Эквивалент для публичного рынка

Эквивалент для публичного рынка (PME ) представляет собой набор разработанных показателей эффективности для оценки фондов прямых инвестиций и преодоления ограничений внутренней нормы прибыли и мультипликаторов на измерения инвестированного капитала. Хотя расчеты различаются, все они пытаются измерить прибыль от размещения денежных потоков фонда прямых инвестиций в индекс фондового рынка.

• 1 PME для длинных никелей
  • 1.1 Методология
  • 1.2 Формула
  • 1.3 Ограничение
• 2 PME +
  • 2.1 Методология PME +
  • 2.2 PME + Формула
• 3 Модифицированная PME
  • 3.1 Формула
• 4 Kaplan Schoar PME
  • 4.1 Формула
  • 4.2 Упрощение формулы
  • 4.3 Использование
  • 4.4 Связь между LN-PME и KS-PME
• 5 Direct Alpha
  • 5.1 Выведение
• 6 Избыточный IRR
  • 6.1 Формула
  • 6.2 Методология
  • 6.3 Выведение
  • 6.4 Сравнение с Direct Alpha
• 7 Другой анализ PME
• 8 Ссылки

Первый показатель PME был предложен Остином М. Лонгом и Крейгом Дж. Никелсом в 1996 году.

Этот анализ упоминается в отрасли как Long Nickels PME, LN-PME, PME или ICM. Лонг и Никелс заявили, что они предпочитают аббревиатуру ICM (метод сравнения индексов):

ICM также известен как эквивалент публичного рынка (PME). Мы предпочитаем термин ICM, потому что он лучше описывает методологию, которая не ограничивается использованием индекса публичного рынка для расчета его результатов

Анализ PME защищен патентом США 7058583

Методология

Лонг и Никелс сравнили эффективность фонда прямых инвестиций с индексом S P500, создав теоретические инвестиции в SP с использованием денежных потоков фонда прямых инвестиций:

• При оплате требования к капиталу мы предполагаем, что такая же сумма используется для «покупки индекса»
• При получении распределения мы предполагаем, что продано такое же количество индекса.

По мере изменения цены индекса значение теоретической суммы, инвестированной в индекс меняется. После получения оценки фонда мы можем сравнить стоимость инвестиций фонда с теоретической стоимостью индексных инвестиций.

Период	Денежные потоки	Индекс	Показатели индекса	Теоретические инвестиции
p1	-100	100	0,00%	100
p2	-50	105	5,00%	155
p3	60	115	9,52%	109,76
p4	10	117	1,74%	101,67
Оценка (p5)	110	120	2,56%	104,28
IRR	6,43%		PME	5,30%

Отрицательные денежные потоки рассматриваются как взносы. В первом периоде колл на 100 долларов в фонд сопровождается вложением 100 долларов в индекс. Во втором периоде инвестиции в индекс в размере 100 долларов теперь стоят 105 долларов, к которым добавляются 50 долларов новых инвестиций. Положительный денежный поток обрабатывается путем уменьшения инвестиций в индекс на то же значение. В период оценки мы сравниваем оценку, полученную от фонда, со стоимостью теоретической инвестиции. PME IRR получается путем вычисления IRR с оценкой индекса в качестве окончательного денежного потока.

PME Long Nickels показывает, как были бы выполнены эквивалентные инвестиции на публичном рынке. Затем это нужно сравнить с фактической IRR фонда. В приведенном выше примере IRR на 1,13 процентных пункта выше PME, что означает, что частный фонд превзошел публичный индекс. Разница между IRR и PME называется спредом IRR.

Формула

PME - это IRR денежных потоков от инвестиций, использующая в качестве окончательного денежного потока скорректированную PME NAV.

