Эргодическая теория

редактировать

Эргодическая теория (Греч. : ἔργον ergon «работа», ὁδός hodos «путь») раздел математики, изучающий статистические свойства детерминированных динамических систем. В этом контексте статистические свойства означают свойства, которые выражаются через поведение средних по времени различных функций вдоль траекторий динамических систем. Понятие детерминированных динамических систем предполагает, что уравнения, определяющие динамику, не содержат случайных возмущений, шума и т. Д. Таким образом, статистика, которая нас интересует, является свойствами динамики.

Эргодическая теория, как и теория вероятностей, основана на общих понятиях теории меры. Его первоначальная разработка была мотивирована проблемами статистической физики.

. Центральным вопросом эргодической теории является поведение динамической системы, когда ей разрешено работать в течение длительного времени. Первым результатом в этом направлении является теорема Пуанкаре о возвращении, которая утверждает, что почти все точки в любом подмножестве фазового пространства в конечном итоге пересматривают множество. Системы, для которых верна теорема Пуанкаре, являются консервативными системами ; таким образом, все эргодические системы консервативны.

Более точную информацию предоставляют различные эргодические теоремы, которые утверждают, что при определенных условиях среднее по времени функции вдоль траекторий существует почти везде и связано с в среднем по площади. Две из наиболее важных теорем - теоремы Биркгофа (1931) и фон Неймана, которые утверждают существование среднего по времени вдоль каждой траектории. Для специального класса эргодических систем это среднее по времени одинаково почти для всех начальных точек: статистически говоря, система, которая развивается в течение длительного времени, «забывает» свое начальное состояние. Более сильные свойства, такие как смешивание и равнораспределение, также были тщательно изучены.

Проблема метрической классификации систем - еще одна важная часть абстрактной эргодической теории. Выдающуюся роль в эргодической теории и ее приложениях к случайным процессам играют различные понятия энтропии для динамических систем.

Концепции эргодичности и эргодической гипотезы являются центральными для приложений эргодической теории. Основная идея заключается в том, что для некоторых систем среднее значение их свойств по времени равно среднему значению по всему пространству. Приложения эргодической теории к другим разделам математики обычно включают установление свойств эргодичности для систем специального вида. В геометрии методы эргодической теории использовались для изучения геодезического потока на римановых многообразиях, начиная с результатов Эберхарда Хопфа для римановых поверхностей отрицательной кривизны. Цепи Маркова образуют общий контекст для приложений в теории вероятностей. Эргодическая теория плодотворно связана с гармоническим анализом, теорией Ли (теорией представлений, решетками в алгебраических группах ) и теория чисел (теория диофантовых приближений, L-функций ).

Содержание

1 Эргодические преобразования
2 Примеры
3 Эргодические теоремы
4 Вероятностная формулировка: теорема Биркгофа – Хинчина
5 Эргодическая теорема о среднем
6 Сходимость эргодических средних в Нормы L
7 Время пребывания
8 Эргодические потоки на многообразиях
9 См. Также
10 Ссылки
11 Исторические ссылки
12 Современные ссылки
13 Внешние ссылки

Эргодические преобразования

Эргодическая теория часто занимается эргодическими преобразованиями . Интуиция, лежащая в основе таких преобразований, которые действуют в данном наборе, состоит в том, что они тщательно «перемешивают» элементы этого набора (например, если набор представляет собой количество горячей овсянки в миске, и если ложка сиропа опускается в миску, то итерации обратного эргодического преобразования овсянки не позволят сиропу оставаться в локальной подобласти овсянки, но будут равномерно распределять сироп повсюду. В то же время эти итерации не будут сжимать или расширять любую часть овсянки: они сохраняют меру, то есть плотность). Вот формальное определение.

Пусть T: X → X - сохраняющее меру преобразование на пространстве с мерой (X, Σ, μ) с μ (X) = 1. Тогда T эргодичен, если для каждого E в Σ с T (E) = E либо μ (E) = 0, либо μ (E) = 1.

Примеры

Эволюция ансамбля классических систем в фазовом пространстве (вверху). Системы представляют собой массивные частицы в одномерной потенциальной яме (красная кривая, нижний рисунок). Первоначально компактный ансамбль со временем закручивается и "растекается" по фазовому пространству. Однако это не является эргодическим поведением, поскольку системы не посещают левую потенциальную яму.

