Сумма клина

редактировать

Сумма клина двух окружностей

В топологии сумма клина является «одноточечное объединение» семейства топологических пространств. В частности, если X и Y являются точечными пространствами (то есть топологическими пространствами с выделенными базовыми точками x 0 и y 0), сумма клина X и Y равна фактор-пространство непересекающегося объединения X и Y по отождествлению x 0 ∼ y 0:

X ∨ Y = (X ⨿ Y) / ∼, { \ Displaystyle X \ vee Y = (X \ amalg Y) \; / {\ sim},}

{\ displaystyle X \ vee Y = (X \ amalg Y) \; / {\ sim},}

где ∼ - замыкание эквивалентности отношения {(x 0,y0)}. В более общем плане предположим, что (X i)i ∈ I - это семейство заостренных пространств с базовыми точками {p i }. Сумма клина этого семейства определяется как:

⋁ я ∈ IX я знак равно ∐ я ∈ IX я / ∼, {\ displaystyle \ bigvee _ {я \ in I} X_ {i} = \ coprod _ {i \ in I} X_ {i} \; / {\ sim},}

{\ displaystyle \ bigvee _ {i \ in I} X_ {i} = \ coprod _ {i \ in I} X_ {i} \; / {\ sim},}

где ∼ - замыкание эквивалентности отношения {(p i, p j) | i, j ∈ I}. Другими словами, сумма клина - это соединение нескольких пробелов в одной точке. Это определение чувствительно к выбору базовых точек {p i }, если только пробелы {X i } не однородный.

Сумма клина снова является точечным пространством, а бинарная операция ассоциативна и коммутативна (с точностью до гомеоморфизма).

Иногда клин сумма называется продуктом клина, но это не то же самое, что внешний продукт, который также часто называют продуктом клина.

Содержание

1 Примеры
2 Категориальное описание
3 Свойства
4 См. Также
5 Ссылки

Пример s

Сумма двух окружностей гомеоморфна восьмерке. Сумму клина из n кругов часто называют букетом кругов, а произведение клина произвольных сфер часто называют букетом сфер .

Общая конструкция в гомотопии определяет все точки вдоль экватора n-сферы $S n {\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ {n}$ . Это приведет к созданию двух копий сферы, соединенных в точке экватора:

S n / ∼ = S n ∨ S n {\ displaystyle S ^ {n} / {\ sim} = S ^ {n } \ vee S ^ {n}}

S ^ {n} / {\ sim} = S ^ {n} \ vee S ^ {n}

Пусть $Ψ {\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ будет картой $Ψ: S n → S n ∨ S n {\ displaystyle \ Psi : S ^ {n} \ to S ^ {n} \ vee S ^ {n}}$ $\ Psi: S ^ {n} \ to S ^ {n} \ vee S ^ {n}$ , то есть отождествление экватора до одной точки. Затем сложение двух элементов $f, g ∈ π n (X, x 0) {\ displaystyle f, g \ in \ pi _ {n} (X, x_ {0})}$ $f, g \ in \ pi _ {n} (X, x_ {0})$ из n-мерная гомотопическая группа $π n (X, x 0) {\ displaystyle \ pi _ {n} (X, x_ {0})}$ $\ pi _ {n} (X, x_ {0})$ пространства X в выделенной точке $x 0 ∈ X {\ displaystyle x_ {0} \ in X}$ $x_ {0} \ in X$ можно понимать как композицию $f {\ displaystyle f}$ $f$ и $g {\ displaystyle g}$ $g$ с $Ψ {\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ :

f + g = (f ∨ g) ∘ Ψ {\ displaystyle f + g = ( f \ vee g) \ circ \ Psi}

f + g = (е \ vee g) \ circ \ Psi

Здесь $f, g: S n → X {\ displaystyle f, g: S ^ {n} \ to X}$ ${\ displaystyle f, g: S ^ {n} \ to X}$ - карты которые переводят выделенную точку $s 0 ∈ S n {\ displaystyle s_ {0} \ in S ^ {n}}$ $s_ {0} \ in S ^ {n}$ в точку $x 0 ∈ X. {\ displaystyle x_ {0} \ in X.}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in X.}$ Обратите внимание, что в приведенном выше примере используется сумма клина двух функций, что возможно именно потому, что они совпадают в $s 0, {\ displaystyle s_ {0 },}$ ${\ displaystyle s_ {0},}$ точка, общая для суммы клиньев нижележащих пространств.

Категориальное описание

Сумма клина может пониматься как сопродукт в категории заостренных пробелов. В качестве альтернативы, сумму клина можно рассматривать как выталкивание диаграммы X ← {•} → Y в категории топологических пространств (где {•} - любое одноточечное пространство).

Свойства

Теорема Ван Кампена дает определенные условия (которые обычно выполняются для хороших пространств, таких как комплексы CW ), при которых фундаментальная группа суммы клина двух пространств X и Y является свободным произведением фундаментальных групп пространств X и Y.

См. Также

Произведение разбивки
Гавайская серьга, топологическое пространство, напоминающее, но не то же самое, что сумма клина из счетного числа кругов

Ссылки

Ротман, Джозеф. Введение в алгебраическую топологию, Springer, 2004, с. 153. ISBN 0-387-96678-1