Двоичная функция масс

редактировать

В астрономии, двоичная функция массы или просто функция массы - это функция, которая ограничивает массу невидимого компонента (обычно звезда или экзопланета ) в одинарной спектроскопической двойной звезде или в планетной системе. Его можно рассчитать только на основе наблюдаемых величин, а именно орбитального периода двойной системы и максимальной лучевой скорости наблюдаемой звезды. Скорость одного компонента двойной и орбитальный период предоставляют (ограниченную) информацию о разделении и силе гравитации между двумя компонентами и, следовательно, о массах компонентов.

Содержание

1 Введение
2 Вывод для круговой орбиты
- 2.1 Ограничения
3 Эксцентрическая орбита
4 Приложения
- 4.1 Рентгеновские двойные системы
- 4.2 Экзопланеты
- 4.3 Планеты-пульсары
5 Ссылки

Введение

Два тела, вращающиеся вокруг общего центра масс, обозначенных красным плюсом. Более крупное тело имеет большую массу и, следовательно, меньшую орбиту и меньшую орбитальную скорость, чем его компаньон с меньшей массой.

Бинарная функция масс следует из третьего закона Кеплера, когда радиальная скорость единицы ( наблюдается) вводится бинарная составляющая. Третий закон Кеплера описывает движение двух тел, вращающихся вокруг общего центра масс. Он связывает орбитальный период (время, необходимое для завершения одного полного оборота) с расстоянием между двумя телами (орбитальное разделение) и суммой их масс. Для данного орбитального разнесения более высокая общая масса системы подразумевает более высокие орбитальные скорости. С другой стороны, для данной массы системы более длинный орбитальный период подразумевает большее разделение и более низкие орбитальные скорости.

Поскольку орбитальный период и орбитальные скорости в двойной системе связаны с массами компонентов двойной, измерение этих параметров дает некоторую информацию о массах одного или обоих компонентов. Но поскольку истинную орбитальную скорость невозможно определить в целом, эта информация ограничена.

Лучевая скорость - это составляющая скорости орбитальной скорости на луче зрения наблюдателя. В отличие от истинной орбитальной скорости, лучевая скорость может быть определена по доплеровской спектроскопии спектральных линий в свете звезды или по изменениям времени прихода импульсов. с радиопульсара . Двойная система называется спектроскопической двойной системой с одной линией, если можно измерить радиальное движение только одного из двух компонентов системы. В этом случае может быть определен нижний предел массы другого (невидимого) компонента.

Истинная масса и истинная орбитальная скорость не могут быть определены по радиальной скорости, поскольку наклонение орбиты вообще неизвестно. (Наклон - это ориентация орбиты с точки зрения наблюдателя и связывает истинную и радиальную скорость.) Это вызывает вырождение между массой и наклоном. Например, если измеренная радиальная скорость мала, это может означать, что истинная орбитальная скорость мала (подразумевается объекты с малой массой) и наклонение велико (орбита видна с ребра), или что истинная скорость велика (подразумевая объекты большой массы), но малое наклонение (орбита видна лицом к лицу).

Вывод для круговой орбиты

Кривая лучевой скорости с максимальной лучевой скоростью K = 1 м / с и периодом обращения 2 года.

Пиковая лучевая скорость $K {\ displaystyle K}$ $K$ - это полуамплитуда кривой лучевой скорости, как показано на рисунке. Период обращения $P o r b {\ displaystyle P _ {\ mathrm {orb}}}$ ${\ displaystyle P _ {\ mathrm {orb}}}$ находится из периодичности кривой лучевой скорости. Это две наблюдаемые величины, необходимые для вычисления двоичной функции масс.

Наблюдаемый объект, лучевая скорость которого может быть измерена, в этой статье рассматривается как объект 1, его невидимый спутник - объект 2.

