Билинейная интерполяция

Четыре красные точки показывают точки данных, а зеленая точка - точка, в которой мы хотим интерполировать. Пример билинейная интерполяция на единичном квадрате со значениями z 0, 1, 1 и 0,5, как указано. Интерполированные значения между ними представлены цветом.

В математике, билинейная интерполяция является расширением линейной интерполяции для интерполирующих функций две переменные (например, x и y) на прямолинейной 2D сетке.

Билинейная интерполяция выполняется с использованием линейной интерполяции сначала в одном направлении, а затем снова в другом направлении. Хотя каждый шаг является линейным по выборочным значениям и позиции, интерполяция в целом не является линейной, а скорее квадратичной в местоположении выборки.

Билинейная интерполяция - это один из основных методов передискретизации в компьютерном зрении и обработке изображений, где она также называется билинейной фильтрацией. или билинейное отображение текстуры .

• 1 Алгоритм
  • 1.1 Альтернативный алгоритм
  • 1.2 Единичный квадрат
  • 1.3 Нелинейный
• 2 Применение в обработке изображений
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Предположим, что мы хотим найти значение неизвестной функции f в точке (x, y). Предполагается, что мы знаем значение f в четырех точках Q 11 = (x 1, y 1), Q 12 = (x 1, y 2), Q 21 = (x 2, y 1) и Q 22 = (x 2, y 2).

Сначала мы выполняем линейную интерполяцию по оси x. Это дает

$f\; (x,\; y\; 1)\; \approx \; x\; 2\; -\; xx\; 2\; -\; x\; 1\; f\; (Q\; 11)\; +\; x\; -\; x\; 1\; x\; 2\; -\; x\; 1\; f\; (Q\; 21),\; f\; (x,\; y\; 2)\; \approx \; x\; 2\; -\; xx\; 2\; -\; x\; 1\; f\; (вопрос\; 12)\; +\; x\; -\; x\; 1\; x\; 2\; -\; x\; 1\; f\; (вопрос\; 22).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; f\; (x,\; y\_\; \{1\})\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{2\}\; -x\}\; \{x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\}\}\; f\; (Q\_\; \{11\})\; +\; \{\backslash \; frac\; \{x-x\_\; \{1\}\}\; \{x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\}\}\; f\; (Q\_\; \{21\}),\; \backslash \backslash \; f\; (x,\; y\_\; \{2\})\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{2\}\; -x\}\; \{x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\}\}\; f\; (Q\_\; \{12\})\; +\; \{\backslash \; frac\; \{x-x\_\; \{1\}\}\; \{x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\}\; \}\; f\; (Q\_\; \{22\}).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Мы продолжаем интерполяцией в направлении y, чтобы получить желаемую оценку:

$f (x, y) ≈ y 2 - yy 2 - y 1 f (x, y 1) + y - y 1 y 2 - y 1 f (x, y 2) = y 2 - yy 2 - y 1 (x 2 - xx 2 - x 1 f (Q 11) + x - x 1 x 2 - x 1 f (Q 21)) + y - y 1 y 2 - y 1 (x 2 - xx 2 - x 1 f (Q 12) + x - x 1 x 2 - x 1 f (Q 22)) = 1 (x 2 - x 1) (y 2 - y 1) (f (Q 11) (x 2 - x) (y 2 - y) + f (Q 21) (x - x 1).) (y 2 - y) + f (Q 12) (x 2 - x) (y - y 1) + f (Q 22) (x - x 1) (y - y 1)) = 1 (x 2 - x 1) (y 2 - y 1) [x 2 - xx - x 1] [f (Q 11) f (Q 12) f (Q 21) f (Q 22)] [y 2 - yy - y 1]. {\ displaystyle {\ begin {align} f (x, y) \ приблизительно {\ frac {y_ {2} -y} {y_ {2} -y_ {1}}} f (x, y_ {1}) + {\ frac {y-y_ {1}} {y_ {2} -y_ {1}}} f (x, y_ {2}) \\ = {\ frac {y_ {2} -y} {y_ {2} -y_ {1}}} \ left ({\ frac {x_ {2} -x} {x_ {2} -x_ {1}}} f (Q_ {11}) + {\ frac {x- x_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} f (Q_ {21}) \ right) + {\ frac {y-y_ {1}} {y_ {2} -y_ {1}} } \ left ({\ frac {x_ {2} -x} {x_ {2} -x_ {1}}} f (Q_ {12}) + {\ frac {x-x_ {1}} {x_ {2 } -x_ {1}}} f (Q_ {22}) \ right) \\ = {\ frac {1} {(x_ {2} -x_ {1}) (y_ {2} -y_ {1})}} \ left (f (Q_ {11}) (x_ {2} -x) (y_ {2} -y) + f (Q_ {21}) (x-x_ {1}) (y_ {2} -y) + f (Q_ {12}) (x_ {2} -x) (y-y_ {1}) + f (Q_ {22}) (x-x_ {1}) (y-y_ {1}) \ right) \\ = {\ frac {1} {(x_ {2} -x_ {1}) (y_ {2} -y_ {1})}} {\ begin {bmatrix} x_ {2} - x x-x_ {1} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} f (Q_ {11}) f (Q_ {12}) \\ f (Q_ {21}) f (Q_ {22}) \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} y_ {2} -y \\ y-y_ {1} \ end {bmatrix}}. \ end {align}}}$

