Число Вильямса

В теории чисел a Уильямс основание числа b представляет собой натуральное число в форме $(b\; -\; 1)\; \cdot \; bn\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (b-1)\; \backslash \; cdot\; b\; ^\; \{n\}\; -1\}$для целых чисел b ≥ 2 и n ≥ 1. Основание 2 чисел Вильямса - это в точности числа Мерсенна.

• 1 простое число Вильямса
• 2 Обобщение
• 3 Двойная форма
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

A Простое число Вильямса - это число Вильямса, которое является простым числом. Их рассматривал Хью К. Уильямс.

Наименьшее n ≥ 1, такое что (b − 1) · b - 1 простое число: (начинаются с b = 2)

2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 14, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 55, 12, 1, 133, 1, 20, 1, 2, 1, 1, 2, 15, 3, 1, 7, 136211, 1, 1, 7, 1, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 25, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 899, 3, 11, 1, 1, 1, 63, 1, 13, 1, 25, 8, 3, 2, 7, 1, 44, 2, 11, 3, 81, 21495, 1, 2, 1, 1, 3, 25, 1, 519, 77, 476, 1, 1, 2, 1, 4983, 2, 2,...

По состоянию на сентябрь 2018 года наибольшее известное основание 3 простых чисел Уильямса составляет 2 × 3−1.

A число Вильямса второго рода с основанием b - это натуральное число в форме $(b\; -\; 1)\; \cdot \; bn\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (b-\; 1)\; \backslash \; cdot\; b\; ^\; \{n\}\; +1\}$для целых чисел b ≥ 2 и n ≥ 1, a простое число Вильямса второго рода является числом Вильямса второго рода, которое простое. Простые числа Вильямса второго рода с основанием 2 - это в точности простые числа Ферма.

Наименьшее n ≥ 1 такое, что (b − 1) · b + 1 является простым числом: (начинаются с b = 2)

1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 29, 14, 1, 1, 14, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 5, 12, 2, 1, 2, 2, 9, 16, 1, 2, 80, 1, 2, 4, 2, 3, 16, 2, 2, 2, 1, 15, 960, 15, 1, 4, 3, 1, 14, 1, 6, 20, 1, 3, 946, 6, 1, 18, 10, 1, 4, 1, 5, 42, 4, 1, 828, 1, 1, 2, 1, 12, 2, 6, 4, 30, 3, 3022, 2, 1, 1, 8, 2, 4, 4, 2, 11, 8, 2, 1,... (последовательность A305531 в числах OEIS )

По состоянию на сентябрь 2018, наибольшее известное простое число Вильямса второго рода с основанием 3 равно 2 × 3 + 1.

A Число Вильямса третьего типа с основанием b - это натуральное число формы $(b\; +\; 1)\; \cdot \; bn\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (b\; +\; 1)\; \backslash \; cdot\; b\; ^\; \{n\}\; -1\}$для целых чисел b ≥ 2 и n ≥ 1, числа Вильямса третьего рода основание 2 - это в точности числа Табита. Простое число Вильямса третьего вида - это простое число Вильямса третьего вида.

A Число Вильямса четвертого вида с основанием b - это натуральное число в форме $(b\; +\; 1)\; \cdot \; bn\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (b\; +\; 1)\; \backslash \; cdot\; b\; ^\; \{n\}\; +1\}$для целых чисел b ≥ 2 и n ≥ 1, простое число Вильямса четвертого рода - это простое число Вильямса четвертого типа, такие простые числа не существуют для $b\; \equiv \; 1\; mod\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; bmod\; \{3\}\}\}$.

b	чисел n таких, что $(b\; +\; 1)\; \cdot \; bn\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; b\; +\; 1)\; \backslash \; cdot\; b\; ^\; \{n\}\; -1\}$- простое	числа n такое, что $(b\; +\; 1)\; \cdot \; bn\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (b\; +\; 1)\; \backslash \; cdot\; b\; ^\; \{n\}\; +1\}$простое число
2	OEIS : A002235	OEIS : A002253
3	OEIS : A005540	OEIS : A005537
5	OEIS : A257790	OEIS : A143279
10	OEIS : A111391	(не существует)

Предполагается, что для любого b ≥ 2 существует бесконечно много простых чисел Вильямса первого рода (исходных простых чисел Вильямса) с основанием b, бесконечно много чисел Вильямса простые числа второго рода с основанием b, а i n бесконечно много простых чисел Вильямса третьего рода с основанием b. Кроме того, если b не = 1 mod 3, то существует бесконечно много простых чисел Вильямса с основанием b четвертого рода.

