Преобразования синуса и косинуса

редактировать

Вариант преобразования Фурье

В математике синус Фурье и Косинусные преобразования - это формы интегрального преобразования Фурье, в которых не используются комплексные числа. Это формы, которые изначально использовались Джозефом Фурье и все еще предпочтительны в некоторых приложениях, таких как обработка сигналов или статистика.

Содержание

1 Определение
2 Инверсия Фурье
3 Связь с комплексными экспонентами
4 Числовое вычисление
5 См. Также
6 Ссылки

Определение

синусоидальное преобразование Фурье f (t), иногда обозначается как $f ^ s {\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {s}}$ ${\ hat f} ^ s$ или $F s (f) {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {s} (f)}$ ${\ mathcal F} _s ( е)$ , равно

f ^ s (ν) = ∫ - ∞ ∞ f (t) sin ⁡ (2 π ν t) dt. {\ Displaystyle {\ шляпа {е}} ^ {s} (\ nu) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) \ sin (2 \ pi \ nu t) \, dt. }

{\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {s} (\ nu) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) \ sin (2 \ pi \ nu t) \, dt.}

Если t означает время, то ν - это частота в циклах в единицу времени, но абстрактно они могут быть любой парой переменных, которые двойственны друг другу.

Это преобразование обязательно является нечетной функцией частоты, то есть для всех ν:

f ^ s (- ν) = - f ^ s (ν). {\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {s} (- \ nu) = - {\ hat {f}} ^ {s} (\ nu).}

{\ displaystyle {\ hat {f}} ^ { s} (- \ nu) = - {\ hat {f}} ^ {s} (\ nu).}

Числовые множители в Фурье преобразования однозначно определяются только своим произведением. Здесь, чтобы в формуле обращения Фурье не было числового коэффициента, коэффициент 2 появляется, потому что функция синуса имеет L-норму $1 2. {\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}}.}$ $\ tfrac {1} {\ sqrt2}.$

Косинусное преобразование Фурье функции f (t), иногда обозначаемое как $f ^ c {\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {c}}$ ${\ hat f} ^ c$ или $F c (f) {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c} (f)}$ ${\ mathcal F} _c (f)$ , равно

f ^ c (ν) = ∫ - ∞ ∞ f (t) cos ⁡ (2 π ν t) dt. {\ Displaystyle {\ шляпа {е}} ^ {с} (\ ню) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} е (т) \ соз (2 \ пи \ ню т) \, дт. }

{\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {c} (\ nu) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) \ cos (2 \ pi \ nu t) \, dt.}

Это обязательно четная функция частоты, т.е. для всех ν:

f ^ c (ν) = f ^ c (- ν). {\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {c} (\ nu) = {\ hat {f}} ^ {c} (- \ nu).}

{\ hat f } ^ c (\ nu) = {\ hat f} ^ c (- \ nu).

Некоторые авторы определяют косинусное преобразование только для четные функции от t, и в этом случае его синусоидальное преобразование равно нулю. Поскольку косинус также является четным, можно использовать более простую формулу,

f ^ c (ν) = 2 ∫ 0 ∞ f (t) cos ⁡ (2 π ν t) d t. {\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {c} (\ nu) = 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ cos (2 \ pi \ nu t) \, dt.}

{\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {c} (\ nu) = 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ cos (2 \ pi \ nu t) \, dt.}

Аналогично, если f является нечетной функцией, то косинусное преобразование равно нулю, а синусоидальное преобразование может быть упрощено до

f ^ s (ν) = 2 ∫ 0 ∞ f (t) sin ⁡ (2 π ν t) dt. {\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {s} (\ nu) = 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ sin (2 \ pi \ nu t) \, dt.}

{\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {s} (\ nu) = 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ sin (2 \ pi \ nu t) \, dt.}

Другие авторы также определяют косинусное преобразование как

$f ^ c (ν) = 2 π ∫ 0 ∞ f (t) cos ⁡ (2 π ν t) dt. {\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {c} (\ nu) = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ cos (2 \ pi \ nu t) \, dt.}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {c} (\ nu) = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ cos (2 \ pi \ nu t) \, dt.}$

и синус как

$f ^ s (ν) = 2 π ∫ 0 ∞ f (t) sin ⁡ (2 π ν t) dt. {\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {s} (\ nu) = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ sin (2 \ pi \ nu t) \, dt.}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {s} (\ nu) = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ sin (2 \ pi \ nu t) \, dt.}$

Инверсия Фурье

Исходная функция f может быть восстановлена из ее преобразования при обычных гипотезах, что f и оба ее преобразования должны быть абсолютно интегрируемый. Подробнее о различных гипотезах см. Теорема обращения Фурье.

