Преобразование звездообразной сетки

Преобразование звезда-сетка или преобразование звезда-многоугольник - это математический метод анализа цепи для преобразования резистивной сети в эквивалентную сеть с одним узлом меньше. Эквивалентность следует из тождества дополнения Шура, примененного к матрице Кирхгофа сети.

Эквивалентное сопротивление между узлами A и B определяется по формуле:

$z\; AB\; =\; z\; A\; z\; B\; \sum \; 1\; z,\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{AB\}\}\; =\; z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{A\}\}\; z\_\; \{\backslash \; text\; \{B\}\}\; \backslash \; sum\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\}\},\}$

где $z\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{A\}\}\}$- это импеданс между узлом А и удаляемым центральным узлом.

Преобразование заменяет N резисторов на $1\; 2\; N\; (N\; -\; 1)\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; N\; (N-1)\}$резисторов. Для $N>3\; \{\backslash \; textstyle\; N>3\}$, в результате увеличивается количество резисторов, поэтому преобразование не имеет общего обратного без дополнительных ограничений.

Это возможно, но не обязательно эффективно, чтобы преобразовать произвольно сложную двухполюсную резистивную сеть в один эквивалентный резистор путем многократного применения преобразования звездообразной сетки для устранения каждого нетерминального узла.

Когда N равно:

1. Для одного болтающегося резистора преобразование устраняет резистор.
2. Для двух резисторов «звезда» - это просто два последовательно соединенных резистора, а преобразование дает один эквивалентный резистор.
3. Частный случай трех резисторов более известен как преобразование Y-Δ. Поскольку результат также имеет три резистора, это преобразование имеет обратное преобразование Δ-Y.

• Топо логика электрических цепей
• Анализ сети (электрические цепи)

• van Lier, M.; Оттен, Р. (март 1973 г.). «Планаризация трансформацией». IEEE Transactions по теории цепей. 20 (2): 169–171. doi : 10.1109 / TCT.1973.1083633.
• Бедросян, С. (декабрь 1961 г.). "Конверс Преобразования Звездной Сети". Сделки IRE по теории цепей. 8 (4): 491–493. doi : 10.1109 / TCT.1961.1086832.
• E.B. Кертис, Д. Ингерман, Д.А. Завтра. Круговые планарные графы и резисторные схемы. Линейная алгебра и ее приложения. Том 283, выпуски 1–3, 1 ноября 1998 г., стр. 115–150.