Предварительная геометрия (теория модели)

редактировать

Предварительная геометрия и полностью комбинаторная предварительная геометрия, по сути, являются синонимами "матроида ". Они были введены Джан-Карло Рота с намерением предоставить менее «невыразимо какофонический» альтернативный термин. Кроме того, термин комбинаторная геометрия, иногда сокращенно геометрия, предназначался для замены «простого матроида». Эти термины сейчас нечасто используются при изучении матроидов.

В ветви математической логики, называемой теорией моделей, бесконечные финитарные матроиды, называемые там «предгеометриями» (и «геометриями», если они являются простыми матроидами), являются используется при обсуждении феномена независимости.

Оказывается, многие фундаментальные понятия линейной алгебры - замкнутость, независимость, подпространство, базис, размерность - сохраняются в рамках абстрактных геометрий.

Исследование того, как прегеометрии, геометрии и абстрактные операторы замыкания влияют на структуру моделей первого порядка.

Содержание

1 Определения
- 1.1 Прегеометрии и геометрии
- 1.2 Независимость, основы и размерность
- 1.3 Геометрический автоморфизм
- 1.4 Соответствующая геометрия и локализации
- 1.5 Типы прегеометрий
2 Примеры
- 2.1 Тривиальный пример
- 2.2 Векторные пространства и проективные пространства
- 2.3 Аффинные пространства
- 2.4 Алгебраически замкнутые поля
3 Ссылки

Определения

Прегеометрии и геометрии

A комбинаторная прегеометрия (также известная как финитарный матроид ), представляет собой структуру второго порядка: $(X, cl) {\ displaystyle (X, {\ text {cl}})}$ ${\ displaystyle (X, {\ text {cl}})}$ , где $cl: P (X) → P (X) {\ displaystyle {\ text {cl}}: {\ mathcal {P}} (X) \ to {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle {\ text {cl}}: {\ mathcal {P}} (X) \ to {\ mathcal {P}} (X)}$ (так называемая карта замыкания ) удовлетворяет следующим аксиомам. Для всех $a, b ∈ X {\ displaystyle a, b \ in X}$ ${\ displaystyle a, b \ in X}$ и $A, B, C ⊆ X {\ displaystyle A, B, C \ substeq X}$ ${\ displaystyle A, B, C \ substeq X}$ :

$cl: (P (X), ⊆) → (P (X), ⊆) {\ displaystyle {\ text {cl}}: ({\ mathcal {P}} (X), \ substeq) \ to ( {\ mathcal {P}} (X), \ substeq)}$ ${\ displaystyle {\ text {cl}}: ({\ mathcal {P}} (X), \ substeq) \ to ({\ mathcal {P}} (X), \ substeq)}$ является гомоморфизмом в категории частичных порядков (монотонно возрастающих ) и доминирует $id {\ displaystyle {\ text {id}}}$ ${\ displaystyle {\ text {id}}}$ (т.е. $A ⊆ B {\ displaystyle A \ substeq B}$ $A \ substeq B$ подразумевает $A ⊆ cl (A) ⊆ cl (B) {\ displaystyle A \ substeq {\ text {cl}} (A) \ substeq {\ text {cl}} (B)}$ ${\ displaystyle A \ substeq {\ text {cl}} (A) \ substeq {\ text {cl}} (B)}$ .) И является идемпотентным.
Конечным символом : для каждого $a ∈ cl (A) {\ displaystyle a \ in {\ text {cl}} (A)}$ ${\ displaystyle a \ in {\ text {cl}} (A)}$ существует конечное $F ⊆ A {\ displaystyle F \ substeq A}$ ${\ displaystyle F \ substeq A}$ с $a ∈ cl (F) {\ displaystyle a \ in {\ text {cl}} (F)}$ ${\ displaystyle a \ in {\ text {cl}} (F)}$ .
Принцип обмена : Если $b ∈ cl (C ∪ {a}) ∖ cl (C) {\ displaystyle b \ in {\ text {cl}} (C \ cup \ {a \}) \ smallsetminus {\ text {cl}} (C)}$ ${\ displaystyle b \ in {\ текст {cl}} (C \ cup \ {a \}) \ smallsetminus {\ text {cl}} (C)}$ , тогда $a ∈ cl (C ∪ {b}) {\ displaystyle a \ in {\ text {cl}} (C \ cup \ {b \})}$ $a \ in {\ text {cl}} (C \ cup \ {b \})$ (и, следовательно, монотонность и идемпотентность на самом деле $a ∈ cl (C ∪ {b}) ∖ cl (C) {\ displaystyle a \ in {\ text {cl}} (C \ cup \ {b \}) \ smallsetminus {\ text {cl}} (C)}$ ${\ displaystyle a \ in {\ text {cl}} (C \ cup \ {b \}) \ smallsetminus {\ text {cl}} (C)}$ ).