Если мы позволим n принимать отрицательные значения и выберем числитель чисел, мы получим эти числа:

Двойные числа Вильямса основание первого рода b : числа вида $bn\; -\; (b\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{n\}\; -\; (b-1)\}$с b ≥ 2 и n ≥ 1.

Двойные числа Вильямса второго рода с основанием b : числа вида $bn\; +\; (b\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{n\}\; +\; (b-1)\}$с b ≥ 2 и n ≥ 1.

Двойные числа Вильямса третьего рода с основанием b : числа вида $bn\; -\; (b\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{n\}\; -\; (b\; +\; 1)\}$с b ≥ 2 и n ≥ 1.

Двойные числа Вильямса четвертого рода с основанием b : числа вида $bn\; +\; (b\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{n\}\; +\; (b\; +\; 1)\}$с b ≥ 2 и n ≥ 1. (не существует, когда b = 1 mod 3)

В отличие от оригинальные простые числа Вильямса каждого вида, некоторые большие двойственные простые числа Вильямса каждого вида являются только вероятными простыми числами, поскольку для этих простых чисел N ни N − 1, ни N + 1 не могут быть тривиально написано в продукте.

b	числа n такие, что $bn\; -\; (b\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{n\}\; -\; (b-1)\}$является (вероятным) простым (двойные простые числа Вильямса первого kind)	числа n такие, что $bn\; +\; (b\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{n\}\; +\; (b-1)\}$является (вероятным) простым (двойным Простые числа Вильямса второго рода)	числа n такие, что $bn\; -\; (b\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{n\}\; -\; (b\; +\; 1)\}$равно ( вероятное) простое число (двойные простые числа Вильямса третьего рода)	числа n такие, что $bn\; +\; (b\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{n\}\; +\; (b\; +\; 1)\}$является (вероятным) простым числом (двойные простые числа Вильямса четвертого типа)
2	OEIS : A000043	(см. простое число Ферма )	OEIS : A050414	OEIS : A057732
3	OEIS : A014224	OEIS : A051783	OEIS : A058959	OEIS : A058958
4	OEIS : A059266	OEIS : A089437	OEIS : A217348	(не существует)
5	OEIS : A059613	OEIS : A124621	OEIS : A165701	OEIS : A0891 42
6	OEIS : A059614	OEIS : A145106	OEIS : A217352	OEIS : A217351
7	OEIS : A191469	OEIS : A217130	OEIS : A217131	(не существует)
8	OEIS : A217380	OEIS : A217381	OEIS : A217383	OEIS : A217382
9	OEIS : A177093	OEIS : A217385	OEIS : A217493	OEIS : A217492
10	OEIS : A095714	OEIS : A088275	OEIS : A092767	(не существует)

(для наименьших двойных простых чисел Вильямса 1-го, 2-го и основание b 3-го типа, см. OEIS : A113516, OEIS : A076845 и OEIS : A178250 )

Предполагается, что для каждого b ≥ 2 существует бесконечно много двойственных простых чисел Вильямса первого рода (исходных простых чисел Вильямса) с базой b, бесконечно много двойственных простых чисел Вильямса второго рода с базой b и бесконечно много двойственных простых чисел Вильямса Простые числа Вильямса третьего рода с основанием b. Кроме того, если b не = 1 mod 3, то существует бесконечно много двойственных простых чисел Вильямса с основанием b четвертого рода.

• Число Табита, которое в точности является числом Вильямса третьего типа с основанием 2

• Простота некоторых целых чисел форма 2Ar - 1
• Некоторые простые числа форм 2 · 3 + 1 и 2 · 3 - 1
• Крис Колдуэлл, База данных наибольших известных простых чисел на Prime Pages
• A Простое число Вильямса первого рода с основанием 2: (2−1) · 2 - 1
• Простое число Вильямса первого рода с основанием 3: (3−1) · 3 - 1
• Простое число Вильямса второго рода основание 3: (3−1) · 3 + 1
• Простое число Вильямса первого рода с основанием 10: (10−1) · 10 - 1
• Простое число Вильямса первого рода с основанием 113: (113− 1) · 113 - 1
• простое число Вильямса в
• Список простых чисел Вильямса