Асимптотическая гомогенизация

В математике и физике, гомогенизация - это метод изучения уравнений в частных производных с быстро осциллирующими коэффициенты, например

$\nabla \; \cdot \; (A\; (x\; \to \; ϵ)\; \nabla \; u\; ϵ)\; =\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (A\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; \{\backslash \; epsilon\})\; \}\; \backslash \; right)\; \backslash \; nabla\; u\; \_\; \{\backslash \; epsilon\}\; \backslash \; right)\; =\; f\}$

где $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$- очень маленький параметр и $A\; (y\; \to )\; \{\backslash \; Displaystyle\; А\; \backslash \; влево\; (\; \{\backslash \; vec\; \{y\}\}\; \backslash \; right)\}$- периодический коэффициент с 1: $A\; (y\; \to \; +\; e\; \to \; i)\; =\; A\; (y\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; vec\; \{y\}\}\; +\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; =\; A\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; vec\; \{y\}\}\; \backslash \; right)\}$, $i\; =\; 1,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 1,\; \backslash \; dots,\; n\}$.

Оказывается, изучение этих уравнений также имеет большое значение в физике и технике, поскольку уравнения этого типа определяют физику неоднородных или неоднородных материалов. Конечно, вся материя в каком-то масштабе неоднородна, но часто ее удобно рассматривать как однородную. Хорошим примером является концепция континуума, которая используется в механике сплошной среды. Согласно этому предположению, такие материалы, как жидкости, твердые вещества и т. Д., Могут рассматриваться как однородные материалы, и с этими материалами связаны такие свойства материала, как модуль сдвига, модули упругости и т. Д.

Часто неоднородные материалы (такие как композитные материалы ) обладают микроструктурой и поэтому подвергаются нагрузкам или воздействиям. которые варьируются в масштабе длины, который намного превышает характерный масштаб длины микроструктуры. В этой ситуации часто можно заменить приведенное выше уравнение уравнением вида

$\nabla \; \cdot \; (A\; \ast \; \nabla \; u)\; =\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (A\; ^\; \{*\}\; \backslash \; nabla\; u\; \backslash \; right)\; =\; f\}$

, где $A\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{*\}\}$- постоянный тензорный коэффициент, известный как эффективное свойство, связанное с рассматриваемым материалом. Его можно явно вычислить как

$A\; ij\; \ast \; =\; \int \; (0,\; 1)\; n\; A\; (y\; \to )\; (\nabla \; wj\; (y\; \to )\; +\; e\; \to \; j)\; \cdot \; e\; \to \; idy\; 1\dots \; dyn,\; i,\; j\; =\; 1,\dots ,\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{ij\}\; ^\; \{*\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{(0,1)\; ^\; \{n\}\}\; A\; (\{\backslash \; vec\; \{y\}\})\; \backslash \; left\; (\backslash \; nabla\; w\_\; \{j\}\; (\; \{\backslash \; vec\; \{y\}\})\; +\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{i\}\; \backslash ,\; dy\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; dy\_\; \{n\},\; \backslash \; qquad\; i,\; j\; =\; 1,\; \backslash \; dots,\; n\}$

из 1-периодических функций $wj\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{j\}\}$, удовлетворяющих:

$\nabla \; y\; \cdot \; (A\; (y\; \to )\; \nabla \; wj)\; =\; -\; \nabla \; y\; \cdot \; (A\; (y\; \to )\; e\; \to \; j).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{y\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (A\; (\{\backslash \; vec\; \{y\}\})\; \backslash \; nabla\; w\_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; \backslash \; nabla\; \_\; \{y\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (A\; (\{\backslash \; vec\; \{y\}\})\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right).\}$

Этот процесс замены уравнения с сильно колеблющимся коэффициентом на уравнение с однородным (равномерным) коэффициентом известен как гомогенизация. Именно по этой причине эта тема неразрывно связана с темой микромеханики.

При гомогенизации одно уравнение заменяется другим, если $u\; ϵ\; \approx \; u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \_\; \{\backslash \; epsilon\}\; \backslash \; приблизительно\; u\}$для достаточно малых $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$, при условии $u\; ϵ\; \to \; u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \_\; \{\backslash \; epsilon\}\; \backslash \; to\; u\}$в некоторой соответствующей норме как $ϵ\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; to\; 0\}$.