A geometry - это предварительная геометрия, в которой замыкание синглетонов является синглтонами, а замыкание пустого множества - пустым множеством.

Независимость, основания и размерность

Данные множества $A, B ⊂ S {\ displaystyle A, B \ subset S}$ $A, B \ subset S$ , $A {\ displaystyle A}$ $A$ не зависит от $B {\ displaystyle B}$ $B$ , если $a ∉ cl ((A ∖ {a}) ∪ B) {\ displaystyle a \ notin {\ text {cl}} ((A \ setminus \ {a \}) \ cup B)}$ $a \ notin {\ text {cl}} ((A \ setminus \ {a \}) \ cup B)$ для любого $a ∈ A {\ displaystyle a \ in A}$ $a \ in A$ .

набора $A 0 ⊂ A {\ displaystyle A_ {0} \ subset A}$ $A_ {0} \ subset A$ является основой для $A {\ displaystyle A}$ $A$ над $B {\ displaystyle B}$ $B$ , если он не зависит от $B {\ displaystyle B}$ $B$ и $A ⊂ cl (A 0 ∪ B) {\ displaystyle A \ subset {\ text {cl}} (A_ {0} \ cup B)}$ $A \ subset {\ text {cl}} (A_ {0} \ cup B)$ .

Поскольку предварительная геометрия удовлетворяет свойству обмена Стейница, все базы имеют одинаковую мощность, отсюда и определение размер из $A {\ displaystyle A}$ $A$ на $B {\ displaystyle B}$ $B$ как $dim BA = | A 0 | {\ displaystyle {\ text {dim}} _ {B} A = | A_ {0} |}$ ${\ text {dim}} _ {B} A = | A_ {0} |$ не имеет двусмысленности.

Наборы $A, B {\ displaystyle A, B}$ $A, B$ независимы от $C {\ displaystyle C}$ $C$ if $dim B ∪ C = тусклый C ⁡ A ′ {\ displaystyle {\ text {dim}} _ {B \ cup C} = \ dim _ {C} A '}$ ${\text{dim}}_{{B\cup C}}=\dim _{C}A'$ всякий раз, когда $A ′ {\ displaystyle A '}$ $A'$ - конечное подмножество $A {\ displaystyle A}$ $A$ . Обратите внимание, что это соотношение симметрично.

В минимальных множествах над стабильными теориями отношение независимости совпадает с понятием разветвляющейся независимости.

Геометрический автоморфизм

A геометрический автоморфизм геометрии $S {\ displaystyle S}$ $S$ является биекцией $σ: 2 S → 2 S {\ displaystyle \ sigma: 2 ^ {S} \ to 2 ^ {S}}$ $\ sigma: 2 ^ {S} \ to 2 ^ {S}$ так, что $σ cl (X) = cl (σ X) {\ displaystyle \ sigma {\ text {cl}} (X) = {\ text {cl}} (\ sigma X)}$ ${\ displaystyle \ sigma {\ text {cl}} (X) = {\ text {cl}} (\ sigma X)}$ для любого $X ⊂ S {\ displaystyle X \ subset S}$ $X \ subset S$ .

Предварительная геометрия $S {\ displaystyle S}$ $S$ называется однородным, если для любого замкнутого $X ⊂ S {\ displaystyle X \ subset S}$ $X \ subset S$ и любых двух элементов $a, b ∈ S ∖ X {\ displaystyle a, b \ in S \ setminus X}$ $a, b \ in S \ setminus X$ существует автоморфизм $S {\ displaystyle S}$ $S$ , который отображает $от a {\ displaystyle a}$ $a$ до $b {\ displaystyle b}$ $b$ и исправляет $X {\ displaystyle X}$ $X$ точечно.