Пусть $M 1 {\ displaystyle M_ {1}}$ $M _ {{1}}$ и $M 2 {\ displaystyle M_ {2}}$ ${\ displaystyle M_ { 2}}$ будут звездными массами с $M 1 + M 2 = M tot {\ displaystyle M_ {1} + M_ {2} = M _ {\ mathrm {tot}}}$ ${\ displaystyle M_ {1} + M_ {2} = M _ {\ mathrm {tot}}}$ общая масса двоичной системы, $v 1 {\ displaystyle v_ {1}}$ $v _ {{1}}$ и $v 2 {\ displaystyle v_ {2}}$ $v _ {2}}$ орбитальные скорости и $a 1 {\ displaystyle a_ {1}}$ $a _ {{1}}$ и $a 2 {\ displaystyle a_ {2}}$ $a_ {2}$ расстояния между объектами до центра масс. $a 1 + a 2 = a {\ displaystyle a_ {1} + a_ {2} = a}$ ${\ displaystyle a_ {1} + a_ {2} = a}$ - большая полуось (орбитальное разделение) двоичной системы. система.

Начнем с третьего закона Кеплера с $ω orb = 2 π / P orb {\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {orb}} = 2 \ pi / P _ {\ mathrm {orb }}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {orb}} = 2 \ pi / P _ {\ mathrm {orb}}}$ орбитальная частота и $G {\ displaystyle G}$ $G$ гравитационная постоянная,

$GM tot = ω orb 2 a 3. {\ displaystyle GM _ {\ mathrm {tot}} = \ omega _ {\ mathrm {orb}} ^ {2} a ^ {3}.}$ ${\ displaystyle GM _ {\ mathrm {tot}} = \ omega _ {\ mathrm {orb}} ^ {2} a ^ {3 }.}$

Используя определение местоположения центра масс, $M 1 a 1 = M 2 a 2 {\ displaystyle M_ {1} a_ {1} = M_ {2} a_ {2}}$ ${\ displaystyle M_ {1} a_ {1} = M_ {2} a_ {2}}$ , мы можем написать

$a = a 1 + a 2 = a 1 (1 + a 2 a 1) = a 1 (1 + M 1 M 2) = a 1 M 2 (M 1 + M 2) = a 1 M tot M 2. {\ displaystyle a = a_ {1} + a_ {2} = a_ {1} \ left (1 + {\ frac {a_ {2}} {a_ {1}}} \ right) = a_ {1} \ left (1 + {\ frac {M_ {1}} {M_ {2}}} \ right) = {\ frac {a_ {1}} {M_ {2}}} (M_ {1} + M_ {2}) = {\ frac {a_ {1} M _ {\ mathrm {tot}}} {M_ {2}}}.}$ ${\ displaystyle a = a_ {1} + a_ {2} = a_ { 1} \ left (1 + {\ frac {a_ {2}} {a_ {1}}} \ right) = a_ {1} \ left (1 + {\ frac {M_ {1}} {M_ {2}) }} \ right) = {\ frac {a_ {1}} {M_ {2}}} (M_ {1} + M_ {2}) = {\ frac {a_ {1} M _ {\ mathrm {tot}} } {M_ {2}}}.}$

Вставка этого выражения для $a {\ displaystyle a}$ $a$ в По третьему закону Кеплера находим

$GM tot = ω orb 2 a 1 3 M tot 3 M 2 3. {\ displaystyle GM _ {\ mathrm {tot}} = \ omega _ {\ mathrm {orb}} ^ {2} {\ frac {a_ {1} ^ {3} M _ {\ mathrm {tot}} ^ {3} } {M_ {2} ^ {3}}}.}$ ${\ displaystyle GM _ {\ mathrm {tot}} = \ omega _ {\ mathrm {orb}} ^ {2} {\ frac {a_ {1} ^ {3} M _ {\ mathrm {tot}} ^ {3}} {M_ {2} ^ {3}}}.}$

который можно переписать в

$M 2 3 M tot 2 = ω orb 2 a 1 3 G. {\ displaystyle {\ frac {M_ {2} ^ {3}} {M _ {\ mathrm {tot}} ^ {2}}} = {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {orb}} ^ {2} a_ {1} ^ {3}} {G}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {M_ {2} ^ {3}} {M_ { \ mathrm {tot}} ^ {2}}} = {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {orb}} ^ {2} a_ {1} ^ {3}} {G}}.}$

