Функции Бикли – Нейлора

В физике, инженерии и прикладной математике Bickley– Функции Нейлора - это последовательность специальных функций, возникающих в формулах для интенсивности теплового излучения в горячих оболочках. Решения часто бывают довольно сложными, если проблема не является по существу одномерной (например, поле излучения в тонком слое газа между двумя параллельными прямоугольными пластинами). Эти функции имеют практическое применение в нескольких инженерных задачах, связанных с переносом теплового или нейтронного излучения в системах со специальной симметрией (например, сферической или осевой симметрией). Уильям Бикли был британским математиком, родившимся в 1893 году.

• 1 Определение
• 2 Свойства
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

n-й Бикли-Нейлор функция Ki n (x) определяется как

$Ki\; n\; \; (x)\; =\; \int \; 0\; \pi \; /\; 2\; e\; -\; x\; /\; sin\; \; \theta \; sin\; n\; -\; 1\; \; \theta \; d\; \theta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Ki\}\; \_\; \{n\}\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\; /\; 2\}\; e\; ^\; \{-\; x\; /\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta.\}$

и классифицируется как одна из обобщенных экспоненциальных интегральных функций.

Интеграл, определяющий функцию Ki n, как правило, не может быть оценен аналитически, но может быть аппроксимирован с желаемой точностью с помощью сумм Римана или другие методы, переходящие к пределу при a → 0 в интервале интегрирования [a, π / 2].

Альтернативные способы определения функции Ki n включают интеграл

$Ki\; n\; \; (x)\; =\; \int \; 0\; \infty \; e\; -\; x\; ch\; \; t\; (ch\; \; t)\; -\; n\; d\; t.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{Ki\}\; \_\; \{N\}\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; x\; \backslash \; cosh\; t\}\; (\backslash \; cosh\; t)\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash ,\; dt.\; \}$

Все функции Ki n для положительного целого n являются монотонно убывающими функциями, потому что e - убывающая функция и $sin\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; x\}$- положительная возрастающая функция для $x\; \in \; (0,\; \pi \; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; (0,\; \backslash \; pi\; /\; 2)\}$.

Значения этих функций для разных значений аргумента x были часто упоминались в таблицах специальных функций в эпоху, когда численный расчет интегралов был медленным. Таблица, в которой перечислены некоторые приблизительные значения трех первых функций Ki n, показана ниже.

• Экспоненциальный интеграл