Аддитивно неразложимый порядковый номер

редактировать

В теории множеств, раздел математики, аддитивно неразложимый порядковый номер α - это любой порядковый номер, отличный от 0, такой, что для любого $β, γ < α {\displaystyle \beta,\gamma <\alpha }$ $\ beta, \ gamma <\ alpha$ мы имеем $β + γ < α. {\displaystyle \beta +\gamma <\alpha.}$ $\ beta + \ gamma <\ alpha.$ Аддитивно неразложимые порядковые числа также называются гамма-числами. Аддитивно неразложимые ординалы - это в точности те ординалы вида $ω β {\ displaystyle \ omega ^ {\ beta}}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {\ beta}}$ для некоторого порядкового номера $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ .

From непрерывность сложения в его правом аргументе, получаем, что если $β < α {\displaystyle \beta <\alpha }$ $\ beta <\ alpha$ и α аддитивно неразложимы, то $β + α = α. {\ displaystyle \ beta + \ alpha = \ alpha.}$ $\ beta + \ alpha = \ alpha.$

Очевидно, 1 является аддитивно неразложимым, поскольку $0 + 0 < 1. {\displaystyle 0+0<1.}$ $0 + 0 <1.$ Нет конечного порядкового номера, кроме $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ аддитивно неразложим. Кроме того, $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ аддитивно неразложим, так как сумма двух конечных ординалов все еще конечна. В более общем смысле, каждый бесконечный начальный порядковый номер (порядковый номер, соответствующий количественному числу ) аддитивно неразложим.

Класс аддитивно неразложимых чисел замкнут и неограничен. Его функция перечисления нормальная и определяется выражением $ω α {\ displaystyle \ omega ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {\ alpha}}$ .

Производная от $ω α {\ displaystyle \ omega ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {\ alpha}}$ (в котором перечислены его неподвижные точки) записывается как $ϵ α. {\ displaystyle \ epsilon _ {\ alpha}.}$ $\ epsilon _ {\ alpha}.$ Порядковые числа этой формы (то есть фиксированные точки из $ω α {\ displaystyle \ omega ^ {\ alpha} }$ ${\ displaystyle \ omega ^ {\ alpha}}$ ) называются эпсилон-числа. Число $ϵ 0 = ω ω ω ⋅ ⋅ ⋅ {\ displaystyle \ epsilon _ {0} = \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}} }}$ $\ epsilon _ {0} = \ omega ^ {{\ omega ^ {{\ omega ^ {{\ cdot ^ {{\ cdot ^ {\ cdot}}}}}}}}}$ , таким образом, является первой фиксированной точкой последовательности $ω, ω ω, ω ω ω,… {\ displaystyle \ omega, \ omega ^ {\ omega} \ !, \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega}} \! \!, \ ldots}$ $\ omega, \ omega ^ {\ omega} \!, \ Omega ^ {{\ omega ^ {\ omega}}} \! \!, \ Ldots$

Мультипликативно неразложимый

Аналогичное понятие можно определить для умножения. Если α больше мультипликативного тождества, 1 и β < α and γ < α imply β·γ < α, then α is multiplicatively indecomposable. 2 is multiplicatively indecomposable since 1·1 = 1 < 2. Besides 2, the multiplicatively indecomposable ordinals (also called delta numbers) are those of the form $ω ω α {\ displaystyle \ omega ^ {\ omega ^ {\ alpha}} \,}$ $\ omega ^ {{\ omega ^ {\ alpha}}} \,$ для любого порядкового номера α. Каждое эпсилон-число мультипликативно неразложимо; и каждый мультипликативно неразложимый ординал (кроме 2) аддитивно неразложим. Дельта-числа (кроме 2) такие же, как простые порядковые числа, которые являются ограничениями.

См. Также

Порядковая арифметика

Список литературы

Серпинский, Вацлав (1958), Кардинальные и порядковые числа, Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne, 34 , Варшава: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, MR 0095787

Эта статья включает материал из Additively noncomposable на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share -Alike License.