$NAVPME\; =\; \sum \; s\; TC\; s\; \times \; ITI\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; NAV\_\; \{PME\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{s\}\; ^\; \{T\}\; C\_\; \{s\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; cfrac\; \{I\_\; \{T\}\}\; \{I\_\; \{s\}\; \}\}\}$

Где:

$C\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{s\}\}$- денежный поток от инвестиции на дату s, положительный для вклада, отрицательный для распределения

$I\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{s\}\}$- значение индекса на дату s

, тогда:

$PME\; =\; IRR\; (C\; s,\; NAVPME)\; \{\backslash \; displaystyle\; PME\; =\; IRR\; (C\_\; \{s\},\; NAV\_\; \{PME\})\}$

Ограничение

Как указано в статье Лонга и Никелса:

Если частные инвестиции значительно превосходят индекс, потому что они часто делают большие распределений, окончательное значение, определенное сравнением индексов, может быть отрицательным. Фактически, частые крупные изъятия из индекса приводят к чистой короткой позиции при сравнении индексов

Это можно смоделировать в предыдущем примере, имея период, когда фонд распределяет большую сумму, а индекс падает:

Период	Денежные потоки	Индекс	Показатели индекса	Теоретические инвестиции
p1	-100	100	0,00%	100
p2	-50	105	5,00%	155
p3	60	115	9,52%	109,76
p4	100	100	-13,04%	-4,55
Оценка (p5)	20	120	20%	-5,47
IRR	7,77 %		PME	1,34%

Когда окончательная оценка теоретических инвестиций отрицательная, формула IRR для PME может не дать никаких результатов. Даже если PME можно рассчитать, в то время как инвестиции остаются отрицательными, каждое увеличение индекса будет интерпретироваться как снижение эффективности теоретических инвестиций: в приведенном выше примере значение индекса вернулось к 120, что отрицательно сказалось на стоимости теоретических вложений. Даже если инвестиции в конечном итоге вернутся к положительным значениям и можно будет вычислить PME, время, потраченное ниже нуля, будет неправильно учтено.

Следующие методы Rouvinez, Kaplan и Schoar частично предназначены для решения Эта проблема.

PME + был первоначально описан в 2003 году Кристофом Рувинесом в статье «Сравнительный анализ частных инвестиций с PME +». Он написан для решения общей проблемы PME Long Nickels: инвестиция, превосходящая индекс, приведет к отрицательному значению теоретических инвестиций в индекс.

Методология PME +

Вместо изменения NAV инвестиции PME + дисконтирует каждое распределение с помощью коэффициента, рассчитанного таким образом, чтобы NAV индексных инвестиций соответствовала NAV фонда.

Период	Денежные потоки	Индекс	Теоретические поступления	Дисконтированные распределения	Дисконтированные денежные потоки
p1	-100	100	100	0	-100
p2	-50	105	50	0	-50
p3	60	115		51,63	51,63
p4	100	100		86,05	86,05
Оценка (p5)	20	120			20
				Лямбда	0,86
IRR	7,77%			PME +	2,05%

Как PME для длинных никелей, PME + необходимо сравнить с IRR. Превышение IRR над PME означает, что фонд превзошел публичный индекс.

Формула PME +

Использование нотации Хенли в методе тестирования PME:

$N\; A\; V\; P\; M\; E\; +,\; T\; =\; \sum \; s\; =\; 0\; t\; (c\; o\; n\; t\; r\; i\; b\; u\; t\; i\; o\; n\; s\; -\; \lambda \; T.\; D\; i\; s\; t\; r\; i\; b\; u\; t\; i\; o\; n\; s).\; Я\; t\; я\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; NAV\_\; \{PME\; +,\; T\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{s\; =\; 0\}\; ^\; \{t\}\; (вклад\_\; \{s\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{T\}.distribution\_\; \{s\}).\; \{\backslash \; Cfrac\; \{I\_\; \{t\}\}\; \{I\_\; \{s\}\}\}\}$

где

$\lambda \; T\; =\; (S\; c\; -\; NAVPE,\; T)\; S\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{T\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{(S\_\; \{c\; \}\; -NAV\_\; \{PE,\; T\})\}\; \{S\_\; \{d\}\}\}\}$