Обратите внимание, что мы получим тот же результат если интерполяция выполняется сначала по направлению y, а затем по направлению x.

Альтернативный алгоритм

Альтернативный способ записи решения для интерполяции по задаче

$f\; (x,\; y)\; \approx \; a\; 0\; +\; a\; 1\; x\; +\; a\; 2\; y\; +\; a\; 3\; xy,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; \backslash \; приблизительно\; a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; x\; +\; a\_\; \{2\}\; y\; +\; a\_\; \{3\}\; xy,\}$

где коэффициенты находятся путем решения линейной системы

$[1\; x\; 1\; y\; 1\; x\; 1\; y\; 1\; 1\; x\; 1\; y\; 2\; x\; 1\; y\; 2\; 1\; x\; 2\; y\; 1\; x\; 2\; y\; 1\; 1\; x\; 2\; y\; 2\; x\; 2\; y\; 2]\; [a\; 0\; a\; 1\; a\; 2\; a\; 3]\; =\; [f\; (Q\; 11)\; f\; (Q\; 12)\; f\; (Q\; 21)\; f\; (Q\; 22)],\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; x\_\; \{1\}\; y\_\; \{1\}\; x\_\; \{1\}\; y\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; 1\; x\_\; \{1\}\; y\_\; \{2\}\; x\_\; \{1\}\; y\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; 1\; x\_\; \{2\}\; y\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\; y\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; 1\; x\_\; \{2\}\; y\_\; \{2\}\; x\_\; \{2\}\; y\_\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; a\_\; \{\; 0\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; f\; (Q\_\; \{11\})\; \backslash \backslash \; f\; (Q\_\; \{12\})\; \backslash \; \backslash \; f\; (Q\_\; \{21\})\; \backslash \backslash \; f\; (Q\_\; \{22\})\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, что дает результат

