Устойчивое равновесие по Мертенсу

редактировать

Стабильность по Мертенсу - это концепция решения, используемая для предсказания исхода игры без сотрудничества. Предварительное определение стабильности было предложено Илоном Кольбергом и Жан-Франсуа Мертенсом для игр с конечным числом игроков и стратегий. Позже Мертенс предложил более сильное определение, которое было развито Шрихари Говинданом и Мертенсом. Эта концепция решения теперь называется стабильностью Мертенса или просто стабильностью.

Подобно другим уточнениям равновесия по Нэшу, используемым в теории игр, стабильность выбирает подмножества множества равновесий по Нэшу, которые имеют желаемые свойства. Стабильность требует более строгих критериев, чем другие уточнения, и тем самым обеспечивает выполнение более желаемых свойств.

Содержание

1 Желаемые свойства уточнения
2 Свойства стабильных множеств
3 Определение стабильного множества
4 ссылки

Желательные свойства уточнения

Уточнения часто мотивировались аргументами в пользу допустимости, обратной индукции и прямой индукции. В игре для двух игроков допустимое правило принятия решения для игрока - это правило, которое не использует какую-либо стратегию, в которой другой слабо доминирует (см. Стратегическое доминирование ). Обратная индукция утверждает, что оптимальное действие игрока в любом случае предполагает, что его и другие действия будут оптимальными. Уточнение, называемое идеальным равновесием в подиграх, реализует слабую версию обратной индукции, а все более сильными версиями являются последовательное равновесие, идеальное равновесие, квази-совершенное равновесие и собственное равновесие. Прямая индукция утверждает, что оптимальное действие игрока в любом случае предполагает оптимальность прошлых действий других, когда это согласуется с его наблюдениями. Прямая индукция удовлетворяется последовательным равновесием, при котором вера игрока в набор информации приписывает вероятность только оптимальным стратегиям других, которые позволяют получить эту информацию.

Кольберг и Мертенс далее подчеркнули, что концепция решения должна удовлетворять принципу инвариантности, не зависящему от того, какое из многих эквивалентных представлений стратегической ситуации в виде игры в развернутой форме используется. Таким образом, он должен зависеть только от сокращенной игры в нормальной форме, полученной после исключения чистых стратегий, которые являются избыточными, потому что их выигрыши для всех игроков могут быть воспроизведены смесью других чистых стратегий. Мертенс также подчеркнул важность принципа малых миров, согласно которому концепция решения должна зависеть только от порядковых свойств предпочтений игроков и не должна зависеть от того, включает ли игра посторонних игроков, действия которых не влияют на возможные стратегии исходных игроков и выплаты.

Колберг и Мертенс продемонстрировали на примерах, что не все эти свойства могут быть получены из концепции решения, которая выбирает единственное равновесие по Нэшу. Поэтому они предложили, чтобы концепция решения выбирала замкнутые связные подмножества множества равновесий по Нэшу.

Свойства стабильных множеств

Допустимость и совершенство: каждое равновесие в стабильном множестве является совершенным и, следовательно, допустимым.
Обратная индукция и прямая индукция: стабильный набор включает в себя надлежащее равновесие нормальной формы игры, которое индуцирует квази-совершенное и, следовательно, последовательное равновесие в каждой игре расширенной формы с идеальным воспроизведением, имеющей такую же нормальную форму. Подмножество стабильного набора выживает итеративное исключение слабо доминируемых стратегий и стратегий, которые являются неполноценными ответами при каждом равновесии в наборе.
Инвариантность и малые миры: стабильные множества игры - это проекции стабильных множеств любой более крупной игры, в которую она встроена, при сохранении возможных стратегий и выигрышей исходных игроков.
Разложение и разделение игроков. Стабильные множества продукта двух независимых игр являются продуктами их стабильных множеств. На стабильные наборы не влияет разделение игрока на агентов, так что ни один путь через дерево игры не включает действия двух агентов.

Для игр для двух игроков с идеальным воспроизведением и общими выигрышами стабильность эквивалентна только трем из этих свойств: стабильное множество использует только недоминируемые стратегии, включает квази-совершенное равновесие и невосприимчиво к вложению в более крупную игру.

Определение стабильного множества

Стабильное множество математически определяется существенностью отображения проекции из замкнутой связной окрестности в графе состояний равновесия Нэша над пространством возмущенных игр, полученных путем возмущения стратегий игроков в сторону полностью смешанных стратегий. Это определение требует большего, чем любая соседняя игра, имеющая близкое равновесие. Существенность требует, кроме того, что никакая деформация проекции не отображается на границу, что гарантирует, что возмущения задачи о неподвижной точке, определяющей равновесия Нэша, имеют близкие решения. Очевидно, это необходимо для получения всех перечисленных выше желаемых свойств.

Мертенс дал несколько формальных определений в зависимости от модуля коэффициентов, используемых для гомологии или когомологии.