Связанная геометрия и локализации

Учитывая предварительную геометрию $(S, cl) {\ displaystyle (S, {\ text {cl}})}$ $(S, {\ text {cl}})$ его ассоциированная геометрия (иногда называемая в литературе каноническая геометрия ) - это геометрия $(S ′, cl ′) {\ displaystyle (S ', {\ text {cl }} ')}$ $(S',{\text{cl}}')$ где

$S ′ = {cl (a) ∣ a ∈ S ∖ cl (∅)} {\ displaystyle S' = \ {{\ text {cl}} (a) \ mid a \ in S \ setminus {\ text {cl}} (\ emptyset) \}}$ $S'=\{{\text{cl}}(a)\mid a\in S\setminus {\text{cl}}(\emptyset)\}$ и
для любого $X ⊂ S {\ displaystyle X \ подмножество S}$ $X \ subset S$ , $cl ′ ({cl (a) ∣ a ∈ X}) = {cl (b) ∣ b ∈ cl (X)} {\ displaystyle {\ text {cl}} '(\ {{\ текст {cl}} (a) \ mid a \ in X \}) = \ {{\ text {cl}} (b) \ mid b \ in {\ text {cl}} (X) \}}$ ${\text{cl}}'(\{{\text{cl}}(a)\mid a\in X\})=\{{\text{cl}}(b)\mid b\in {\text{cl}}(X)\}$

Легко видеть, что соответствующая геометрия однородной предгеометрии однородна.

Учитывая $A ⊂ S {\ displaystyle A \ subset S}$ $A \ subset S$ , локализация для $S {\ displaystyle S}$ $S$ - это геометрия $(S, cl A) {\ displaystyle (S, {\ text {cl}} _ {A})}$ $(S, {\ text { cl}} _ {A})$ , где $cl A (X) = cl ( Икс ∪ A) {\ displaystyle {\ text {cl}} _ {A} (X) = {\ text {cl}} (X \ cup A)}$ ${\ text {cl}} _ {A} (X) = {\ text {cl}} (X \ cup A)$ .

Типы предгеометрий

Пусть $(S, cl) {\ displaystyle (S, {\ text {cl}})}$ $(S, {\ text {cl}})$ быть прегеометрией, тогда она называется:

тривиальной (или вырожденный ), если $cl (X) = ⋃ {cl (a) ∣ a ∈ X} {\ displaystyle {\ text {cl}} (X) = \ bigcup \ {{\ text {cl} } (a) \ mid a \ in X \}}$ ${\ text {cl} } (X) = \ bigcup \ {{\ text {cl}} (a) \ mid a \ in X \}$ .
modular, если любые два замкнутых конечномерных множества $X, Y ⊂ S {\ displaystyle X, Y \ subset S}$ $X, Y \ subset S$ удовлетворяют уравнению $dim (X ∪ Y) = dim (X) + dim (Y) - dim (X ∩ Y) {\ displaystyle {\ text {dim}} (X \ cup Y) = {\ text {dim}} (X) + {\ text {dim}} (Y) - {\ text {dim}} (X \ cap Y)}$ ${\ text {dim}} (X \ cup Y) = {\ text {dim}} (X) + {\ text {dim}} (Y) - {\ text {dim} } (X \ cap Y)$ (или эквивалентно $X {\ displaystyle X}$ $X$ не зависит от $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ на $X ∩ Y {\ displaystyle X \ cap Y}$ $X \ cap Y$ ).
локально модульный, если он имеет локализацию в синглтоне, который является модульным.
(локально) проективный, если он нетривиальный и (локально) модульный.
локально конечный, если замыкания конечных множеств конечны.

Тривиальность, модульность и локальная модульность переходят в связанную геометрию и сохраняются при локализации.

Если $S {\ displaystyle S}$ $S$ является локально модульной однородной прегеометрией и $a ∈ S ∖ cl ∅ {\ displaystyle a \ in S \ setminus {\ text {cl}} \ emptyset}$ $a \ in S \ setminus {\ text {cl}} \ emptyset$ , то локализация $S {\ displaystyle S}$ $S$ в $b {\ displaystyle b}$ $b$ является модульной.

