограниченного пограничного слоя. Для толстых пластин-стенок, с ненулевыми углами падения или обтекания большинства твердых поверхностей, избыточный поток из-за сопротивления формы приводит к пристенному пику в профиле скорости, создавая $\delta \; 99\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{99\}\}$бесполезно.

Толщина смещения, толщина импульса и коэффициент формы

Толщина смещения, толщина импульса и коэффициент формы, в принципе, могут быть рассчитаны с использованием того же подхода, который описан выше для ограниченного пограничного слоя. кейс. Однако пиковый характер неограниченного пограничного слоя означает, что инерционный участок толщины смещения и толщины импульса будет стремиться компенсировать пристеночную часть. Следовательно, толщина смещения и толщина импульса будут вести себя по-разному для ограниченного и неограниченного случаев. Один из вариантов, чтобы толщина неограниченного смещения и толщина импульса приблизительно вели себя как ограниченный случай, заключается в использовании u max в качестве параметра масштабирования и δ max в качестве верхнего интегрального предела.

• Rosenhead, Louis, ed. Ламинарные пограничные слои. Clarendon Press, 1963.
• Lagerstrom, Paco Axel. Теория ламинарного течения. Princeton University Press, 1996.
• Schlichting, Hermann, Boundary-Layer Theory, 7-е изд., New York: McGraw-Hill, 1979.
• Фрэнк М. Уайт, Fluid Mechanics, McGraw- Hill, 5-е издание, 2003 г.

• Прандтль, Людвиг (1904), «Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung», Verhandlungen des Dritten Internationalen Mathematiker-Kongress in Heidelberg 1904, Krazer, ed., Teubner, Leipzig, 484–491 (1905).
• Schlichting, Hermann (1979), Boundary-Layer Theory, 7-е изд., McGraw Hill, New York, USA
• Суонсон, Р. Чарльз и Лангер, Стефан (2016), «Сравнение решений для ламинарных потоков NACA 0012: методы структурированной и неструктурированной сетки», NASA / TM-2016-219003.
• Ван, Ся, Джордж, Уильям и Кастильо, Лучано (2004), "Критерий разделения турбулентных пограничных слоев посредством анализа подобия", J. of Fluids Eng., Vol. 126, стр. 297-304.
• Weyburne, David (2006). «Математическое описание жидкого пограничного слоя», Прикладная математика и вычисления, вып. 175, стр. 1675–1684
• Weyburne, David (2014). «Новые параметры толщины и формы для профиля скорости пограничного слоя», Experimental Thermal and Fluid Science, vol. 54, pp. 22–28
• Weyburne, David (2017), "Inner/Outer Ratio Similarity Scaling for 2-D Wall-bounded Turbulent Flows," arXiv:1705.02875 [physics.flu-dyn].
• Weyburne, David (2020a). "A Boundary Layer Model for Unbounded Flow Along a Wall," Air Force Tech Report: AFRL-RY-WP-TR-2020-0004,DTIC Accession # AD1091170.
• Weyburne, David (2020b). "The Unbounded and Bounded Boundary Layer Models for Flow Along a Wall," Air Force Tech Report: AFRL-RY-WP-TR-2020-0005, DTIC Accession # AD1094086.
• Weyburne, David (2020c). "A New Conceptual Model for Laminar Boundary Layer Flow," Air Force Tech Report: AFRL-RY-WP-TR-2020-0006, DTIC Accession # AD1091187.
• Whitfield, David (1978). "Integral Solution of Compressible Turbulent Boundary Layers Using Improved Velocity Profiles," AEDO-TR-78-42.