иррациональное вращение круга R/Z, T: x → x + θ, где θ является иррациональным, эргодическим. Это преобразование имеет еще более сильные свойства: уникальная эргодичность и равнораспределение. Напротив, если θ = p / q рационально (в низших терминах), то T периодично с периодом q и, следовательно, не может быть эргодическим: для любого интервала I длины a, 0 < a < 1/q, its orbit under T (that is, the union of I, T(I),..., T(I), which contains the image of I under any number of applications of T) is a T-invariant mod 0 set that is a union of q intervals of length a, hence it has measure qa strictly between 0 and 1.
Пусть G будет компактная абелева группа, μ - нормализованная мера Хаара и T групповой автоморфизм группы G. Пусть G * - Двойственная по Понтрягину группа, состоящая из непрерывных символов группы G, и T * - соответствующий присоединенный автоморфизм группы G *. Автоморфизм T эргодичен тогда и только тогда, когда равенство (T *) (χ) = χ возможно только тогда, когда n = 0 или χ является тривиальным характером группы G. В частности, если G является n -мерный тор и автоморфизм T представлен унимодулярной матрицей A, тогда T эргодичен тогда и только тогда, когда никакое собственное значение A не является корнем единицы.
A сдвиг Бернулли эргодичен. В более общем смысле, эргодичность преобразования сдвига, связанная с последовательностью i.i.d. случайные величины и некоторые более общие стационарные процессы следует из закона нуля – единицы Колмогорова.
Эргодичность непрерывной динамической системы означает, что ее траектории «разлетаются» фазовое пространство. Система с компактным фазовым пространством, имеющая непостоянный первый интеграл, не может быть эргодической. Это относится, в частности, к гамильтоновым системам с первым интегралом I, функционально независимым от функции Гамильтона H, и компактным множеством уровня X = {(p, q): H (p, q) = E} постоянной энергии. Теорема Лиувилля подразумевает существование конечной инвариантной меры на X, но динамика системы ограничена наборами уровня I на X, следовательно, система обладает инвариантными множествами положительной, но не полной меры. Свойство непрерывных динамических систем, противоположное эргодичности, - это полная интегрируемость.

эргодические теоремы

Пусть T: X → X - сохраняющее меру преобразование на пространство с мерой (X, Σ, μ) и предположим, что ƒ - μ-интегрируемая функция, т. Е. Ƒ ∈ L (μ). Затем мы определяем следующие средние:

Среднее по времени: Оно определяется как среднее (если оно существует) по итерациям T, начиная с некоторой начальной точки x:

f ^ (x) = lim n → ∞ 1 N ∑ К знак равно 0 N - 1 f (T kx). {\ displaystyle {\ hat {f}} (x) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \; {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} f (T ^ {k} x).}

{\ displaystyle {\ hat {f}} (x) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \; {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} f (T ^ {k} x).}

Пространственное среднее: Если μ (X) конечно и отлично от нуля, мы можем рассматривать пространственное или фазовое среднее значение ƒ:

f ¯ = 1 μ ( X) ∫ fd μ. (Для вероятностного пространства μ (X) = 1) {\ displaystyle {\ bar {f}} = {\ frac {1} {\ mu (X)}} \ int f \, d \ mu. \ Quad {\ text {(Для вероятностного пространства}} \ mu (X) = 1.)}

{\ bar f} = {\ frac 1 {\ mu (X)}} \ int f \, d \ mu. \ quad {\ text {(для вероятностного пространства}} \ mu (X) = 1.)

В целом среднее по времени и среднее по пространству могут быть разными. Но если преобразование эргодично, а мера инвариантна, то среднее по времени равно среднему пространственному почти везде. Это знаменитая эргодическая теорема в абстрактной форме, созданная Джорджем Дэвидом Биркгофом. (На самом деле, в статье Биркгофа рассматривается не абстрактный общий случай, а только случай динамических систем, возникающих из дифференциальных уравнений на гладком многообразии.) Теорема об эквираспределении - это частный случай эргодической теоремы, имеющий дело конкретно с распределение вероятностей на единичном интервале.

