Максимальная эргодическая теорема

редактировать

Максимальная эргодическая теорема является теорема в эргодической теории, дисциплина в математике.

Предположим, что это вероятностное пространство, которое является (возможно, необратимым) преобразованием, сохраняющим меру, и что. Определить по ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathcal {B}}, \ mu)$ ${\ displaystyle T: X \ to X}$ $Т: Х \ к Х$ ${\ Displaystyle е \ в L ^ {1} (\ му, \ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle е \ в L ^ {1} (\ му, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle f ^ {*}}$ $е ^ {*}$

{\ displaystyle f ^ {*} = \ sup _ {N \ geq 1} {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 0} ^ {N-1} f \ circ T ^ {i}.}

f ^ {*} = \ sup _ {{N \ geq 1}} {\ frac {1} {N}} \ sum _ {{i = 0}} ^ {{N-1}} f \ circ T ^ {я}.

Тогда максимальная эргодическая теорема утверждает, что

{\ displaystyle \ int _ {е ^ {*}gt; \ lambda} f \, d \ mu \ geq \ lambda \ cdot \ mu \ {f ^ {*}gt; \ lambda \}}

\ int _ {{f ^ {{*}}gt; \ lambda}} f \, d \ mu \ geq \ lambda \ cdot \ mu \ {f ^ {{*}}gt; \ lambda \}

для любого А ∈ R.

Эта теорема используется для доказательства точечной эргодической теоремы.

Ссылки

Кин, Майкл; Петерсен, Карл (2006), «Простые и почти одновременные доказательства эргодической теоремы и максимальной эргодической теоремы», Dynamics amp; Stochastics, Институт математической статистики Лекционные заметки - серия монографий, 48, стр. 248–251, arXiv : math / 0004070, DOI : 10.1214 / 074921706000000266, ISBN 0-940600-64-1.