и

$S\; c\; =\; \sum \; s\; =\; 0\; T\; (вклады.\; ITI\; s)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{c\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{s\; =\; 0\}\; ^\; \{T\}\; (вклад\_\; \{s\}.\; \{\backslash \; cfrac\; \{I\_\; \{T\}\}\; \{I\_\; \{s\}\}\})\}$

$S\; d\; =\; \sum \; s\; =\; 0\; T\; (распределения.\; ITI\; s)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{d\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{s\; =\; 0\}\; ^\; \{T\}\; (distribution\_\; \{s\}.\; \{\backslash \; cfrac\; \{I\_\; \{T\}\}\; \{I\_\; \{s\}\}\})\}$

Другими словами, лямбда выбрана так, чтобы:

$NAVPME\; +,\; T\; =\; NAVPE,\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; NAV\_\; \{PME\; +,\; T\}\; =\; NAV\_\; \{PE,\; T\}\}$

Затем рассчитывается IRR с использованием денежных потоков:

$PME\; +\; T\; =\; IRR\; (C\; ontributions,\; \lambda \; T.\; D\; istributions,\; NAVPE,\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; PME\; +\; \_\; \{T\}\; =\; IRR\; (Contributions,\; \backslash \; lambda\; \_\; \{T\}.Distributions,\; NAV\_\; \{PE,\; T\})\}$

Модифицированный метод PME (или mPME) был выпущен Cambridge Associates в октябре 2013 года. Он предоставляет альтернативный способ решения проблемы отрицательного ограничения NAV LN-PME.

Подобно LN-PME и PME +, mPME рассматривает гипотетические государственные инвестиции, эффективность которых соответствует общественным эталонам. Каждому вкладу в частные инвестиции соответствует равный вклад в государственные инвестиции. Однако вместо того, чтобы вычитать распределенные суммы из государственных инвестиций, мы вычисляем вес распределения в частных инвестициях и удаляем тот же вес из государственных инвестиций.

Период	Вызов	Распределение	NAV	Индекс	Теоретические вклады	Вес распределения	Теоретическая NAV	Взвешенные распределения	Чистый CF
p1	100	0	100	100	100	0	100	0	-100
p2	50		165	105	50	0	155	0	-50
p3	0	60	125	115	0	0,32	114,70	55	55,06
p4	0	100	15	100	0	0,87	13,01	87	86,73
Оценка (p5)			20	120			15,61		15,61
IRR	7,77%							mPME	2,02%

Формула

Для каждого распределения рассчитывается вес распределения

$D\; weight,\; t\; =\; D\; t\; D\; t\; +\; NAV\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{weight,\; t\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{D\_\; \{t\}\}\; \{D\_\; \{t\}\; +\; NAV\_\; \{t\}\}\}\}$

СЧА теоретических инвестиций затем рассчитывается как:

$NAV\; m\; PME,\; t\; =\; (1\; -\; D\; вес,\; t)\; \times \; (NAV\; m\; PME,\; t\; -\; 1\; \ast \; I\; t\; I\; t\; -\; 1\; +\; C\; allt)\; \{\backslash \; displaystyle\; NAV\_\; \{mPME,\; t\}\; =\; (1-D\_\; \{weight,\; t\})\; \backslash \; times\; (NAV\_\; \{mPME,\; т\; -1\}\; *\; \{\backslash \; cfrac\; \{I\_\; \{t\}\}\; \{I\_\; \{t-1\}\}\}\; +\; Call\_\; \{t\})\}$

Взвешенное распределение определяется по формуле:

$D\; istm\; PME,\; t\; =\; (D\; вес,\; t)\; \times \; (NAV\; m\; PME,\; t\; -\; 1\; \ast \; I\; t\; I\; t\; -\; 1\; +\; C\; allt)\; \{\backslash \; displaystyle\; Dist\_\; \{mPME,\; t\}\; =\; (D\_\; \{weight,\; t\})\; \backslash \; times\; (NAV\_\; \{mPME,\; t\; -1\}\; *\; \{\backslash \; cfrac\; \{I\_\; \{t\}\}\; \{I\_\; \{t-1\}\}\}\; +\; Call\_\; \{t\})\}$

