Встраивание порядка

В теории математического порядка встраивание порядка - это особый вид монотонная функция, которая обеспечивает способ включения одного частично упорядоченного набора в другой. Подобно связям Галуа, вложения порядка составляют понятие, которое строго слабее, чем концепция изоморфизма порядка . Оба этих недостатка можно понять в терминах теории категорий.

• 1 Формальное определение
• 2 Свойства
• 3 Дополнительные перспективы
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Формально для двух частично упорядоченных наборов (положений) $(S,\; \le )\; \{\backslash \; displaystyle\; (S,\; \backslash \; leq)\}$и $(T,\; ⪯)\; \{\backslash \; displaystyle\; (T,\; \backslash \; prevq)\}$, функция $f:\; S\; \to \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; S\; \backslash \; to\; T\}$- это вложение порядка, если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$одновременно является сохраняющим порядок и отражающим порядок, т.е. для всех $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$в $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, один имеет

$x\; \le \; y\; тогда\; и\; только\; тогда,\; когда\; f\; (х)\; ⪯\; f\; (y).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; leq\; y\; \{\backslash \; text\; \{тогда\; и\; только\; тогда,\; когда\}\}\; f\; (x)\; \backslash \; prevq\; f\; (y).\}$

Такая функция обязательно инъективная, поскольку $f\; (x)\; =\; f\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; f\; (y)\}$подразумевает $x\; \le \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; leq\; y\}$и $у\; \le \; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; у\; \backslash \; Leq\; х\}$. Если порядок встраивания между двумя позициями $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$и $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$существует, говорится, что $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$можно встроить в $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$.

Встраивание взаимного порядка $(0,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (0,1)\}$и $[0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,1]\}$, используя $f\; (x)\; =\; (94\; x\; +\; 3)\; /\; 100\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; (94x\; +\; 3)\; /\; 100\}$в обоих направлениях. Набор $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$делителей 6, частично упорядоченный на x делит y. Встраивание $id:\; \{1,\; 2,\; 3\}\; \to \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; id:\; \backslash \; \{1,2,3\; \backslash \}\; \backslash \; to\; S\}$не может быть коретракцией.

Заказ изоморфизм можно охарактеризовать как сюръективное вложение порядка. Как следствие, любое вложение f ограничивается изоморфизмом между его областью S и его диапазоном f (S), что оправдывает термин «вложение». С другой стороны, вполне может быть, что два (обязательно бесконечных) множеств могут быть взаимно упорядоченно вложены друг в друга, но не изоморфны по порядку.

Примером может служить открытый интервал $(0,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (0,1)\}$из вещественных чисел и соответствующий закрытый интервал $[0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,1]\}$. Функция $f\; (x)\; =\; (94\; x\; +\; 3)\; /\; 100\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; (94x\; +\; 3)\; /\; 100\}$сопоставляет первое с подмножеством $(\; 0,03,\; 0,97)\; \{\backslash \; displaystyle\; (0,03,0.97)\}$последнего и последнего в подмножество $[0,03,\; 0,97]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,03,0.97]\}$Из бывшего см. картинку. Упорядочивая оба набора естественным образом, $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$одновременно сохраняет порядок и отражает порядок, как и любая аффинная функция . Тем не менее, никакого изоморфизма между двумя наборами не может существовать, поскольку, например, $[0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,1]\}$имеет наименьший элемент, а $(0,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (0,1)\}$нет. Для аналогичного примера с использованием arctan для упорядочения встраивания действительных чисел в интервал и карты идентичности для обратного направления см., Например, Just and Weese (1996).

Ретракт - это пара $(f,\; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; (f,\; g)\}$сохраняющих порядок карт, состав которых $g\; \circ \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; circ\; f\}$- это тождество. В этом случае $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$называется корретракцией и должен быть внедрением порядка. Однако не всякое вложение порядка является корретракцией. В качестве тривиального примера, уникальный порядок вложения $f:\; \varnothing \; \to \; \{1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \backslash \; emptyset\; \backslash \; to\; \backslash \; \{1\; \backslash \}\}$из пустого множества в непустой не имеет retract, потому что нет сохраняющей порядок карты $g:\; \{1\}\; \to \; \varnothing \; \{\backslash \; displaystyle\; g:\; \backslash \; \{1\; \backslash \}\; \backslash \; to\; \backslash \; emptyset\}$. Более наглядно, рассмотрим набор $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$делителей 6, частично упорядоченных по x делит y, см. Рисунок. Рассмотрим встроенный подмножество $\{1,\; 2,\; 3\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{1,2,3\; \backslash \}\}$. Отказ от вложения $id:\; \{1,\; 2,\; 3\}\; \to \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; id:\; \backslash \; \{1,2,3\; \backslash \}\; \backslash \; to\; S\}$должен отправить $6\; \{\backslash \; displaystyle\; 6\}$куда-нибудь в $\{1,\; 2,\; 3\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{1,2,3\; \backslash \}\}$над обоими $2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\}$и $3\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\}$, но такого места нет.

Посеты можно напрямую рассматривать со многих точек зрения, а встраивания порядка достаточно просты, чтобы их можно было увидеть отовсюду. Например:

• (Теоретическая модель) Посеть - это набор, снабженный (рефлексивным, антисимметричным, транзитивным) бинарным отношением. Порядковое вложение A ->B является изоморфизмом от A к элементарной подструктуре структуры B.
• (Теоретически граф) ЧУМ - это (транзитивный, ациклический, направленный, рефлексивный) граф. Порядковое вложение A ->B - это изоморфизм графа из A в индуцированный подграф из B.
• (Теоретически по категориям) ЧУМ - это (маленький, тонкий, и скелетная) категория такая, что в каждом гоммножестве не более одного элемента. Порядок вложения A ->B - это полный и точный функтор от A до B, который инъективен для объектов, или, что эквивалентно, изоморфизм от A до полной подкатегории в B.

• Теорема Душника – Миллера
• Теорема Лавера