Точнее, поточечная или сильная эргодическая теорема утверждает, что предел в определении среднего по времени существует почти для каждого x и что (почти всюду определена) предельная функция ƒ̂ интегрируема:

f ^ ∈ L 1 (μ). {\ displaystyle {\ hat {f}} \ in L ^ {1} (\ mu). \,}

{\ hat f} \ in L ^ {1} (\ mu). \,

Кроме того, $f ^ {\ displaystyle {\ hat {f}}}$ ${\ hat {f}}$ является T-инвариантным, то есть

f ^ ∘ T = f ^ {\ displaystyle {\ hat {f}} \ circ T = {\ hat {f}} \,}

{\ hat f} \ circ T = {\ hat f} \,

почти всюду, и если μ (X) конечно, то нормализация такая же:

∫ f ^ d μ = ∫ fd μ. {\ displaystyle \ int {\ hat {f}} \, d \ mu = \ int f \, d \ mu.}

\ int {\ hat f} \, d \ mu = \ int f \, d \ mu.

В частности, если T эргодичен, то ƒ̂ должно быть константой (почти везде), и поэтому

f ¯ = f ^ {\ displaystyle {\ bar {f}} = {\ hat {f}} \,}

{\ bar f} = {\ hat f} \,

почти везде. Соединяя первое с последним утверждением и предполагая, что μ (X) конечно и отлично от нуля, получаем, что

lim n → ∞ 1 n ∑ k = 0 n - 1 f (T kx) = 1 μ (X) ∫ fd μ {\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \; {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} f (T ^ {k} x) = {\ frac {1} {\ mu (X)}} \ int f \, d \ mu}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \; {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} f (T ^ {k} x) = {\ frac {1} {\ mu (X)}} \ int f \, d \ mu}

для почти всех x, т. е. для всех x, кроме набора измерить ноль.

Для эргодического преобразования среднее по времени почти наверняка равно среднему по пространству.

В качестве примера предположим, что мерное пространство (X, Σ, μ) моделирует частицы газа, как указано выше, и пусть ƒ (x) обозначает скорость частицы при положение x. Тогда поточечные эргодические теоремы говорят, что средняя скорость всех частиц в некоторый данный момент времени равна средней скорости одной частицы во времени.

Обобщением теоремы Биркгофа является субаддитивная эргодическая теорема Кингмана.

Вероятностная формулировка: теорема Биркгофа – Хинчина

Теорема Биркгофа – Хинчина . Пусть ƒ измеримо, E (| ƒ |) <∞ и T сохраняющее меру отображение. Тогда с вероятностью 1 :

lim n → ∞ 1 n ∑ k = 0 n - 1 f (T kx) = E (f ∣ C) (x), {\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \; {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} f (T ^ {k} x) = E (f \ mid {\ mathcal {C}}) (x),}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \; {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} f ( T ^ {k} x) = E (f \ mid {\ mathcal {C}}) (x),}

где $E (f | C) {\ displaystyle E (f | {\ mathcal {C}})}$ $E (f | {\ mathcal {C}})$ - условное ожидание учитывая σ-алгебру $C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ инвариантных множеств T.

Следствие (Точечная эргодическая теорема ): В частности, если T также эргодичен, то $C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ является тривиальной σ-алгеброй, и, следовательно, с вероятностью 1:

lim n → ∞ 1 n ∑ К знак равно 0 n - 1 f (T kx) = E (f). {\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \; {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} f (T ^ {k} x) = E (f).}

{\ displ aystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \; {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} f (T ^ {k} x) = E (f).}

Средняя эргодическая теорема

Средняя эргодическая теорема фон Неймана верна в гильбертовых пространствах.

Пусть U - унитарный оператор на Гильбертово пространство H; в более общем смысле, изометрический линейный оператор (то есть не обязательно сюръективный линейный оператор, удовлетворяющий ‖Ux‖ = ‖x‖ для всех x в H, или, что эквивалентно, удовлетворяющий U * U = I, но не обязательно UU * = I). Пусть P - ортогональная проекция на {ψ ∈ H | Uψ = ψ} = ker (I - U).

Тогда для любого x в H имеем:

lim N → ∞ 1 N ∑ n = 0 N - 1 U nx = P x, {\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} {1 \ over N} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} U ^ {n} x = Px,}

\ lim _ {{N \ to \ infty}} {1 \ over N} \ sum _ {{n = 0}} ^ {{N-1}} U ^ {{n}} x = Px,

где предел относится к норме на H. Другими словами, последовательность средних значений

1 N ∑ n = 0 N - 1 U n {\ displaystyle {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} U ^ {n }}

{\ displaystyle {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} U ^ {n}}

сходится к P в сильной операторной топологии.

