Гипотеза Басса – Квиллена

редактировать

Связать векторные расслоения над обычным нётеровым кольцом и более кольцо многочленов

В математике закон Басса – Квиллена Схема связывает векторные расслоения над регулярным нётеровым кольцом A и над кольцом многочленов $A [t 1, …, Tn] {\ displaystyle A [t_ {1}, \ dots, t_ {n}]}$ ${\ displaystyle A [t_ {1}, \ dots, t_ {n }]}$ . Гипотеза названа в честь Хаймана Басса и Дэниела Квиллена, которые сформулировали эту гипотезу.

Содержание

1 Формулировка гипотезы
2 Известные случаи
3 Расширения
4 Ссылки

Формулировка гипотезы

Гипотеза является утверждением о конечно порожденных проективных модулях. Такие модули также называют векторными расслоениями. Для кольца A набор классов изоморфизма векторных расслоений над A ранга r обозначается $Vect r ⁡ (A) {\ displaystyle \ operatorname {Vect} _ {r} (A)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Vect} _ {r} (A)}$ .

Гипотеза утверждает, что для регулярного нётерова кольца A присвоение

M ↦ M ⊗ AA [t 1,…, tn] {\ displaystyle M \ mapsto M \ otimes _ {A} A [t_ { 1}, \ dots, t_ {n}]}

{\ displaystyle M \ mapsto M \ otimes _ {A} A [t_ {1}, \ dots, t_ {n}]}

дает биекцию

Vect r ⁡ (A) → ∼ Vect r ⁡ (A [t 1,…, tn]). {\ displaystyle \ operatorname {Vect} _ {r} (A) {\ stackrel {\ sim} {\ to}} \ operatorname {Vect} _ {r} (A [t_ {1}, \ dots, t_ {n }]).}

{\ displaystyle \ operatorname {Vect} _ {r} (A) {\ stackrel {\ sim} {\ to}} \ operatorname {Vect} _ {r} (A [t_ {1}, \ dots, t_ { n}]).}

Известные случаи

Если A = k - поле, гипотеза Басса – Квиллена утверждает, что любой проективный модуль над $k [t 1,…, tn] {\ displaystyle k [t_ {1}, \ dots, t_ {n}]}$ $k [t_1, \ dots, t_n]$ бесплатно. Этот вопрос был поднят Жан-Пьером Серром и позже был доказан Квилленом и Суслином, см. теорема Квиллена – Суслина. В более общем плане гипотеза была показана Линделем (1981) в случае, когда A - гладкая алгебра над полем k. Другие известные случаи рассматриваются в Lam (2006).

Extensions

Множество классов изоморфизма векторных расслоений ранга r над A также можно отождествить с неабелевыми когомологиями группа

HN равна 1 (S pec (A), GL r). {\ displaystyle H_ {Nis} ^ {1} (Spec (A), GL_ {r}).}

{\ displaystyle H_ {Nis} ^ {1} (Spec (A), GL_ {r}).}

Положительные результаты о гомотопической инвариантности

HN равны 1 (U, G) {\ displaystyle H_ { Nis} ^ {1} (U, G)}

{\ displaystyle H_ {Nis} ^ {1} (U, G)}

из редуктивных групп G были получены Asok, Hoyois Wendt (2018) с помощью Aгомотопии теория.

Ссылки

Асок, Аравинд; Хойойс, Марк; Вендт, Маттиас (2018), "Результаты аффинной представимости в теории A ^ 1-гомотопий II: главные расслоения и однородные пространства", Geom. Topol., 22 (2): 1181–1225, arXiv : 1507.08020, Zbl 1400.14061
Lindel, Х. (1981), "О гипотезе Басса – Квиллена о проективных модулях над кольцами многочленов", Инвент. Math., 65 (2): 319–323, Bibcode : 1981InMat..65..319L, doi : 10.1007 / bf01389017
Лам, Т.Ю. (2006), Проблема Серра о проективных модулях, Берлин: Springer, ISBN 3-540-23317-2, Zbl 1101.13001