Геометрия $S {\ displaystyle S}$ $S$ является модульной тогда и только тогда, когда $a, b ∈ S {\ displaystyle a, b \ in S}$ $a, b \ in S$ , $A ⊂ S {\ displaystyle A \ subset S}$ $A \ subset S$ , $dim {a, b} = 2 {\ displaystyle {\ text {dim}} \ {a, b \} = 2}$ ${\ text {dim}} \ {a, b \} = 2$ и $dim A {a, b} ≤ 1 {\ displaystyle {\ text {dim}} _ {A} \ {a, b \} \ leq 1}$ ${\ text {dim}} _ {A} \ {a, b \} \ leq 1$ затем $(cl { a, b} ∩ cl (A)) ∖ cl ∅ ≠ ∅ {\ displaystyle ({\ text {cl}} \ {a, b \} \ cap {\ text {cl}} (A)) \ setminus {\ text {cl}} \ emptyset \ neq \ emptyset}$ $({\ text {cl}} \ {a, b \} \ cap {\ text {cl}} (A)) \ setminus {\ text {cl}} \ emptyset \ neq \ emptyset$ .

Примеры

Тривиальный пример

Если $S {\ displaystyle S}$ $S$ - любой набор мы можем определить $cl (A) = A {\ displaystyle {\ text {cl}} (A) = A}$ ${\ text {cl}} (A) = A$ . Эта предгеометрия - тривиальная, однородная, локально конечная геометрия.

Векторные пространства и проективные пространства

Пусть $F {\ displaystyle F}$ $F$ будет полем (на самом деле достаточно физического кольца) и пусть $V { \ displaystyle V}$ $V$ быть $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ -мерным векторным пространством над $F {\ displaystyle F}$ $F$ . Тогда $V {\ displaystyle V}$ $V$ - это предварительная геометрия, в которой замыкания множеств определены как их промежуток.

Эта предварительная геометрия однородна и модульна. Векторные пространства считаются типичным примером модульности.

$V {\ displaystyle V}$ $V$ локально конечно тогда и только тогда, когда $F {\ displaystyle F}$ $F$ конечно.

$V {\ displaystyle V}$ $V$ не является геометрией, поскольку замыкание любого нетривиального вектора представляет собой подпространство размером не менее $2 {\ displaystyle 2}$ $2$ .

Соответствующая геометрия a $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ -мерное векторное пространство над $F {\ displaystyle F}$ $F$ - это $(κ - 1) {\ displaystyle (\ kappa -1)}$ $(\ kappa -1)$ -мерное проективное пространство над $F {\ displaystyle F}$ $F$ . Легко видеть, что эта предгеометрия является проективной геометрией.

Аффинные пространства

Пусть $V {\ displaystyle V}$ $V$ будет $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ -мерным аффинное пространство над полем $F {\ displaystyle F}$ $F$ . Для данного набора определите его замыкание как его аффинную оболочку (то есть наименьшее аффинное подпространство, содержащее его).

Это образует однородную $(κ + 1) {\ displaystyle (\ kappa +1)}$ $(\ kappa +1)$ -мерную геометрию.

Аффинное пространство не является модульным (например, если $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ параллельны строк, то формула в определении модульности не работает). Однако легко проверить, что все локализации являются модульными.

Алгебраически замкнутые поля

Пусть $k {\ displaystyle k}$ $k$ будет алгебраически замкнутым полем с $tr.deg ( k) ≥ ω {\ displaystyle {\ text {tr.deg}} (k) \ geq \ omega}$ ${\ text {tr.deg}} (k) \ geq \ omega$ , и определите замыкание набора как его алгебраическое замыкание.

Пока векторные пространства модулярны, а аффинные пространства «почти» модулярны (т. е. всюду локально модулярны), алгебраически замкнутые поля являются примерами другой крайности, не будучи даже локально модулярными (т.е. ни одна из локализаций не является модулярной).

Ссылки

H.H. Крапо и Г.-К. Рота (1970), Об основах комбинаторной теории: комбинаторные геометрии. M.I.T. Press, Cambridge, Mass.

Пиллэй, Ананд (1996), Теория геометрической устойчивости. Oxford Logic Guides. Издательство Оксфордского университета.