Действительно, нетрудно увидеть, что в этом случае любой $x ∈ H {\ displaystyle x \ in H}$ $x \ in H$ допускает ортогональное разложение на части из $ker ⁡ (I - U) {\ displaystyle \ ker (IU)}$ $\ker(IU)$ и $ran ⁡ (I - U) ¯ {\ displaystyle { \ overline {\ operatorname {ran} (IU)}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {ran} (IU)}}}$ соответственно. Первая часть остается неизменной во всех частичных суммах по мере роста $N {\ displaystyle N}$ $N$ , тогда как для второй части из серии телескопических телескопов будет иметься:

lim N → ∞ 1 N ∑ N знак равно 0 N - 1 U N (I - U) = lim N → ∞ 1 N (I - UN) = 0 {\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} {1 \ over N} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} U ^ {n} (IU) = \ lim _ {N \ to \ infty} {1 \ over N} (IU ^ {N}) = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} {1 \ over N} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} U ^ {n} (IU) = \ lim _ {N \ to \ infty} {1 \ over N} (IU ^ {N}) = 0}

Эта теорема специализируется на случае, когда гильбертово пространство H состоит из L функций на пространстве с мерой, а U является оператором вида

U f (x) = f (T x) {\ displaystyle Uf (x) = f (Tx) \,}

Uf(x)=f(Tx)\,

где T - сохраняющий меру эндоморфизм X, рассматриваемый в приложениях как представление временного шага дискретной динамической системы. Затем эргодическая теорема утверждает, что среднее поведение функции на достаточно больших временных масштабах аппроксимируется ортогональной составляющей, которая не зависит от времени.

В другой форме эргодической теоремы о среднем, пусть U t будет сильно непрерывной однопараметрической группой унитарных операторов на H. Тогда оператор

1 T ∫ 0 TU tdt {\ displaystyle {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} U_ {t} \, dt}

{\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} U_ {t} \, dt

сходится в сильной операторной топологии при T → ∞. Фактически, этот результат распространяется также на случай сильно непрерывной однопараметрической полугруппы сжимающих операторов на рефлексивном пространстве.

Примечание: некоторая интуиция для эргодической теоремы о среднем может быть развита, рассматривая случай, когда комплексные числа единичной длины рассматриваются как унитарные преобразования на комплексной плоскости (левым умножением). Если мы выберем одно комплексное число единичной длины (которое мы думаем как U), интуитивно понятно, что его силы заполнят круг. Поскольку окружность симметрична относительно 0, имеет смысл, что средние значения степеней U будут сходиться к 0. Кроме того, 0 - единственная неподвижная точка U, и поэтому проекция на пространство неподвижных точек должна быть нулевым оператором. (что согласуется с только что описанным пределом).

Сходимость эргодических средних в нормах L

Пусть (X, Σ, μ) - это вероятностное пространство с сохраняющим меру преобразованием T, как указано выше, и пусть 1 ≤ p ≤ ∞. Условное математическое ожидание относительно суб-σ-алгебры Σ T T-инвариантных множеств - это линейный проектор E T нормы 1 банахова пространства L (X, Σ, μ) на его замкнутое подпространство L (X, Σ T, μ). Последнее также можно охарактеризовать как пространство всех T-инвариантных L-функций на X. Эргодические средние как линейные операторы на L (X, Σ, μ) также имеет единичную операторную норму; и, как простое следствие теоремы Биркгофа – Хинчина, сходятся к проектору E T в сильной операторной топологии L, если 1 ≤ p ≤ ∞, и в слабая операторная топология, если p = ∞. Более верно, если 1 < p ≤ ∞ then the Wiener–Yoshida–Kakutani ergodic dominated convergence theorem states that the ergodic means of ƒ ∈ L are dominated in L; however, if ƒ ∈ L, the ergodic means may fail to be equidominated in L. Finally, if ƒ is assumed to be in the Zygmund class, that is |ƒ| log(|ƒ|) is integrable, then the ergodic means are even dominated in L.

