Войти
"Über формальный unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I "(" О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем I ") - статья по математической логике от Курт Гёдель. От 17 ноября 1930 года, он был первоначально опубликован на немецком языке в сборнике Monatshefte für Mathematik 1931 года. Несколько английских переводов вышли в печати, и этот документ был включен в два сборника. статей по классической математической логике. Статья содержит теоремы Гёделя о неполноте, которые теперь являются фундаментальными логическими результатами, которые имеют большое значение для доказательств непротиворечивости в математике. В статье также представлены новые методы, которые Гёдель изобретает ed для доказательства теорем о неполноте.
Основными установленными результатами являются первая и вторая теоремы Гёделя о неполноте, которые оказали огромное влияние на область математической логики. Они появляются в статье как теоремы VI и XI соответственно.
Чтобы доказать эти результаты, Гёдель ввел метод, теперь известный как нумерация Гёделя. В этом методе каждому предложению и формальному доказательству в арифметике первого порядка присваивается конкретное натуральное число. Гёдель показывает, что многие свойства этих доказательств могут быть определены в рамках любой теории арифметики, достаточно сильной для определения примитивных рекурсивных функций. (Современная терминология для рекурсивных функций и примитивных рекурсивных функций еще не была установлена на момент публикации статьи; Гёдель использовал слово rekursiv («рекурсивный») для того, что теперь известно как примитивные рекурсивные функции.) Метод нумерации Гёделя с тех пор стал распространенным в математической логике.
Поскольку метод нумерации Гёделя был новым и во избежание какой-либо двусмысленности, Гёдель представил список из 45 явных формальных определений примитивных рекурсивных функций и отношений, используемых для манипулирования и проверки чисел Гёделя. Он использовал их, чтобы дать явное определение формулы Bew (x), которая истинна тогда и только тогда, когда x является геделевским числом предложения φ и существует натуральное число, которое является числом Геделя доказательства φ. Название этой формулы происходит от немецкого слова Beweis, обозначающего доказательство.
Второй новой техникой, изобретенной Гёделем в этой статье, было использование самореференциальных предложений. Гёдель показал, что классические парадоксы самоотнесения, такие как «Это утверждение ложно », могут быть преобразованы в формальные арифметические предложения, ссылающиеся на самих себя. Неформально предложение, использованное для доказательства первой теоремы Гёделя о неполноте, гласит: «Это утверждение не доказуемо». Тот факт, что такая ссылка на себя может быть выражена арифметикой, не был известен до появления статьи Гёделя; Независимая работа Альфреда Тарского над его теоремой о неопределенности проводилась примерно в то же время, но не публиковалась до 1936 года.
В сноске 48a Гёдель заявил, что запланированная вторая часть статьи установит связь между доказательствами непротиворечивости и теорией типов, но Гёдель не опубликовал вторую часть статьи до своей смерти. Однако его статья 1958 года в Dialectica показала, как можно использовать теорию типов для доказательства непротиворечивости арифметики.
При его жизни было напечатано три английских перевода статьи Гёделя, но процесс не прошел без труда. Первый английский перевод был сделан Бернардом Мельцером; он был опубликован в 1963 году как отдельный труд издательством Basic Books и с тех пор переиздан Dover и перепечатан Хокингом (God Created the Integer, Running Press, 2005: 1097ff). Версия Мельтцера, описанная Раймондом Смуллианом как «хороший перевод», была подвергнута отрицательной оценке Стефаном Бауэр-Менгельбергом (1966). Согласно биографии Гёделя Доусоном (Dawson 1997: 216),
К счастью, перевод Мельцера вскоре был заменен лучшим, подготовленным Эллиоттом Мендельсоном для антологии Мартина Дэвиса «Неразрешимое»; но он также не был доведен до сведения Гёделя почти до последней минуты, и новый перевод все еще не вполне ему нравился... когда ему сообщили, что у него недостаточно времени, чтобы подумать о замене другого текста, он заявил, что перевод Мендельсона был « в целом очень хорошо »и согласился на его публикацию. [Впоследствии он сожалел о своем согласии, поскольку опубликованный том был испорчен неряшливой типографикой и многочисленными опечатками.]
Перевод Эллиотта Мендельсона появляется в сборнике «Неразрешимое» (Davis 1965: 5ff). Этот перевод также получил резкую рецензию Бауэра-Менгельберга (1966), который, помимо подробного списка типографских ошибок, также описал то, что он считал серьезными ошибками в переводе.
Перевод Жана ван Хейеноорта появляется в сборнике От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике (van Heijenoort 1967). В обзоре Алонзо Черча (1972) этот перевод описан как «самый тщательный перевод из всех, что были сделаны», но также даны некоторые конкретные критические замечания по нему. Доусон (1997: 216) отмечает:
Гёдель одобрил перевод, сделанный Жаном ван Хейенуртом... В предисловии к тому ван Хейенорт отметил, что Гёдель был одним из четырех авторов, которые лично прочитали и одобрили переводы его работает.
Этот процесс утверждения был трудоемким. Гёдель внес изменения в свой текст 1931 года, и переговоры между людьми были «затяжными»: «В частном порядке ван Хейенорт заявил, что Гёдель был самым упрямо привередливым человеком, которого он когда-либо знал». Между собой они «обменялись в общей сложности семьюдесятью письмами и дважды встречались в кабинете Гёделя, чтобы разрешить вопросы, касающиеся тонкостей значений и использования немецких и английских слов». (Доусон 1997: 216-217).
Хотя это и не перевод оригинальной статьи, существует очень полезная 4-я версия, которая «покрывает основу, очень похожую на ту, что охвачена оригинальной статьей Гёделя 1931 года о неразрешимости» (Davis 1952: 39), а также как собственное расширение и комментарий Гёделя к этой теме. Это выглядит как «О неразрешимых предложениях формальных математических систем» (Davis 1965: 39ff) и представляет собой лекции, записанные Стивеном Клини и Дж. Баркли Россер, в то время как Гёдель доставил их в Институт перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси, в 1934 году. Дэвис добавил к этой версии две страницы с исправлениями и дополнительными исправлениями Гёделя. Эта версия также примечательна тем, что в ней Гёдель сначала описывает предположение Эрбрана, которое привело к (общей, т.е. Herbrand-Gödel) форме рекурсии.
