Мера Юнга

редактировать

В математическом анализе мера Юнга - это параметризованная мера, которая связана с некоторыми подпоследовательностями данной ограниченной последовательности измеримых функций. Меры Юнга находят применение в вариационном исчислении и исследовании нелинейных уравнений в частных производных, а также в различных оптимизации (или оптимальное управление задачи). Они названы в честь Лоуренса Чизхолма Янга, который их изобрел, однако в терминах линейных функционалов еще в 1937 году, еще до того, как была разработана теория меры.

Содержание

1 Определение
2 Пример
3 Ссылки
4 Внешние ссылки

Определение

Допустим, ${fk} k = 1 ∞ {\ displaystyle \ {f_ {k} \} _ {k = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ {f_ {k} \} _ {k = 1} ^ {\ infty}}$ быть ограниченной последовательностью в $L ∞ (U, R m) {\ displaystyle L ^ {\ infty } (U, \ mathbb {R} ^ {m})}$ ${\ displaystyle L ^ {\ infty} (U, \ mathbb {R} ^ {m})}$ , где $U {\ displaystyle U}$ $U$ обозначает открытое ограниченное подмножество $R n { \ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Тогда существует подпоследовательность ${fkj} j = 1 ∞ ⊂ {fk} k = 1 ∞ {\ displaystyle \ {f_ {k_ {j}} \} _ {j = 1} ^ {\ infty} \ subset \ {f_ {k} \} _ {k = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ {f_ {k_ {j}} \} _ {j = 1} ^ {\ infty} \ subset \ {f_ {k} \} _ {k = 1} ^ {\ infty} }$ и почти для каждого $x ∈ U {\ displaystyle x \ in U}$ $x \ in U$ a вероятностная мера Бореля $ν x {\ displaystyle \ nu _ {x}}$ ${\ displaystyle \ nu _ {x}}$ на $R m {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ mathbb {R} ^ {m}$ такие что для каждого $F ∈ C (R m) {\ displaystyle F \ in C (\ mathbb {R} ^ {m})}$ ${\ displaystyle F \ in C (\ mathbb {R} ^ {m})}$ мы имеем $F ∘ fkj ⇀ ∗ ∫ R m F (y) d ν ⋅ (y) {\ displaystyle F \ circ f_ {k_ {j}} {\ overset {\ ast} {\ rightharpoonup}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {m}} F (y) d \ nu _ {\ cdot} (y)}$ ${\ displaystyle F \ circ f_ {k_ {j} } {\ overset {\ ast} {\ rightharpoonup}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {m}} F (y) d \ nu _ {\ cdot} (y)}$ в $L ∞ (U) {\ displaystyle L ^ {\ infty} (U)}$ ${\ displaystyle L ^ {\ infty} (U)}$ . Меры $ν x {\ displaystyle \ nu _ {x}}$ ${\ displaystyle \ nu _ {x}}$ называются мерами Юнга, генерируемыми последовательностью ${fk} k = 1 ∞ {\ displaystyle \ {f_ {k } \} _ {k = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ {f_ {k} \} _ {k = 1} ^ {\ infty}}$ .

Пример

Для каждой минимизирующей последовательности $un {\ displaystyle u_ {n}}$ $u_ {n}$ из $Я (и) знак равно ∫ 0 1 (ux 2-1) 2 + u 2 dx {\ displaystyle I (u) = \ int _ {0} ^ {1} (u_ {x} ^ {2} -1) ^ {2} + u ^ {2} dx}$ ${ \ displaystyle I (u) = \ int _ {0} ^ {1} (u_ {x} ^ {2} -1) ^ {2} + u ^ {2} dx}$ при условии $u (0) = u (1) = 0 {\ displaystyle u (0) = u (1) = 0}$ $u (0) = u (1) = 0$ , последовательность производных $un ′ {\ displaystyle u '_ {n}}$ $u'_{n}$ порождает меры Юнга $ν x = 1 2 δ - 1 + 1 2 δ 1 {\ displaystyle \ nu _ {x} = {\ frac {1} {2}} \ delta _ {- 1} + {\ frac {1} {2}} \ delta _ {1}}$ ${\ displaystyle \ nu _ {x} = {\ frac {1} {2}} \ delta _ {- 1} + {\ frac {1} {2} } \ delta _ {1}}$ . Это отражает основные черты всех минимизирующих последовательностей для этой проблемы, а именно создание более мелких и более тонких наклонов $± 1 {\ displaystyle \ pm 1}$ $\ pm 1$ (или близких к $± 1 {\ displaystyle \ pm 1}$ $\ pm 1$ ).

Ссылки

Болл, Дж. М. (1989). «Вариант основной теоремы для мер Юнга». In Rascle, M.; Serre, D.; Слемрод, М. (ред.). УЧП и модели континуума фазового перехода. Конспект лекций по физике. 344 . Берлин: Springer. С. 207–215.
К. Кастен, П. Рейно де Фитт, М. Валадье (2004). Меры Юнга на топологических пространствах. Dordrecht: Kluwer. Поддержка CS1: несколько имен: список авторов (ссылка )
LC Evans (1990). Методы слабой сходимости для нелинейных уравнений в частных производных. Серия региональных конференций по математике. Американское математическое общество.
С. Мюллер (1999). Вариационные модели микроструктуры и фазовых переходов. Лекционные заметки по математике. Спрингер.
П. Педрегал (1997). Параметризованные меры и вариационные принципы. Базель : Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-9815-7.
T. Roubíček (1997). Расслабление в теории оптимизации и вариационном исчислении. Берлин: W. de Gruyter. ISBN 3-11-014542-1.

Валадье, М. (1990). «Меры Юнга». Методы невыпуклого анализа. Конспект лекций по математике. 1446 . Berlin: Springer. Pp. 152–188.
Young, LC (1937), «Обобщенные кривые и существование достигнутого абсолютного минимума в вариационном исчислении», класс III, XXX (7–9): 211–234, JFM 63.1064.01, Zbl 0019.21901, мемуары, представленные Станиславом Саксом на заседании 16 декабря 1937 г. Бесплатная копия PDF доступна в RCIN - цифровом хранилище научных институтов.
Young, LC (1969), Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению, Филадельфия – Лондон – Торонто: W. Б. Сондерс, стр. Xi + 331, MR 0259704, Zbl 0177.37801.

Внешние ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]