Первичное псевдосовершенное число

редактировать

Графическая демонстрация того, что 1 = 1/2 + 1/3 + 1/11 + 1 / 23 + 1/31 + 1 / (2 × 3 × 11 × 23 × 31). Следовательно, произведение 47058 является первичным псевдосовершенством.

В математике, и особенно в теории чисел, N является первичным псевдосовершенством, если оно удовлетворяет условию Египетская дробь уравнение

1 N + ∑ p | N 1 p = 1, {\ displaystyle {\ frac {1} {N}} + \ sum _ {p | N} {\ frac {1} {p}} = 1,}

{\ displaystyle {\ frac {1} {N}} + \ sum _ {p | N} {\ frac {1} {p}} = 1,}

где сумма больше только простые делители числа N.

Содержание

1 Свойства
2 История
3 См. также
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Свойства

Аналогично, N является первичным псевдосовершенством, если оно удовлетворяет

1 + ∑ p | N N p = N. {\ displaystyle 1+ \ sum _ {p | N} {\ frac {N} {p}} = N.}

{\ displaystyle 1+ \ sum _ {p | N} {\ frac {N} { p}} = N.}

За исключением первичного псевдосовершенного числа N = 2, это выражение дает представление N в виде суммы различных делителей N. Следовательно, каждое первичное псевдосовершенное число N (кроме N = 2) также является псевдосерфектным.

Восемь известных первичных псевдосовершенных чисел:

2, 6, 42, 1806, 47058, 2214502422, 52495396602, 8490421583559688410706771261086 (последовательность A054377 в OEIS ).

Первые четыре из этих чисел на единицу меньше соответствующих чисел в последовательности Сильвестра, но затем две последовательности расходятся.

Неизвестно, существует ли бесконечно много первичных псевдосовершенных чисел или существуют ли какие-либо нечетные первичные псевдосовершенные числа.

Простые множители первичных псевдоперфектных чисел иногда могут дать решение проблемы Знама, в котором все элементы множества решений простые.Например, простые множители первичного псевдосовершенного числа 47058 образуют решение набор {2,3,11,23,31} к задаче Знама. Однако меньшие первичные псевдосовершенные числа 2, 6, 42 и 1806 не соответствуют решениям проблемы Знама таким образом, поскольку их наборы простых множителей нарушают требование, согласно которому никакое число в наборе не может равняться единице плюс произведение другие числа. Энн (1998) отмечает, что существует ровно одно множество решений этого типа, в котором есть k простых чисел для каждого k ≤ 8, и предполагает, что то же самое верно и для больших k.

Если первичное псевдосовершенное число N на единицу меньше простого числа, то N × (N + 1) также является первичным псевдосовершенством. Например, 47058 является первичным псевдосовершенным, а 47059 - простым, поэтому 47058 × 47059 = 2214502422 также является первичным псевдосовершенством.

История

Первичные псевдосовершенные числа были впервые исследованы и названы Буцке, Яже и Майерником (2000). Используя методы вычислительного поиска, они доказали замечательный результат, заключающийся в том, что для каждого положительного целого числа r до 8 существует ровно одно первичное псевдосовершенное число с ровно r (различными) простыми множителями, а именно, r-е известное первичное псевдосовершенное число. Те, у которых 2 ≤ r ≤ 8, при уменьшении по модулю 288, образуют арифметическую прогрессию 6, 42, 78, 114, 150, 186, 222, как наблюдали Сондоу и Макмиллан. (2017).

См. Также

Число Джуги

Ссылки

Энн, Премчанд (1998), «Египетские дроби и проблема наследования», The College Mathematics Journal, Математическая ассоциация Америки, 29(4): 296–300, doi : 10.2307 / 2687685, JSTOR 2687685.

Butske, William ; Jaje, Lynda M.; Майерник, Дэниел Р. (2000), «Об уравнении $∑ p | N 1 p + 1 N = 1 {\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {p | N} {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {N}} = 1}$ $\ scriptstyle \ sum _ {{p | N} } {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {N}} = 1$ , псевдосовершенные числа и идеально взвешенные графики ", Mathematics of Computing, 69: 407–420, doi : 10.1090 / S0025-5718-99-01088-1.

Сондоу, Джонатан; Макмиллан, Кирен (2017), «Первичные псевдосовершенные числа, арифметические прогрессии и уравнение Эрдеша-Мозера», The American Mathematical Monthly, 124 (3): 232–240, arXiv : 1812.06566, doi : 10.4169 / amer.math.monthly.124.3.232.

Внешние ссылки