$IRR\; m\; PME\; =\; IRR\; (C\; all,\; D\; istm\; PME,\; NAV\; m\; PME,\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; IRR\_\; \{mPME\}\; =\; IRR\; (Call,\; Dist\_\; \{mPME\},\; NAV\_\; \{mPME,\; T\})\}$

Kaplan Schoar PME впервые был описан в 2005 году Стив Каплан и Антуанетта Шоар. В то время как PME Long Nickels возвращает IRR, PME Kaplan Schoar (или KS-PME) возвращает рыночный мультипликатор. Простое объяснение этого вычисления описано в статье Соренсена и Джаганнатана:

Пусть X (t) обозначает денежный поток от фонда к LP в момент времени t. Этот общий поток денежных средств делится на положительную и отрицательную части, называемые распределениями (dist (t)) и вызовами капитала (call (t)). Распределения - это денежные потоки, возвращаемые LP из фонда PE (за вычетом комиссионных), когда фонд успешно продает компанию. Требования к капиталу - это инвестиции LP в фонд, включая оплату текущих управленческих сборов. Распределения и требования к капиталу затем оцениваются путем их дисконтирования с использованием реализованной рыночной доходности за тот же период времени, а [KS-] PME представляет собой отношение двух результирующих значений:

Формула

При рассмотрении инвестиций в момент T. KS-PME сначала рассматривает текущую оценку инвестиций как распределение на дату T. KS-PME затем определяется как

$KS\; -\; PME\; =\; FV\; (D\; ist)\; FV\; (C\; all)\; \{\backslash \; displaystyle\; KS-PME\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{FV\; (Dist)\}\; \{FV\; (Call)\}\}\}$

с

$FV\; (D\; ist)\; =\; \sum \; t\; (dist\; (t)\; \times \; ITI\; t)\; \{\backslash \; Displaystyle\; FV\; (Dist)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{t\}\; (dist\; (t)\; \backslash \; times\; \{\backslash \; cfrac\; \{I\_\; \{T\}\}\; \{I\_\; \{t\}\}\})\}$

$FV\; (C\; all)\; =\; \sum \; t\; (вызов\; (t)\; \times \; ITI\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; FV\; (Call)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{t\}\; (call\; (t)\; \backslash \; times\; \{\backslash \; cfrac\; \{I\_\; \{T\}\}\; \{I\_\; \{t\}\}\})\}$

Используя предыдущий пример:

Период	Вклад	Распределение	Индекс	DPI		Дисконтированный вклад	Дисконтированное распределение	KS PME
p1	100	0	100	0		120	0	0
p2	50	0	105	0		57,14	0	0
p3	0	60	115	0,40		0	62,60	0,35
p4	0	10	117	0,47		0	10,26	0,41
Оценка (p5)	0	110	120	1,20		0	110	1.03

В то время как PME по длинным никелям необходимо сравнивать с фактической IRR, PME KS дает прямое представление о доходности фонда по сравнению с доходностью индекса. KS PME выше 1 указывает на то, что фонд превысил индекс. Значение KS PME ниже 1 указывает на то, что публичный индекс был лучшим вложением, чем фонд.

Упрощение формулы

Формулу KS-PME можно упростить, удалив из сумм $IT\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{T\}\}$:

$KS\; -\; PME\; =\; \sum \; tdist\; (t)\; I\; t\; \sum \; tcall\; (t)\; I\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; KS-PME\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{t\}\; \{\backslash \; frac\; \{dist\; (t)\}\; \{I\_\; \{t\}\}\}\; \}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{t\}\; \{\backslash \; frac\; \{call\; (t)\}\; \{I\_\; \{t\}\}\}\}\}\}$

Формула Каплана-Шора не зависит от периода времени, используемого для прогнозирования или дисконтирования денежных потоков. Это преимущество перед формулами PME, в которых используются вычисления IRR, окончательное значение которых со временем будет уменьшаться.