В результате вышеизложенного гомогенизацию можно рассматривать как расширение концепции континуума на материалы, обладающие микроструктурой. Аналог дифференциального элемента в концепции континуума (который содержит достаточно атомов или молекулярной структуры, чтобы представлять этот материал) известен как «типичный элемент объема » в гомогенизации и микромеханике. Этот элемент содержит достаточно статистической информации о неоднородной среде, чтобы быть репрезентативным для материала. Поэтому усреднение по этому элементу дает эффективное свойство, такое как $A\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{*\}\}$выше.

Классические результаты теории гомогенизации получены для сред с периодической микроструктурой, моделируемой уравнениями в частных производных с периодическими коэффициентами. Эти результаты позже были обобщены на пространственно однородные случайные среды, моделируемые дифференциальными уравнениями со случайными коэффициентами, статистические свойства которых одинаковы в каждой точке пространства. На практике для многих приложений требуется более общий способ моделирования, который не является ни периодическим, ни статистически однородным. С этой целью методы теории усреднения были распространены на уравнения с частными производными, коэффициенты которых не являются ни периодическими, ни статистически однородными (так называемые произвольно грубые коэффициенты).

• 1 Метод асимптотического усреднения
• 2 См. Также
• 3 Примечания
• 4 Ссылки

Математическая теория усреднения восходит к французской, русской и итальянской школам. Метод асимптотической гомогенизации продолжается путем введения быстрой переменной $y\; \to \; =\; x\; \to \; /\; ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{y\}\}\; =\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; /\; \backslash \; epsilon\}$и создает формальное расширение в $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$:

$u\; ϵ\; (x\; \to )\; =\; u\; (x\; \to ,\; y\; \to )\; =\; u\; 0\; (x\; \to ,\; y\; \to )\; +\; ϵ\; u\; 1\; (x\; \to ,\; Y\; \to )\; +\; ϵ\; 2\; U\; 2\; (Икс\; \to ,\; Y\; \to )\; +\; О\; (ϵ\; 3)\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; epsilon\}\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\})\; =\; и\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\},\; \{\backslash \; vec\; \{y\}\})\; =\; u\_\; \{0\}\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\},\; \{\backslash \; vec\; \{y\}\})\; +\; \backslash \; epsilon\; u\_\; \{1\}\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\},\; \{\backslash \; vec\; \{\; y\}\})\; +\; \backslash \; epsilon\; ^\; \{2\}\; u\_\; \{2\}\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\},\; \{\backslash \; vec\; \{y\}\})\; +\; O\; (\backslash \; epsilon\; ^\; \{3\})\; \backslash ,\}$

который генерирует иерархия проблем. Получается усредненное уравнение, а эффективные коэффициенты определяются путем решения так называемых "задач ячейки" для функции $u\; 1\; (x\; \to ,\; x\; \to \; /\; ϵ)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{1\}\; (\{\backslash \; vec\; \{\; x\}\},\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; /\; \backslash \; epsilon)\}$.

• Асимптотический анализ
• Γ-сходимость
• Сходимость Mosco
• Приближения эффективной среды

• Козлов С.М.; Олейник О.А. ; Жиков, В. (1994), Усреднение дифференциальных операторов и интегральных функционалов, Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк : Springer-Verlag, ISBN 3-540-54809-2, Zbl 0838.35001
• Олейник, О.А. ; Шамаев, А.С.; Иосифян, Г.А. (1991), Математические проблемы эластичности и гомогенизации, Исследования по математике и ее приложениям, 26, Амстердам - Лондон - Нью-Йорк - Токио : Северная Голландия, ISBN 0-444-88441-6, Zbl 0768.73003
• Хорнунг, Ульрих (Ред.). (1997), Гомогенизация и пористые среды, Междисциплинарная прикладная математика, 6, Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-1920-0, ISBN 978-1-4612-7339-4
• Бахвалов Н.С. ; Панасенко Г.П. (1984), Усреднение процессов в периодической среде (английский перевод: Kluwer, 1989), Москва : Наука, Zbl 0607.73009
• Braides, A.; Дефранчески, А. (1998), Усреднение кратных интегралов, Серия оксфордских лекций по математике и ее приложениям, Оксфорд : Clarendon Press, ISBN 978 -0-198-50246-3