Формула обращения:

f (t) = ∫ - ∞ ∞ f ^ c (ν) cos ⁡ (2 π ν t) d ν + ∫ - ∞ ∞ е ^ s (ν) грех ⁡ (2 π ν t) d ν, {\ displaystyle f (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {f}} ^ {c} (\ nu) \ cos (2 \ pi \ nu t) \, d \ nu + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {f}} ^ {s} (\ nu) \ sin (2 \ pi \ nu t) \, d \ nu,}

{\ displaystyle f (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {f}} ^ {c} (\ nu) \ cos (2 \ pi \ nu t) \, d \ nu + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {f}} ^ {s} (\ nu) \ sin (2 \ pi \ nu t) \, d \ nu,}

который имеет то преимущество, что все величины являются действительными. Используя формулу сложения для косинуса, это можно переписать как

f (t) = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f (x) cos ⁡ (2 π ν (x - t)) dxd ν. {\ Displaystyle е (т) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \ cos (2 \ pi \ nu (xt)) \, dx \, d \ nu.}

{\ displaystyle f (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \ cos (2 \ пи \ ню (хт)) \, дх \, д \ ню.}

Если исходная функция f является четной функцией, то преобразование синуса равно нулю; если f является нечетной функцией, то косинусное преобразование равно нулю. В любом случае формула обращения упрощается.

Связь с комплексными экспонентами

Форма преобразования Фурье, которая используется сегодня чаще всего:

f ^ (ν) = ∫ - ∞ ∞ f (t) e - 2 π i ν tdt = ∫ - ∞ ∞ f (t) (cos ⁡ (2 π ν t) - i sin ⁡ (2 π ν t)) dt Формула Эйлера = (∫ - ∞ ∞ f (t) cos ⁡ (2 π ν t) dt) - я (∫ - ∞ ∞ е (t) грех ⁡ (2 π ν t) dt) = f ^ c (ν) - если ^ s (ν) {\ displaystyle {\ begin {выровнено} {\ hat {f}} (\ nu) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- 2 \ pi i \ nu t} \, dt \\ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) (\ cos (2 \ pi \ nu t) -i \, \ sin (2 \ pi \ nu t)) \, dt {\ text {Формула Эйлера}} \\ = \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) \ cos (2 \ pi \ nu t) \, dt \ right) -i \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) \ sin (2 \ pi \ nu t) \, dt \ right) \\ = {\ hat {f}} ^ {c} ( \ nu) -i {\ hat {f}} ^ {s} (\ nu) \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\hat {f}}(\nu)=\int _{{-\infty }}^{\infty }f(t)e^{{-2\pi i\nu t}}\,dt\\=\int _{{-\infty }}^{\infty }f(t)(\cos(2\pi \nu t)-i\,\sin(2\pi \nu t))\,dt{\text{Euler's Formula}}\\=\left(\int _{{-\infty }}^{\infty }f(t)\cos(2\pi \nu t)\,dt\right)-i\left(\int _{{-\infty }}^{\infty }f(t)\sin(2\pi \nu t)\,dt\right)\\={{\hat f}}^{c}(\nu)-i{{\hat f}}^{s}(\nu)\end{aligned}}

Числовое вычисление

Использование стандартных методов численного вычисления интегралов Фурье, таких как Гауссова или квадратурная квадратура, вероятно, приведет к совершенно неверным результатам, так как квадратурная сумма (для большинства в склонны к интересу) в очень плохом состоянии. Требуются специальные численные методы, использующие структуру колебаний, примером которых является метод Оуры для интегралов Фурье. Этот метод пытается вычислить подынтегральное выражение в местах, которые асимптотически приближаются к нулям колебаний (синусу или косинусу), быстро уменьшая величина суммируемых положительных и отрицательных членов.

См. Также

Ссылки

Уиттакер, Эдмунд и Джеймс Уотсон, Курс современного анализа, четвертое издание, Кембриджский университет. Press, 1927, стр. 189, 211

^«Основные моменты в истории преобразования Фурье». pulse.embs.org. Проверено 8 октября 2018 г.
^Мэри Л. Боас, Математические методы в физических науках, 2-е изд., John Wiley Sons Inc, 1983. ISBN 0-471-04409-1
^«Преобразование Фурье, косинусное и синусоидальное преобразование». cnyack.homestead.com. Проверено 8 октября 2018 г.
^Пуанкаре, Анри (1895). Аналитическая теория распространения шалеров. Париж: Ж. Карре. С. 108 и далее
^Такуя Оура, Масатаке Мори, Надежная формула двойной экспоненты для интегралов типа Фурье, Журнал вычислительной и прикладной математики 112.1-2 (1999): 229-241.