Использование

KS PME является предметом доклада Columbia Business School, в котором оценивается, что PME [Kaplan Schoar] обеспечивает действительный показатель экономической эффективности, когда инвестор («LP») имеет предпочтения логарифмической полезности, и доходность от общего богатства LP равна рыночной доходности.

Связь между LN-PME и KS-PME

В статье 2008 года «Общая математическая основа ICM ACG, AICM и KS PME» Остин Лонг изучает математическую связь между LN PME и KS. PME.

Начиная с формулы KS PME:

$KS\; -\; PME\; =\; FV\; (D\; ist)\; FV\; (C\; all)\; \{\backslash \; displaystyle\; KS-PME\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{FV\; (Dist)\}\; \{FV\; (Call)\; \}\}\}$

Из формулы LN-PME:

$NAVPME\; =\; \sum \; t\; TC\; t\; ITI\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; NAV\_\; \{PME\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{t\}\; ^\; \{T\}\; C\_\; \{t\}\; \{\backslash \; cfrac\; \{\; I\_\; \{T\}\}\; \{I\_\; \{t\}\}\}\}$

$NAVPME\; =\; \sum \; t\; T\; вызов\; (t)\; ITI\; t\; -\; \sum \; t\; T\; dist\; (t)\; ITI\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; NAV\_\; \{PME\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{t\; \}\; ^\; \{T\}\; call\; (t)\; \{\backslash \; cfrac\; \{I\_\; \{T\}\}\; \{I\_\; \{t\}\}\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{t\}\; ^\; \{T\}\; dist\; (t)\; \{\backslash \; cfrac\; \{I\_\; \{T\}\}\; \{\; I\_\; \{t\}\}\}\}$

$NAVPME\; =\; FV\; (C\; all)\; -\; FV\; (D\; ist)\; \{\backslash \; displaystyle\; NAV\_\; \{PME\}\; =\; FV\; (Call)\; -FV\; (Dist)\}$

Путем объединения двух формул:

$KS\; -\; PME\; =\; 1\; -\; NAVPMEFV\; (C\; all)\; \{\backslash \; displaystyle\; KS-PME\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{NAV\_\; \{PME\}\}\; \{FV\; (Call)\}\}\}$

Прямая альфа-версия была представлена ​​6 марта 2014 года в статье Гредила, Олега и Гриффитса.

Она выводится из расчета KS-PME путем вычисления IRR с использованием дисконтированных взносов и распределений, а также натуральный логарифм.

$a\; =\; IRR\; (FV\; (C),\; FV\; (D),\; NAVPE)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; IRR\; (FV\; (C),\; FV\; (D),\; NAV\_\; \{PE\})\}$

$\alpha \; =\; ln\; (1\; +\; a)\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{ln\; (1\; +\; a)\}\; \{\backslash \; Delta\}\}\}$

, где $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$- время интервал, для которого вычисляется альфа (обычно в годах)

Период	Денежные потоки	Индекс	Показатели индекса		Дисконтированные денежные потоки
p1	-100	100	1,20		-120
p2	-50	105	1,14		-57,14
p3	60	115	1,04		62,60
p4	10	117	1,03		10,26
Оценка (p5)	110	120	1		110
				a (IRR):	1,09%
				Direct Alpha	1.08%

Вывод

В качестве введения напоминаем, что вычисление IRR для набора денежных потоков $C\; 0\dots \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{0\; \backslash \; ldots\; n\}\}$и окончательное значение $NAV\; \{\backslash \; displaystyle\; NAV\}$получается путем решения $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$для:

$NAVPE\; =\; \sum \; я\; знак\; равно\; 0\; nci\; \cdot \; (1\; +\; r)\; n\; -\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; NAV\_\; \{PE\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{c\_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; (1\; +\; r)\; ^\; \{\; ni\}\}\}$

