Мультипликативный цифровой корень

В теории чисел мультипликативный цифровой корень из натурального числа в данной системе счисления определяется путем умножения на числа из вместе, затем повторять эту операцию до тех пор только однозначный остается, что называется мультипликативным цифровой корнем. Мультипликативные цифровые корни являются мультипликативным эквивалентом цифровых корней. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

• 1 Определение
• 2 Мультипликативная настойчивость
• 3 Расширение до отрицательных целых чисел
• 4 Пример программирования
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Литература
• 8 Внешние ссылки

Позвольте быть натуральным числом. Мы определяем произведение цифр для базы следующим образом: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle bgt; 1}$ ${\ displaystyle F_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle F_ {b} (n) = \ prod _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i}}$

где - количество цифр в числе в базе, а ${\ Displaystyle к = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}$

- значение каждой цифры числа. Натуральное число является мультипликативным цифровым корнем, если оно является фиксированной точкой для, что происходит, если. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle F_ {b}}$${\ Displaystyle F_ {b} (п) = п}$

Например, в базе 0 - это мультипликативный цифровой корень 9876, так как ${\ displaystyle b = 10}$

${\ Displaystyle F_ {10} (9876) = (9) (8) (7) (6) = 3024}$

${\ Displaystyle F_ {10} (3024) = (3) (0) (2) (4) = 0}$

${\ displaystyle F_ {10} (0) = 0}$

Все натуральные числа являются препериодическими точками для независимо от основания. Это потому, что если, то ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle F_ {b}}$${\ displaystyle n \ geq b}$

${\ Displaystyle п = \ сумма _ {я = 0} ^ {k-1} d_ {я} b ^ {я}}$

и поэтому

${\ displaystyle F_ {b} (n) = \ prod _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i} = d_ {k-1} \ prod _ {i = 0} ^ {k-2} d_ {i} lt;d_ {k-1} b ^ {k-1} lt;\ sum _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i} b ^ {i} = n}$

Если, то тривиально ${\ displaystyle n lt;b}$

${\ Displaystyle F_ {b} (п) = п}$

Следовательно, единственными возможными мультипликативными цифровыми корнями являются натуральные числа, и нет никаких циклов, кроме фиксированных точек. ${\ Displaystyle 0 \ Leq п lt;Ь}$${\ Displaystyle 0 \ Leq п lt;Ь}$

Число итераций, необходимых для достичь неподвижной точки является мультипликативным сохранением в. Мультипликативная настойчивость не определена, если она никогда не достигает фиксированной точки. ${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle F_ {b} ^ {i} (п)}$ ${\ displaystyle n}$

В базе 10 предполагается, что не существует числа с мультипликативным постоянством: это, как известно, верно для чисел. Наименьшие числа с постоянством 0, 1,...: ${\ displaystyle igt; 11}$${\ Displaystyle п \ leq 10 ^ {20585}}$

0, 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68889, 2677889, 26888999, 3778888999, 277777788888899. (последовательность A003001 в OEIS )

Поиск этих чисел можно ускорить, используя дополнительные свойства десятичных разрядов этих рекордных чисел. Эти цифры должны быть отсортированы, и, за исключением первых двух цифр, все цифры должны быть 7, 8 или 9. Существуют также дополнительные ограничения на первые две цифры. Основываясь на этих ограничениях, количество кандидатов на -значные числа с рекордной стойкостью пропорционально квадрату, крошечной доле всех возможных -значных чисел. Однако любое число, отсутствующее в приведенной выше последовательности, будет иметь мультипликативную постоянствоgt; 11; Считается, что таких чисел не существует, и они должны были бы состоять из более чем 20 000 цифр, если они действительно существуют. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$

Мультипликативный цифровой корень может быть расширен до отрицательных целых чисел путем использования представления цифр со знаком для представления каждого целого числа.

В приведенном ниже примере реализуется цифровой продукт, описанный в приведенном выше определении, для поиска мультипликативных цифровых корней и мультипликативных постоянств в Python.

def digit_product(x: int, b: int) -gt; int: if x == 0: return 0 total = 1 while x gt; 1: if x % b == 0: return 0 if x % b gt; 1: total = total * (x % b) x = x // b return total  def multiplicative_digital_root(x: int, b:int) -gt; int: seen = [] while x not in seen: seen.append(x) x = digit_product(x, b) return x  def multiplicative_persistence(x: int, b: int) -gt; int: seen = [] while x not in seen: seen.append(x) x = digit_product(x, b) return len(seen) - 1

• Арифметическая динамика
• Цифра сумма
• Цифровой корень
• Сумма-номер продукта

1. ^ ^{a b} Вайсштейн, Эрик В. "Мультипликативная стойкость". MathWorld.
2. ^ ^{а б} Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A003001». Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag. С. 398–399. ISBN   978-0-387-20860-2. Zbl   1058.11001.

• Что особенного в 277777788888899? - Numberphile на YouTube (21 марта 2019 г.)