Формальное определение требует некоторых обозначений. Для данной игры позвольте быть произведением симплексов смешанных стратегий игроков. Для каждого, пусть и пусть будет его топологической границей. Ибо пусть будет минимальной вероятностью любой чистой стратегии. Для любого определите нарушенную игру как игру, в которой набор стратегий каждого игрока такой же, как в, но где выигрыш из профиля стратегии является выигрышем из профиля. Скажем, что это нарушенное равновесие, если это равновесие. Позвольте быть графиком возмущенного равновесия соответствия над, а именно, граф - это множество тех пар, которые являются возмущенным равновесием. Для, - соответствующее равновесие. Обозначим естественным отображением проекции из в. Ибо пусть и пусть. Наконец, относится к когомологиям Чеха с целыми коэффициентами. ${\ displaystyle G}$ $г$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\Сигма$ ${\ Displaystyle 0 lt;\ дельта \ leq 1}$ $0 lt;\ дельта \ leq 1$ ${\ Displaystyle P _ {\ delta} = \ {\, \ epsilon \ tau \ mid 0 \ leq \ epsilon \ leq \ delta, \ tau \ in \ Sigma \, \}}$ $P _ {\ delta} = \ {\, \ epsilon \ tau \ mid 0 \ leq \ epsilon \ leq \ delta, \ tau \ in \ Sigma \, \}$ ${\ displaystyle \ partial P _ {\ delta}}$ $\ partial P _ {\ delta}$ ${\ displaystyle \ eta \ in P_ {1}}$ $\ eta \ in P _ {{1}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ eta}}}$ ${\ bar {\ eta}}$ ${\ displaystyle \ eta \ in P_ {1}}$ $\ eta \ in P_ {1}$ ${\ Displaystyle G (\ eta)}$ $Получить)$ ${\ displaystyle n}$ $п$ ${\ displaystyle G}$ $г$ ${\ Displaystyle \ тау}$ $\тау$ ${\ displaystyle G}$ $г$ ${\ displaystyle \ sigma = (1 - {\ bar {\ eta}}) \ tau + \ eta}$ $\ sigma = (1 - {\ bar {\ eta}}) \ tau + \ eta$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\сигма$ ${\ Displaystyle G (\ eta)}$ $Получить)$ ${\ Displaystyle \ тау}$ $\тау$ ${\ Displaystyle G (\ eta)}$ $Получить)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ mathcal {E}}$ ${\ displaystyle P_ {1}}$ $П_ {1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ mathcal {E}}$ ${\ Displaystyle (\ eta, \ sigma) \ в P_ {1} \ times \ Sigma}$ $(\ eta, \ sigma) \ в P_ {1} \ times \ Sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\сигма$ ${\ Displaystyle G (\ eta)}$ $Получить)$ ${\ displaystyle (\ eta, \ sigma) \ in {\ mathcal {E}}}$ $(\ eta, \ sigma) \ in {\ mathcal {E}}$ ${\ Displaystyle \ тау (\ эта, \ сигма) \ экв (\ сигма - \ эта) / (1 - {\ бар {\ эта}})}$ $\ tau (\ eta, \ sigma) \ Equiv (\ sigma - \ eta) / (1 - {\ bar {\ eta}})$ ${\ Displaystyle G (\ eta)}$ $Получить)$ ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ mathcal {E}}$ ${\ displaystyle P_ {1}}$ $П_ {1}$ ${\ Displaystyle E \ substeq {\ mathcal {E}}}$ $E \ substeq {\ mathcal {E}}$ ${\ Displaystyle E_ {0} = \ {\, (0, \ sigma) \ in E \, \}}$ $E_ {0} = \ {\, (0, \ sigma) \ in E \, \}$ ${\ Displaystyle 0 lt;\ дельта \ leq 1}$ $0 lt;\ дельта \ leq 1$ ${\ displaystyle (E _ {\ delta}, \ partial E _ {\ delta}) = p ^ {- 1} (P _ {\ delta}, \ partial P _ {\ delta}) \ cap E}$ $(E _ {\ delta}, \ partial E _ {\ delta}) = p ^ {{- 1}} (P _ {\ delta}, \ partial P _ {\ delta}) \ cap E$ ${\ displaystyle {\ check {H}}}$ ${\ check {H}}$

Ниже приводится версия наиболее исчерпывающего определения Мертенса, называемого * -стабильностью.

Определение * -stable набор : есть * -stable множество если для некоторого замкнутого подмножества из с имеет следующие два свойства: ${\ Displaystyle S \ substeq \ Sigma}$ $S \ substeq \ Sigma$ ${\ displaystyle E}$ $E$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ mathcal {E}}$ ${\ Displaystyle E_ {0} = \ {\, 0 \, \} \ times S}$ $E_ {0} = \ {\, 0 \, \} \ times S$

Связность : Для каждой окрестности из в, множество имеет связную компоненту, замыкание окрестность в. ${\ displaystyle V}$ $V$ ${\ displaystyle E_ {0}}$ $E_ {0}$ ${\ displaystyle E}$ $E$ ${\ displaystyle V \ setminus \ partial E_ {1}}$ $V \ setminus \ partial E_ {1}$ ${\ displaystyle E_ {0}}$ $E_ {0}$ ${\ displaystyle E}$ $E$
Когомологическая сущность : для некоторых отлична от нуля. ${\ displaystyle p ^ {*}: {\ check {H}} ^ {*} (P _ {\ delta}, \ partial P _ {\ delta}) \ to {\ check {H}} ^ {*} (E_ {\ delta}, \ partial E _ {\ delta})}$ $p ^ {*}: {\ check {H}} ^ {*} (P _ {\ delta}, \ partial P _ {\ delta}) \ to {\ check {H}} ^ {*} (E _ {\ delta }, \ partial E _ {\ delta})$ ${\ displaystyle \ deltagt; 0}$ $\ дельтаgt; 0$

Если существенность в когомологиях или гомологиях ослабляется до гомотопии, то получается более слабое определение, которое отличается главным образом более слабой формой свойства декомпозиции.

использованная литература