Время пребывания

Пусть (X, Σ, μ) - пространство с мерой, такое что μ (X) конечно и отлично от нуля. Время, проведенное в измеримом наборе A, называется временем пребывания . Непосредственным следствием эргодической теоремы является то, что в эргодической системе относительная мера A равна среднему времени пребывания :

μ (A) μ (X) = 1 μ (X) ∫ χ A d μ знак равно lim n → ∞ 1 N ∑ К знак равно 0 N - 1 χ A (T kx) {\ displaystyle {\ frac {\ mu (A)} {\ mu (X)}} = {\ frac {1} {\ mu (X)}} \ int \ chi _ {A} \, d \ mu = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \; {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ chi _ {A} (T ^ {k} x)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mu (A)} {\ mu (X)}} = {\ frac {1} {\ mu ( X)}} \ int \ chi _ {A} \, d \ mu = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \; {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ { n-1} \ chi _ {A} (T ^ {k} x)}

для всех x, кроме набора меры нуля, где χ A - это индикаторная функция для A.

время появления измеримого набора A определяется как набор k 1, k 2, k 3,..., раз k таких, что T (x) находится в A, отсортированных в порядке возрастания. Различия между последовательными временами появления R i = k i - k i-1 называются временами повторения A. Другое следствие эргодической теоремы состоит в том, что среднее время повторения A обратно пропорционально мере A, если предположить, что начальная точка x находится в A, так что k 0 = 0.

R 1 + ⋯ + R nn → μ (X) μ (A) (почти наверняка) {\ displaystyle {\ frac {R_ {1} + \ cdots + R_ {n}} {n}} \ rightarrow {\ frac {\ mu ( X)} {\ mu (A)}} \ quad {\ text {(почти наверняка)}}}

{\ displaystyle {\ frac {R_ {1} + \ cdots + R_ {n}} {n}} \ rightarrow {\ frac {\ mu (X)} {\ mu (A)}} \ quad {\ text { (почти наверняка)}}}

(см. почти наверняка.) То есть, чем меньше A, тем длиннее нужно вернуться к нему.

Эргодические потоки на многообразиях

Эргодичность геодезического потока на компактном римановых поверхностях переменной отрицательной кривизна и на компактных многообразиях постоянной отрицательной кривизны любой размерности была доказана Эберхардом Хопфом в 1939 году, хотя частные случаи были изучены ранее: см., например, Бильярд Адамара (1898 г.) и Бильярд Артина (1924 г.). Связь геодезических потоков на римановых поверхностях и однопараметрических подгрупп на SL (2, R) была описана в 1952 г. С.В. Фоминым и И.М. Гельфандом. Потоки Аносова представляют собой пример эргодических потоков на SL (2, R ) и на римановых поверхностях отрицательной кривизны. Большая часть описанных там разработок обобщается на гиперболические многообразия, поскольку они могут быть рассматривается как частные гиперболического пространства посредством действия решетки в полупростой группе Ли SO (n, 1). Эргодичность геодезического потока на римановых симметрических пространствах было продемонстрировано Ф.И. Маутнером в 1957 г. В 1967 г. Д.В. Аносов и Я.Г. Синай доказана эргодичность геодезического потока на компактных многообразиях переменной отрицательной секционной кривизны. Простой критерий эргодичности однородного потока на однородном пространстве полупростой группы Ли предоставил Кальвин К. Мур в 1966 году. Многие из теорем и результатов из этой области исследований типичны для теории жесткости.

В 1930-е годы Г. А. Хедлунд доказал, что поток орициклов на компактной гиперболической поверхности минимален и эргодичен. Уникальная эргодичность потока была установлена Гиллелем Фюрстенбергом в 1972 году. Теоремы Ратнера обеспечивают главное обобщение эргодичности унипотентных потоков на однородных пространствах вида Γ \ G, где G - a группа Ли и Γ является решеткой в G.

За последние 20 лет было много работ, пытающихся найти теорему классификации меры, аналогичную Ратнер, но для диагонализируемых действий, мотивированных гипотезами Фюрстенберга и Маргулиса. Важный частичный результат (решение этих гипотез с дополнительным предположением о положительной энтропии) был доказан Илоном Линденштраусом, и он был награжден медалью Филдса в 2010 году за этот результат.