Пиковая лучевая скорость объекта 1, $K {\ displaystyle K}$ $K$ , зависит от наклонения орбиты $i {\ displaystyle i}$ $я$ (наклон 0 ° соответствует орбите, видимой лицом к лицу, наклон 90 ° соответствует орбите, наблюдаемой с ребра). Для круговой орбиты (эксцентриситет орбиты = 0) он задается как

$K = v 1 s i n i = ω или r b a 1 s i n i. {\ displaystyle K = v_ {1} \ mathrm {sin} i = \ omega _ {\ mathrm {orb}} a_ {1} \ mathrm {sin} i.}$ ${\ displaystyle K = v_ {1} \ mathrm {sin} i = \ omega _ {\ mathrm {orb}} a_ {1} \ mathrm {sin} i.}$

После замены $a 1 {\ displaystyle a_ {1}}$ $a _ {{1}}$ получаем

$M 2 3 M tot 2 = K 3 G ω orbsin 3 i. {\ displaystyle {\ frac {M_ {2} ^ {3}} {M _ {\ mathrm {tot}} ^ {2}}} = {\ frac {K ^ {3}} {G \ omega _ {\ mathrm {orb}} \ mathrm {sin} ^ {3} i}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {M_ {2} ^ {3} } {M _ {\ mathrm {tot}} ^ {2}}} = {\ frac {K ^ {3}} {G \ omega _ {\ mathrm {orb}} \ mathrm {sin} ^ {3} i} }.}$

Двоичная функция масс $f {\ displaystyle f}$ $f$ (с единицей из масса) равна

$f = M 2 3 sin 3 i (M 1 + M 2) 2 = P orb K 3 2 π G. {\ displaystyle f = {\ frac {M_ {2} ^ {3} \ \ mathrm {sin} ^ {3} i} {(M_ {1} + M_ {2}) ^ {2}}} = {\ frac {P _ {\ mathrm {orb}} \ K ^ {3}} {2 \ pi G}}.}$ ${\ displaystyle f = {\ frac {M_ {2} ^ {3} \ \ mathrm {sin} ^ {3} i} {(M_ {1} + M_ {2}) ^ {2}}} = {\ frac {P _ {\ mathrm {orb}} \ K ^ {3}} {2 \ pi G}}.}$

Для расчетной или предполагаемой массы $M 1 {\ displaystyle M_ {1}}$ $M _ {{1}}$ наблюдаемого объекта 1, минимальная масса $M 2, min {\ displaystyle M _ {\ mathrm {2, min}}}$ ${\ displaystyle M _ {\ mathrm {2, min}}}$ может быть определена для невидимый объект 2, если принять $i = 90 ∘ {\ displaystyle i = 90 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle i = 90 ^ {\ circ}}$ . Истинная масса $M 2 {\ displaystyle M_ {2}}$ ${\ displaystyle M_ { 2}}$ зависит от наклонения орбиты. Наклон обычно не известен, но до некоторой степени его можно определить по наблюдаемым затмениям, ограничить его отсутствием наблюдения затмений или смоделировать с использованием эллипсоидальных вариаций (несферическая форма звезды в двойной системе приводит к изменениям яркости на протяжении орбиты, которые зависят от наклона системы).

Пределы

В случае $M 1 ≫ M 2 {\ displaystyle M_ {1} \ gg M_ {2}}$ ${\ displaystyle M_ {1} \ gg M_ {2}}$ (например, когда невидимый объект является экзопланетой), функция масс упрощается до

$f ≈ M 2 3 sin 3 i M 1 2. {\ displaystyle f \ приблизительно {\ frac {M_ {2} ^ {3} \ \ mathrm {sin} ^ {3} i} {M_ {1} ^ {2}}}.}$ ${\ displaystyle f \ приблизительно {\ frac {M_ {2} ^ { 3} \ \ mathrm {sin} ^ {3} i} {M_ {1} ^ {2}}}.}$