$a 0 = f (Q 11) x 2 y 2 (x 1 - x 2) (y 1 - y 2) + f (Q 12) x 2 y 1 (x 1 - x 2) (y 2 - y 1) + f (Q 21) x 1 y 2 (x 1 - x 2) (y 2 - y 1) + f (Q 22) x 1 y 1 (x 1 - x 2) (y 1 - y 2), a 1 = f (Q 11) y 2 ( x 1 - x 2) (y 2 - y 1) + f (Q 12) y 1 (x 1 - x 2) (y 1 - y 2) + f (Q 21) y 2 (x 1 - x 2) (y 1 - y 2) + f (Q 22) y 1 (x 1 - x 2) (y 2 - y 1), a 2 = f (Q 11) x 2 (x 1 - x 2) (y 2 - y 1) + f (Q 12) x 2 (x 1 - x 2) (y 1 - y 2) + f (Q 21) x 1 (x 1 - x 2) (y 1 - y 2) + f (Q 22) x 1 (x 1 - x 2) (y 2 - y 1), a 3 = f (Q 11) (x 1 - x 2) (y 1 - y 2) + f (12) (x 1 - x 2) (y 2 - y 1) + f (Q 21) (x 1 - x 2) (y 2 - y 1) + f (Q 22) (x 1 - x 2)) (у 1 - у 2). {\ displaystyle {\ begin {align} a_ {0} = {\ frac {f (Q_ {11}) x_ {2} y_ {2}} {(x_ {1} -x_ {2}) (y_ { 1} -y_ {2})}} + {\ frac {f (Q_ {12}) x_ {2} y_ {1}} {(x_ {1} -x_ {2}) (y_ {2} -y_ {1})}} + {\ frac {f (Q_ {21}) x_ {1} y_ {2}} {(x_ {1} -x_ {2}) (y_ {2} -y_ {1}) }} + {\ frac {f (Q_ {22}) x_ {1} y_ {1}} {(x_ {1} -x_ {2}) (y_ {1} -y_ {2})}}, \ \ a_ {1} = {\ frac {f (Q_ {11}) y_ {2}} {(x_ {1} -x_ {2}) (y_ {2} -y_ {1})}} + { \ frac {f (Q_ {12}) y_ {1}} {(x_ {1} -x_ {2}) (y_ {1} -y_ {2})}} + {\ frac {f (Q_ {21 }) y_ {2}} {(x_ {1} -x_ {2}) (y_ {1} -y_ {2})}} + {\ frac {f (Q_ {22}) y_ {1}} { (x_ {1} -x_ {2}) (y_ {2} -y_ {1})}}, \\ a_ {2} = {\ frac {f (Q_ {11}) x_ {2}} { (x_ {1} -x_ {2}) (y_ {2} -y_ {1})}} + {\ frac {f (Q_ {12}) x_ {2}} {(x_ {1} -x_ { 2}) (y_ {1} -y_ {2})}} + {\ frac {f (Q_ {21}) x_ {1}} {(x_ {1} -x_ {2}) (y_ {1} -y_ {2})}} + {\ frac {f (Q_ {22}) x_ {1}} {(x_ {1} -x_ {2}) (y_ {2} -y_ {1})}}, \\ a_ {3} = {\ frac {f (Q_ {11})} {(x_ {1} -x_ {2}) (y_ {1} -y_ {2})}} + {\ frac {f (Q_ {12})} {(x_ {1} -x_ {2}) (y_ {2} -y_ {1})}} + {\ frac {f (Q_ {21})} {(x_ {1} -x_ {2}) (y_ {2} -y_ {1})}} + {\ frac {f (Q_ {22})} {(x_ {1} -x_ {2}) (y_ { 1} -y_ {2})}}. \ End {align}}}$

Если решение является предпочтительным с точки зрения f (Q), то мы можем написать

$е\; (Икс,\; Y)\; \approx \; b\; 11\; f\; (Q\; 11)\; +\; b\; 12\; f\; (Q\; 12)\; +\; b\; 21\; f\; (Q\; 21)\; +\; b\; 22\; f\; (Q\; 22),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; \backslash \; приблизительно\; b\_\; \{11\}\; f\; (Q\_\; \{11\})\; +\; b\_\; \{12\}\; f\; (Q\_\; \{12\})\; +\; b\_\; \{21\}\; f\; (Q\_\; \{21\})\; +\; b\_\; \{22\}\; f\; (Q\_\; \{22\}),\; \}$

где коэффициенты находятся путем решения

$[b\; 11\; b\; 12\; b\; 21\; b\; 22]\; =\; ([1\; x\; 1\; y\; 1\; x\; 1\; y\; 1\; 1\; x\; 1\; y\; 2\; x\; 1\; y\; 2\; 1\; x\; 2\; y\; 1\; x\; 2\; y\; 1\; 1\; x\; 2\; y\; 2\; x\; 2\; y\; 2]\; -\; 1)\; T\; [1\; xyxy].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; b\_\; \{11\}\; \backslash \backslash \; b\_\; \{12\}\; \backslash \backslash \; b\_\; \{21\}\; \backslash \backslash \; b\_\; \{22\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; x\_\; \{1\; \}\; y\_\; \{1\}\; x\_\; \{1\}\; y\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; 1\; x\_\; \{1\}\; y\_\; \{2\}\; x\_\; \{1\}\; y\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; 1\; x\_\; \{2\}\; y\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\; y\_\; \{1\}\; \backslash \; \backslash \; 1\; x\_\; \{2\}\; y\_\; \{2\}\; x\_\; \{2\}\; y\_\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; rm\; \{T\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; x\; \backslash \; \backslash \; y\; \backslash \backslash \; xy\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Единичный квадрат

Если мы выберем систему координат, в которой четыре точки, в которых известно f, равны (0, 0), (1, 0), (0, 1) и (1, 1), то формула интерполяции упрощается до