См. Также

Ссылки

Исторические ссылки

Биркгоф, Джордж Дэвид (1931), «Доказательство эргодической теоремы», Proc. Natl. Акад. Sci. США, 17 (12): 656–660, Bibcode : 1931PNAS... 17..656B, doi : 10.1073 / pnas.17.12.656, PMC 1076138, PMID 16577406.
Биркгоф, Джордж Дэвид (1942), «Что такое эргодическая теорема?», Амер. Математика. Ежемесячно, 49 (4): 222–226, doi : 10.2307 / 2303229, JSTOR 2303229.
von Нойман, Джон (1932), "Доказательство квазиэргодической гипотезы", Proc. Natl. Акад. Sci. США, 18 (1): 70–82, Bibcode : 1932PNAS... 18... 70N, doi : 10.1073 / pnas.18.1.70, PMC 1076162, PMID 16577432.
фон Нейман, Джон ( 1932), "Физические приложения эргодической гипотезы", Proc. Natl. Акад. Sci. США, 18 (3): 263–266, Bibcode : 1932PNAS... 18..263N, doi : 10.1073 / pnas.18.3.263, JSTOR 86260, PMC 1076204, PMID 16587674.
Хопф, Эберхард (1939), "Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung", Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Акад. Wiss., 91 : 261–304.
Фомин, Сергей В. ; Гельфанд И. М. (1952), "Геодезические потоки на многообразиях постоянной отрицательной кривизны", УМН. Наук, 7 (1): 118–137.
Маутнер, Ф. И. (1957), «Геодезические потоки на симметричных римановых пространствах», Ann. Math., 65 (3): 416–431, doi : 10.2307 / 1970054, JSTOR 1970054.
Мур, CC (1966), "Эргодичность потоков на однородных пространствах", Amer. J. Math., 88 (1): 154–178, doi : 10.2307 / 2373052, JSTOR 2373052.

Современные референции

DV Anosov (2001) [1994], Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
В этой статье используется материал из эргодической теоремы из PlanetMath, который распространяется под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.
Владимир Игоревич Арнольд и Андре Авез, Эргодические проблемы классической механики. Нью-Йорк: В.А.Бенджамин. 1968.
Лео Брейман, Probability. Оригинальное издание, опубликованное Эддисоном-Уэсли, 1968 г.; перепечатано Обществом промышленной и прикладной математики, 1992. ISBN 0-89871-296-3. (См. Главу 6.)
Уолтерс, Питер (1982), Введение в эргодическую теорию, Graduate Texts in Mathematics, 79, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95152-0, Zbl 0475.28009
Тим Бедфорд; Майкл Кин; Кэролайн Серии, ред. (1991), Эргодическая теория, символическая динамика и гиперболические пространства, Oxford University Press, ISBN 0-19-853390-X (Обзор тем в эргодической теории; с упражнениями.)
Карл Петерсен. Эргодическая теория (Кембриджские исследования по высшей математике). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. 1990.
Джозеф М. Розенблатт и Мате Вейрдл, Точечно-эргодические теоремы через гармонический анализ, (1993), появившиеся в «Эргодической теории и ее связи с гармоническим анализом», Труды Александрийской конференции 1993 г., (1995) Карл Э. Петерсен и Ибрагим А. Салама, редакторы, Cambridge University Press, Кембридж, ISBN 0-521-45999-0. (Обширный обзор эргодических свойств обобщений теоремы эквираспределения для карт сдвига на единичном интервале. Основное внимание уделяется методам, разработанным Бургейном.)
А. Н. Ширяев, Вероятность, 2-е изд., Springer 1996, Sec. V.3. ISBN 0-387-94549-0.
Джозеф Д. Зунд (2002), «Джордж Дэвид Биркгоф и Джон фон Нейман: вопрос о приоритете и эргодические теоремы, 1931 г. –1932 ", Historia Mathematica, 29 (2): 138–156, doi : 10.1006 / hmat.2001.2338 (Подробное обсуждение приоритета открытие и публикация эргодических теорем Биркгофом и фон Нейманом на основе письма последнего своему другу Говарду Перси Робертсону.)
Анджей Ласота, Майкл С. Макки, Хаос, Фракталы и Шум: Стохастик Аспекты динамики. Second Edition, Springer, 1994.

Внешние ссылки

Викицитатник содержит цитаты, относящиеся к: Эргодической теории

Эргодической теории (16 июня 2015 г.) Примечания Космы Рохиллы Шализи
Эргодическая теорема проходит проверку From Physics World