Прямая альфа-формула получена из определения $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$в Современная теория портфеля. Мы определяем $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, норму доходности, как сумму рыночной доходности плюс альфа:

$r\; (t)\; =\; b\; (t)\; +\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; (t)\; =\; b\; (t)\; +\; \backslash \; alpha\}$

в рамках прямого альфа, мы считаем, что r (t) и b (t) являются непрерывной скоростью. Следовательно, значение денежного потока $ci\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{i\}\}$в момент $tn\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{n\}\}$составляет:

$vi\; (tn)\; =\; ci\; \cdot \; e\; \int \; titn\; (b\; (t)\; +\; \alpha )\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{i\}\; (t\_\; \{n\})\; =\; c\_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{\backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{i\}\; \}\; ^\; \{t\_\; \{n\}\}\; \{(b\; (t)\; +\; \backslash \; alpha)\; dt\}\}\}$

используя контрольные значения, мы знаем, что:

$I\; n\; I\; i\; =\; e\; \int \; titnb\; (t)\; dt\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{n\}\}\; \{I\_\; \{i\}\}\}\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{i\}\}\; ^\; \{t\_\; \{n\}\}\; \{b\; (t)\; dt\}\}\}$

Следовательно:

$vi\; (tn)\; =\; ci\; \cdot \; I\; n\; I\; i\; \cdot \; e\; \int \; titn\; \alpha \; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{i\}\; (t\_\; \{n\})\; =\; c\_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{n\}\; \}\; \{I\_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{\backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{i\}\}\; ^\; \{t\_\; \{n\}\}\; \{\backslash \; alpha\; dt\}\}\}$

путем разрешения интеграла и дискретизации временной переменной, например как $ti\; =\; я\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\}\; =\; i\; \backslash \; Delta\}$:

$vi\; (tn)\; =\; ci\; \cdot \; I\; n\; I\; i\; \cdot \; e\; \alpha \; \cdot \; (n\; -\; i)\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{i\; \}\; (t\_\; \{n\})\; =\; c\_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{n\}\}\; \{I\_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; cdot\; (ni)\; \backslash \; Delta\}\}$

Мы используйте эту формулу для каждого вклада в частные инвестиции:

$NAVPE\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; nci\; \cdot \; I\; n\; I\; i\; \cdot \; e\; \alpha \; \cdot \; (n\; -\; i)\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; NAV\_\; \{PE\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{c\_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{n\}\}\; \{I\_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{\; \backslash \; alpha\; \backslash \; cdot\; (ni)\; \backslash \; Delta\}\}\}$

Наконец, мы определяем a как $1\; +\; a\; =\; e\; \alpha \; \cdot \; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +\; a\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; cdot\; \backslash \; Delta\}\}$

$NAVPE\; =\; \sum \; я\; =\; 0\; nci\; \cdot \; I\; N\; I\; i\; \cdot \; (1\; +\; a)\; n\; -\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; NAV\_\; \{PE\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{c\_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{n\}\}\; \{I\_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; cdot\; (1\; +\; a)\; ^\; \{ni\}\}\}$

Это возвращает нас к типичной формуле IRR. Другими словами, прямая альфа рассчитывается путем вычисления IRR с эталонными дисконтированными денежными потоками, а затем вычисления $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$с $\alpha \; =\; ln\; (1\; +\; a)\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{ln\; (1\; +\; a)\}\; \{\backslash \; Delta\}\}\}$

Различные названия этой методологии включают альфа, избыточную внутреннюю норму дохода, предполагаемую частную премию ( «IPP») и PME Alpha.