$f\; (x,\; y)\; \approx \; f\; (0,\; 0)\; (1\; -\; x)\; (1\; -\; y)\; +\; f\; (\; 1,\; 0)\; Икс\; (1\; -\; Y)\; +\; е\; (0,\; 1)\; (1\; -\; Икс)\; Y\; +\; F\; (1,\; 1)\; ху,\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; (x,\; y)\; \backslash \; приблизительно\; f\; (0,0)\; (\; 1-x)\; (1-y)\; +\; f\; (1,0)\; x\; (1-y)\; +\; f\; (0,1)\; (1-x)\; y\; +\; f\; (1,1)\; xy,\}$

или эквивалентно, в матричных операциях:

$f\; (x,\; y)\; \approx \; [1\; -\; xx]\; [f\; (0,\; 0)\; f\; (0,\; 1)\; f\; (1,\; 0)\; f\; (1,\; 1)]\; [1\; -\; yy\; ].\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1-x\; x\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; f\; (0,0)\; f\; (0,1)\; \backslash \backslash \; f\; (1,\; 0)\; f\; (1,1)\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1-y\; \backslash \backslash \; y\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Геометрическая визуализация билинейной интерполяции. Произведение значения в желаемой точке (черный) и всей площади равно сумме произведений значения в каждом углу и частичной площади, диагонально противоположной углу (соответствующие цвета).

Нелинейный

Как следует из названия, билинейный интерполянт не является линейным; но это продукт двух линейных функций. Например, полученная выше билинейная интерполяция является произведением значений $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$.

В качестве альтернативы, интерполянт на модуле квадрат можно записать как

$е\; (x,\; y)\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; 2\; \sum \; j\; =\; 1\; 2\; aijxiyj\; =\; a\; 11\; +\; a\; 21\; x\; +\; a\; 12\; y\; +\; a\; 22\; xy,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{2\}\; a\_\; \{ij\}\; x\; ^\; \{i\}\; y\; ^\; \{j\}\; =\; a\_\; \{11\}\; +\; a\_\; \{21\}\; x\; +\; a\_\; \{12\}\; y\; +\; a\_\; \{22\}\; xy,\}$

где

$a\; 11\; =\; f\; (1,\; 1),\; a\; 21\; =\; f\; (2,\; 1)\; -\; f\; (1,\; 1),\; a\; 12\; =\; f\; (1,\; 2)\; -\; f\; (1,\; 1),\; a\; 22\; =\; f\; (2,\; 2)\; +\; f\; (1,\; 1)\; -\; (f\; (2,\; 1)\; +\; f\; (1,\; 2)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; a\_\; \{11\}\; =\; f\; (1,1),\; \backslash \backslash \; a\_\; \{21\}\; =\; f\; (2,1)\; -f\; (1,1),\; \backslash \backslash \; a\_\; \{12\}\; =\; f\; (1,2)\; -f\; (1,1),\; \backslash \backslash \; a\_\; \{22\}\; =\; f\; (2,2)\; +\; f\; (1,1)\; -\; \{\backslash \; big\; (\}\; f\; (2,1)\; +\; f\; (1,2)\; \{\backslash \; big)\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

В обоих случаях количество констант (четыре) соответствует количеству точек данных, где задано f. Интерполянт является линейным вдоль линий , параллельных либо направлению x, либо направлению y, что эквивалентно, если x или y заданы постоянными. Вдоль любой другой прямой интерполянт квадратичный. Однако, даже если интерполяция не является линейной по положению (x и y), она линейна по амплитуде, как видно из приведенных выше уравнений: все коэффициенты a j, j = 1– 4, пропорциональны значению функции f.

Результат билинейной интерполяции не зависит от того, какая ось интерполируется первой, а какая - второй. Если бы мы сначала выполнили линейную интерполяцию в направлении y, а затем в направлении x, результирующее приближение было бы таким же.

Очевидное расширение билинейной интерполяции до трех измерений называется трилинейной интерполяцией.

Сравнение билинейной интерполяции с некоторыми 1- и 2-мерными интерполяциями. Черные и красные / желтые / зеленые / синие точки соответствуют интерполированной точке и соседним отсчетам соответственно. Их высота над землей соответствует их значениям.

