Число Stella octangula

В математике число октангулы стелы равно фигуральное число на основе stella octangula формы n (2n - 1).

Последовательность чисел stella octangula

0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990,... (последовательность A007588 в OEIS )

Только два из этих чисел являются квадратными.

• 1 Уравнение Люнггрена
• 2 Дополнительные приложения
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

Есть только два положительных квадрата числа октангулы стелы, 1 и 9653449 = 3107 = (13 × 239), что соответствует n = 1 и n = 169 соответственно. эллиптическая кривая, описывающая квадратные числа октангулы стелы,

$m\; 2\; =\; n\; (2\; n\; 2\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; ^\; \{2\}\; =\; n\; (2n\; ^\; \{2\}\; -1)\}$

может быть преобразован в эквивалентную форму Вейерштрасса

$x\; 2\; =\; y\; 3\; -\; 2\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; =\; y\; ^\; \{3\}\; -2y\}$

заменой переменных x = 2m, y = 2n. Поскольку два множителя n и 2n - 1 в квадрате числа m взаимно просты, каждый из них должен быть сам по себе квадратом, а вторая замена переменных $X\; =\; m\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; m\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\}$и $Y\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\}$приводит к уравнению Люнггрена

$X\; 2\; =\; 2\; Y\; 4\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{2\}\; =\; 2Y\; ^\; \{4\}\; -1\}$

Теорема из Зигеля утверждает, что каждая эллиптическая кривая имеет только конечное число целых чисел решений, и Вильгельм Юнггрен (1942) нашел трудное доказательство того, что единственными целочисленными решениями его уравнения были (1,1) и (239,13), соответствующие двум квадратам числа stella octangula. Луи Дж. Морделл предположил, что доказательство можно упростить, и несколько более поздних авторов опубликовали упрощения.

Числа stella octangula возникают в параметрическое семейство экземпляров к задаче о перекрещенных лестницах, в котором длина и высота лестниц и высота их пересечения Sing point - целые числа. В этих случаях соотношение между высотами двух лестниц представляет собой число октангулы стелы.

• Weisstein, Eric W. "Stella" Число октангулы ". MathWorld.