Первое упоминание об альфе было в статье 2005 года от Phalippou and Gottschalg и называется просто альфа, или избыточная IRR. Анализ также подробно объясняется и называется GEM Implied Private Premium (или «IPP») в Global Endowment Management

Формула

Избыточная IRR рассчитывается путем разрешения $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$в следующем уравнении:

$NAVPE\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; nci.\; ((1\; +\; bi)\; 1\; tn\; -\; ti\; +\; \alpha )\; tn\; -\; ti\; \{\backslash \; displaystyle\; NAV\_\; \{PE\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{c\_\; \{i\}.\; ((1\; +\; b\_\; \{i\})\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{t\_\; \{n\}\; -t\_\; \{i\}\}\}\; +\; \backslash \; alpha)\; ^\; \{t\_\; \{n\}\; -t\_\; \{i\}\}\}\}$

с $bi\; =\; I\; n\; I\; i\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{n\}\}\; \{I\_\; \{i\}\}\}\; -\; 1\}$

Методология

Чтобы рассчитать предполагаемую частную премию, мы вычисляем будущая стоимость исторических распределений и вкладов частных инвестиций. Каждый денежный поток складывается по норме доходности, равной годовой доходности эталонного показателя плюс IPP. Затем мы решаем требуемый IPP так, чтобы коэффициент PME был равен единице. IPP использует годовое начисление сложных процентов, чтобы соответствовать другим методологиям отчетности и сопоставить с IRR.

Более конкретно, Подразумеваемая частная премия вычисляется численно из

$1\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; ndi\; (1\; +\; b\; T\; i,\; TN\; +\; rpp)\; TN\; -\; T\; i\; \sum \; i\; =\; 1\; ncj\; (1\; +\; б\; T\; j,\; TN\; +\; rpp)\; TN\; -\; T\; j,\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; d\_\; \{i\}\; (1\; +\; b\_\; \{T\_\; \{i\},\; T\_\; \{\; N\}\}\; +\; r\_\; \{pp\})\; ^\; \{T\_\; \{N\}\; -T\_\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; c\_\; \{j\}\; (1\; +\; b\_\; \{T\_\; \{j\},\; T\_\; \{N\}\}\; +\; r\_\; \{pp\})\; ^\; \{T\_\; \{N\}\; -T\_\; \{j\}\}\}\},\}$

где $ci\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{i\}\}$и $dj\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{j\}\}$- вклады и распределения во время $T\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{i\}\}$и $T\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{j\}\}$соответственно; $b\; T\; i,\; TN\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{T\_\; \{i\},\; T\_\; \{N\}\}\}$- это годовая эталонная доходность с момента $T\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{i\}\}\; От$до $TN\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{N\}\}$и $rpp\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{pp\}\}$- это IPP, которым мы являемся решение для.

Деривация

Начиная с определения IRR, которая вычисляется путем разрешения $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$в

$NAVPE\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; нси.\; (1\; +\; r)\; tn\; -\; ti\; \{\backslash \; displaystyle\; NAV\_\; \{PE\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{c\_\; \{i\}.\; (1\; +\; r)\; ^\; \{t\_\; \{n\}\; -t\_\; \{i\}\; \}\}\}$

мы рассматриваем r как сумму двух компонентов: $r\; (ti)\; =\; \beta \; i,\; n\; +\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; (t\_\; \{i\})\; =\; \backslash \; beta\; \_\; \{i,\; n\}\; +\; \backslash \; alpha\}$, где $\beta \; i,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \_\; \{i,\; n\}\}$- ежегодно составляемая контрольная производительность между $ti\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\}\}$и $tn\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{n\}\}$.

$\beta \; i,\; n\; =\; (I\; n\; I\; i)\; 1\; tn\; -\; ti\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \_\; \{i,\; n\}\; =\; (\{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{n\}\}\; \{I\_\; \{i\}\}\})\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{t\_\; \{n\}\; -t\_\; \{i\}\}\}\; -\; 1\}$

$\beta \; я,\; N\; =\; (1\; +\; bi)\; 1\; tn\; -\; ti\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \_\; \{i,\; n\}\; =\; (1\; +\; b\_\; \{i\})\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{t\_\; \{n\}\; -t\_\; \{\; i\}\}\}\; -\; 1\}$

путем замены в исходном уравнении:

