Ограниченные частичные частные

В математике и, в частности, в аналитической теории регулярных цепных дробей, бесконечная правильная цепная дробь x называется ограниченной или составленной из ограниченных частных частных, если последовательность знаменателей ее частных частных ограничена; то есть

${\ displaystyle x = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, \ dots] = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac {1} {a_ {3} + {\ cfrac {1} {a_ {4} + \ ddots}}}}}}}} = a_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {K}}} {\ frac {1} {a_ {i}}}, \,}$

и есть некоторое целое положительное число М такое, что все (интегральные) частичные знаменателей я меньше или равно M.

• 1 Периодические непрерывные дроби
• 2 Ограниченные CF и множество Кантора
• 3 Гипотеза Зарембы
• 4 Смотрите также
• 5 Рекомендации

Регулярная периодическая цепная дробь состоит из конечного начального блока частичных знаменателей, за которым следует повторяющийся блок; если

${\ displaystyle \ zeta = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {k}, {\ overline {a_ {k + 1}, a_ {k + 2}, \ dots, a_ {k + m}}}], \,}$

тогда ζ - квадратичное иррациональное число, и его представление в виде правильной цепной дроби является периодическим. Ясно, что любое регулярное периодическое продолжение фракция состоит из ограниченных неполных частных, так как ни одна из частичных знаменателей не может быть больше, чем самый большой из в 0 через в K + м. Исторически сложилось так, что математики изучали периодические непрерывные дроби, прежде чем рассматривать более общую концепцию ограниченных частных частных.

Множество Кантора представляет собой набор С из меры нуль, из которого полный интервал действительных чисел может быть построена путем простого добавления - то есть, любое действительное число из интервала может быть выражено в виде суммы ровно два элементов множества C. Обычное доказательство существования множества Кантора основано на идее пробить «дыру» в середине интервала, затем пробить дыры в оставшихся подинтервале и повторять этот процесс до бесконечности.

Процесс добавления еще одного частичного частного к конечной непрерывной дроби во многом аналогичен процессу «пробивания дыры» в интервале действительных чисел. Размер «дыры» обратно пропорционален следующему выбранному частичному знаменателю - если следующий частичный знаменатель равен 1, разрыв между последовательными сходящимися дробями увеличивается. Чтобы сделать следующие теоремы точными, мы будем рассматривать CF ( M ), множество ограниченных цепных дробей, значения которых лежат в открытом интервале (0, 1) и частные знаменатели которых ограничены положительным целым числом M, т. Е.

${\ displaystyle \ mathrm {CF} (M) = \ {[0; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ dots]: 1 \ leq a_ {i} \ leq M \}. \,}$

Проведя рассуждение, аналогичное тому, которое использовалось для построения множества Кантора, можно получить два интересных результата.

• Если M ≥ 4, то любое действительное число в интервале может быть построено как сумма двух элементов из CF ( M ), где интервал задается как

${\ displaystyle (2 \ times [0; {\ overline {M, 1}}], 2 \ times [0; {\ overline {1, M}}]) = \ left ({\ frac {1} {M }} \ left [{\ sqrt {M ^ {2} + 4M}} - M \ right], {\ sqrt {M ^ {2} + 4M}} - M \ right).}$

• Простой аргумент показывает, что это верно при M  ≥ 4, а это, в свою очередь, означает, что если M  ≥ 4, каждое действительное число может быть представлено в виде n  + CF 1  + CF 2, где n - целое число, а CF 1 и CF 2 - элементы CF ( M). ${\ displaystyle {\ scriptstyle [0; {\ overline {1, M}}] - [0; {\ overline {M, 1}}] \ geq {\ frac {1} {2}}}}$

Заремба предположил существование абсолютной константы A, такой что рациональные числа с частными частными, ограниченными A, содержат по крайней мере один для каждого (положительного целого) знаменателя. Выбор A = 5 совместим с численным свидетельством. Дальнейшие предположения уменьшают это значение в случае всех достаточно больших знаменателей. Жан Бургейн и Алекс Конторович показали, что A можно выбрать так, чтобы заключение было справедливым для набора знаменателей с плотностью 1.

• Марковский спектр