В другой крайности, когда $M 1 ≪ M 2 {\ displaystyle M_ {1} \ ll M_ {2}}$ ${\ displaystyle M_ {1} \ ll M_ {2} }$ (например, когда невидимый объект является массивной черной дырой ) функция масс принимает вид

$f ≈ M 2 sin 3 i, {\ displaystyle f \ приблизительно M_ {2} \ \ mathrm {sin} ^ {3} i,}$ ${\ displaystyle f \ приблизительно M_ {2} \ \ mathrm {грех} ^ {3} я,}$

, а поскольку $0 ≤ грех ⁡ (я) ≤ 1 {\ displaystyle 0 \ leq \ sin (i) \ leq 1}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ sin (i) \ leq 1}$ для $0 ∘ ≤ i ≤ 90 ∘ {\ displaystyle 0 ^ {\ circ} \ leq i \ leq 90 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle 0 ^ {\ circ} \ leq i \ leq 90 ^ {\ circ}}$ функция масс дает нижний предел массы невидимого объекта 2.

В общем, для любого $i { \ displaystyle i}$ $я$ или $M 1 {\ displaystyle M_ {1}}$ $M _ {{1}}$ ,

$M 2>max (f, f 1/3 M 1 2/3). {\ displaystyle M_ {2}>\ mathrm {max} \ left (f, f ^ {1/3} M_ {1} ^ {2/3} \ right).}$ $M_{2}>\ mathrm {max } \ left (f, f ^ {1/3} M_ {1} ^ {2/3} \ right).$

Эксцентрическая орбита

На орбите с эксцентриситетом $e {\ displaystyle e}$ $e$ функция масс определяется как

$f = M 2 3 sin 3 i (M 1 + M 2) 2 = P orb K 3 2 π G (1 - e 2) 3/2. {\ Displaystyle f = {\ frac {M_ {2} ^ {3} \ \ mathrm {sin} ^ {3} i} {(M_ {1} + M_ {2}) ^ {2}}} = {\ frac {P_ {\ mathrm {orb}} \ K ^ {3}} {2 \ pi G}} (1-e ^ {2}) ^ {3/2}.}$ ${\ displaystyle f = {\ frac {M_ {2) } ^ {3} \ \ mathrm {sin} ^ {3} i} {(M_ {1} + M_ {2}) ^ {2}}} = {\ frac {P _ {\ mathrm {orb}} \ K ^ {3}} {2 \ pi G}} (1-е ^ {2}) ^ {3/2}.}$

Приложения

X- лучевые двойные

Если аккретор в рентгеновской двойной имеет минимальную массу, значительно превышающую предел Толмана – Оппенгеймера – Волкова (максимально возможная масса для нейтронная звезда ), ожидается, что это будет черная дыра. Это имеет место, например, в Лебеде X-1, где лучевая скорость звезды-компаньона составляет s были измерены.

Экзопланеты

экзопланета заставляет свою звезду-хозяин двигаться по небольшой орбите вокруг центра масс системы звезда-планета. Это «колебание» можно наблюдать, если лучевая скорость звезды достаточно высока. Это метод радиальной скорости обнаружения экзопланет. Используя функцию масс и лучевую скорость родительской звезды, можно определить минимальную массу экзопланеты. Применение этого метода к Проксиме Центавра, ближайшей к Солнечной системе звезде, привело к открытию Проксимы Центавра b, планеты земной группы с минимальной массой 1.27 M⊕.

Планеты-пульсары

Планеты-пульсары - это планеты, вращающиеся вокруг пульсаров, и несколько были обнаружены с использованием хронометража пульсаров. Изменения лучевой скорости пульсара следуют из изменяющихся интервалов между временами прихода импульсов. Первые экзопланеты были обнаружены таким образом в 1992 году около пульсара миллисекунд PSR 1257 + 12. Другой пример - PSR J1719-1438, миллисекундный пульсар, чей компаньон, PSR J1719-1438 b, имеет минимальную массу, приблизительно равную массе Юпитера, в соответствии с функцией масс.

Ссылки