$NAVPE\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; nci.\; ((1\; +\; bi)\; 1\; tn\; -\; ti\; +\; \alpha )\; tn\; -\; ti\; \{\backslash \; displaystyle\; NAV\_\; \{PE\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{c\_\; \{i\}.\; ((1\; +\; b\_\; \{i\})\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{t\_\; \{n\}\; -t\_\; \{i\}\}\}\; +\; \backslash \; alpha)\; ^\; \{t\_\; \{n\}\; -t\_\; \{i\}\}\}\}$

Сравнение с Direct Alpha

Теоретическая основа IPP аналогична основам Direct Alpha; однако детали реализации различаются. Преимущество IPP в том, что это ежегодно начисляемая арифметическая избыточная доходность. Это позволяет напрямую сравнивать IPP с общепринятыми показателями производительности, такими как IRR (также ежегодно составляемая величина). Напротив, непрерывная прямая альфа не измеряется в той же единице, что и IRR, а дискретная прямая альфа - это геометрическая избыточная доходность.

Существуют и другие, менее распространенные анализы PME, обычно как вариации от PME Long Nickels или PME Kaplan Schoar.

Alignment Capital определяет альтернативный ICM, или AICM, как вариант PME с длинными никелями:

Хотя расчет ICM ACG предполагает, что капитал, инвестированный в индекс, является длинной позицией, альтернативный индекс Метод сравнения (AICM) предполагает обратное, то есть денежные средства, используемые для инвестирования в инвестиции на частном рынке, получаются не из источника, внешнего по отношению как к инвестициям частного рынка, так и к индексу, а из короткой позиции (т. е. продажи из) индекс. Выражаясь в тех же терминах, расчет конечного значения индекса с помощью AICM (конечное значение, используемое для расчета AICM) выглядит следующим образом:

$V\; alue\; I\; ndex\; E\; nding\; =\; FVR\; eturned\; -\; FVI\; nvested\; \{\backslash \; displaystyle\; Value\_\; \{\; Index\_\; \{Ending\}\}\; =\; FV\_\; \{Returned\}\; -FV\_\; \{Invested\}\}$

В оценке частного капитала, 13 декабря 2011 г. Соренсен, Ван и Янг определяют альтернативный PME на основе KS PME:

Стандартные меры PME вызывают три проблемы. Во-первых, знаменатель объединяет два типа денежных потоков: инвестиции $I\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{0\}\}$и комиссионные за управление. Комиссионные за управление фактически являются безрисковым требованием, и его следует дисконтировать по ставке, близкой к безрисковой ставке. Во-вторых, числитель содержит общую выручку за вычетом перенесенных процентов. Перенесенная процентная ставка фактически является опционом колл, что делает общую выплату LP при наступлении срока погашения менее рискованной, чем базовый актив. Следовательно, ее следует дисконтировать по более низкой ставке, чем базовая инвестиция в PE. Наконец, бета инвестиций в PE может не равняться единице. Чтобы решить эти проблемы, мы определяем скорректированный PME следующим образом:

$A\; d\; j.\; PME\; =\; E\; [e\; -\; r\; T\; (LP\; 1\; (A\; t,\; T)\; +\; LP\; 2\; (AT,\; T)\; +\; LP\; 3\; (AT,\; T))]\; I\; 0\; +\; E\; [\int \; 0\; T\; e\; -\; rsm\; X\; 0\; ds]\; \{\backslash \; displaystyle\; Adj.PME\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{E\; [e\; ^\; \{-\; rT\}\; (LP\_\; \{1\}\; (A\_\; \{t\},\; T)\; +\; LP\_\; \{2\}\; (A\_\; \{T\},\; T)\; +\; LP\_\; \{3\})\; (A\_\; \{T\},\; T))]\}\; \{I\_\; \{0\}\; +\; E\; [\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; e\; ^\; \{-\; rs\}\; mX\_\; \{0\}\; ds]\}\}\}$

• Exposed to the J-Curve: Understanding and Managing Private Equity Fund Investments, Ulrich Grabenwarter Tom Weidig, Chapter 5