В компьютерном зрении и обработке изображений билинейная интерполяция используется для передискретизации изображений и текстур. Используется алгоритм для сопоставления местоположения пикселя экрана с соответствующей точкой на текстурной карте . Среднее взвешенное значение атрибутов (цвет, прозрачность и т. Д.) Четырех окружающих текселей вычисляется и применяется к пикселю экрана. Этот процесс повторяется для каждого пикселя, образующего текстурированный объект.

Когда изображение необходимо масштабировать, каждый пиксель исходного изображения должен быть перемещен в определенном направлении на основе постоянной масштаба. Однако при увеличении масштаба изображения с помощью нецелого масштабного коэффициента есть пиксели (то есть дыры), которым не присвоены соответствующие значения пикселей. В этом случае этим отверстиям должны быть присвоены соответствующие значения RGB или оттенков серого, чтобы в выходном изображении не было неоцененных пикселей.

Билинейная интерполяция может использоваться там, где невозможно идеальное преобразование изображения с сопоставлением пикселей, чтобы можно было вычислить и присвоить пикселям соответствующие значения интенсивности. В отличие от других методов интерполяции, таких как интерполяция ближайшего соседа и бикубическая интерполяция, билинейная интерполяция использует значения только 4 ближайших пикселей, расположенных в диагональных направлениях от данного пикселя, чтобы найти соответствующие значения интенсивности цвета этого пикселя.

Билинейная интерполяция рассматривает ближайшую окрестность 2 × 2 известных значений пикселей, окружающую вычисленное местоположение неизвестного пикселя. Затем требуется средневзвешенное значение этих 4 пикселей для получения окончательного интерполированного значения.

Пример билинейной интерполяции в значениях шкалы серого

Как видно в примере справа, значение интенсивности в пикселе, вычисленное как в строке 20.2 столбец 14.5 может быть вычислен путем первой линейной интерполяции между значениями в столбцах 14 и 15 в каждой строке 20 и 21, давая

$I\; 20,\; 14,5\; =\; 15\; -\; 14,5\; 15\; -\; 14\; \cdot \; 91\; +\; 14,5\; -\; 14\; 15\; -\; 14\; \cdot \; 210\; =\; 150,5,\; I\; 21,\; 14,5\; =\; 15\; -\; 14,5\; 15\; -\; 14\; \cdot \; 162\; +\; 14,5\; -\; 14\; 15\; -\; 14\; \cdot \; 95\; =\; 128,5,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; I\_\; \{20,14,5\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{15-14.5\}\; \{15-14\}\}\; \backslash \; cdot\; 91\; +\; \{\backslash \; frac\; \{14.5-14\}\; \{15-14\}\}\; \backslash \; cdot\; 210\; =\; 150,5,\; \backslash \backslash \; I\_\; \{21,14,5\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{15-14.5\}\; \{15-14\}\}\; \backslash \; cdot\; 162\; +\; \{\backslash \; frac\; \{14.5-14\}\; \{15-14\}\}\; \backslash \; cdot\; 95\; =\; 128.5,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

с последующей линейной интерполяцией между эти значения дают

$I\; 20,2,\; 14,5\; =\; 21-20,2\; 21-20\; 150,5\; +\; 20,2-20\; 21-20\; \cdot \; 128,5\; =\; 146,1.\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{20.2,14.5\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{21-20.2\}\; \{21-20\}\}\; \backslash \; cdot\; 150.5\; +\; \{\backslash \; frac\; \{20.2-20\}\; \{21-20\}\}\; \backslash \; cdot\; 128.5\; =\; 146.1.\}$

Этот алгоритм уменьшает некоторые визуальные искажения, вызванные изменением размера изображения до нецелого коэффициента масштабирования, в отличие от интерполяции ближайшего соседа, которая заставляет некоторые пиксели казаться больше, чем другие в изображении с измененным размером.

• Бикубическая интерполяция
• Трилинейная интерполяция
• Сплайн-интерполяция
• Передискретизация по Ланцошу
• Ступенчатая интерполяция
• Барицентрические координаты - для интерполяции внутри треугольника или тетраэдра

1. ^Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Веттерлинг, Уильям Т.; Фланнери, Брайан П. (1992). Числовые рецепты на C: искусство научных вычислений (2-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета. Стр. 123-128. ISBN 0-521-43108-5.
2. ^Определение билинейной интерполяции (популярная статья на www.pcmag.com.
3. ^«Веб-руководство: Интерполяция цифровых изображений».