Конверт Снелла

редактировать

конверт Снеллиуса, используемый в стохастике и математических финансах, является наименьшим супермартингейлом, доминирующим над случайный процесс. Конверт Снеллиуса назван в честь Джеймса Лори Снелла.

Содержание

1 Определение
2 Конструкция
3 Приложение
4 Ссылки

Определение

Дано фильтрованное вероятностное пространство $(Ω, F, (F t) t ∈ [0, T], P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, ({\ mathcal {F}} _ {t}) _ {t \ in [0, T]}, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, ({\ mathcal {F}}) _ {t}) _ {t \ in [0, T]}, \ mathbb {P})}$ и абсолютно непрерывный мера вероятности re $Q ≪ P {\ displaystyle \ mathbb {Q} \ ll \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ ll \ mathbb {P}}$ , затем адаптированный процесс $U = (U t) t ∈ [0, T] {\ displaystyle U = (U_ {t}) _ {t \ in [0, T]}}$ ${\ displaystyle U = (U_ {t}) _ {t \ in [0, T]}}$ - конверт Снеллиуса относительно $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ процесса $X = (X t) t ∈ [0, T] {\ displaystyle X = (X_ {t}) _ {t \ in [0, T]}}$ ${\ displaystyle X = (X_ {t}) _ { t \ in [0, T]}}$ , если

$U {\ displaystyle U}$ $U$ является $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ -супермартингейл
$U {\ displaystyle U}$ $U$ доминирует $X {\ displaystyle X}$ $X$ , т.е. $U t ≥ X t {\ displaystyle U_ {t} \ geq X_ {t}}$ ${\ displaystyle U_ {t} \ geq X_ {t}}$ $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ -почти наверняка для всех времен $t ∈ [0, T] {\ displaystyle t \ in [0, T] }$ $t \ in [0, T]$
Если $V = (V t) t ∈ [0, T] {\ displaystyle V = (V_ {t}) _ {t \ in [0, T]}}$ ${\ displaystyle V = (V_ {t}) _ {t \ in [0, T]}}$ является $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ -супермартингейл, который доминирует $X {\ displaystyle X}$ $X$ , тогда $V {\ displaystyle V }$ $V$ доминирует $U {\ displaystyle U}$ $U$ .

Конструкция

Учитывая (дискретный) фильтрованное вероятностное пространство $(Ω, F, (F n) n = 0 N, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n = 0} ^ {N}, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n = 0} ^ {N}, \ mathbb {P})}$ и абсолютно непрерывная вероятностная мера $Q ≪ P {\ displaystyle \ mathbb {Q} \ ll \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ ll \ mathbb {P}}$ , затем конверт Снелла $(U n) n = 0 N {\ displaystyle (U_ { n}) _ {n = 0} ^ {N}}$ ${\ displaystyle (U_ {n}) _ {n = 0} ^ {N}}$ по отношению к $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ процесса $(X n) n = 0 N {\ displaystyle (X_ {n}) _ {n = 0} ^ {N}}$ ${\ displaystyle (X_ {n}) _ {n = 0} ^ {N}}$ задается рекурсивной схемой

UN: = XN, {\ displaystyle U_ {N}: = X_ {N},}

{\ displaystyle U_ {N}: = X_ {N},}

U n: = X n ∨ EQ [U n + 1 ∣ F n] {\ displaystyle U_ {n}: = X_ {n} \ lor \ mathbb {E } ^ {\ mathbb {Q}} [U_ {n + 1} \ mid {\ mathcal {F}} _ {n}]}

{\ displaystyle U_ {n }: = X_ {n} \ lor \ mathbb {E} ^ {\ mathbb {Q}} [U_ {n + 1} \ mid {\ mathcal {F}} _ {n}]}

для

n = N - 1,..., 0 {\ displaystyle n = N-1,..., 0}

{\ displaystyle n = N-1,..., 0}

где $∨ {\ displaystyle \ lor}$ $\ lor$ - это соединение (в данном случае равно максимуму двух случайных величин).

Применение

Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ - это дисконтированный американский опцион, выплата с Конверт Снелла $U {\ displaystyle U}$ $U$ , затем $U t {\ displaystyle U_ {t}}$ $U_ {t}$ - минимальное требование к капиталу для хеджирования $X {\ displaystyle X}$ $X$ с момента $t {\ displaystyle t}$ $t$ до даты истечения срока годности.

Ссылки