Номер лобби

В комбинаторной математике число переднего плана L m, n подсчитывает число способов, которыми n + m открытых круглых скобок и n - m закрывающих скобок могут быть расположены так, чтобы сформировать начало допустимой последовательности сбалансированных скобок.

Лобб-числа образуют естественное обобщение каталонских чисел, которые подсчитывают количество полных строк сбалансированных круглых скобок заданной длины. Таким образом, n-е каталонское число равно числу Лобба L 0, n. Они названы в честь Эндрю Лобба, который использовал их, чтобы дать простое индуктивное доказательство формулы для каталонского числа n.

Числа Лобба параметризованы двумя неотрицательными целые числа m и n с n ≥ m ≥ 0. (m, n) Число Лобба L m, n дается через биномиальные коэффициенты по формуле

$L\; m,\; n\; =\; 2\; m\; +\; 1\; m\; +\; n\; +\; 1\; (2\; nm\; +\; n)\; для\; n\; \ge \; m\; \ge \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{m,\; n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2m\; +\; 1\}\; \{m\; +\; n\; +1\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{2n\}\; \{m\; +\; n\}\}\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; n\; \backslash \; geq\; m\; \backslash \; geq\; 0.\}$

Треугольник этих чисел начинается как (последовательность A039599 в OEIS )

$1\; 1\; 1\; 2\; 3\; 1\; 5\; 9\; 5\; 1\; 14\; 28\; 20\; 7\; 1\; 42\; 90\; 75\; 35\; 9\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rrrrrr\}\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 1\; \backslash \; \backslash \; 2\; 3\; 1\; \backslash \backslash \; 5\; 9\; 5\; 1\; \backslash \backslash \; 14\; 28\; 20\; 7\; 1\; \backslash \backslash \; 42\; 90\; 75\; 35\; 9\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{array\}\}$

где диагональ равна

$L\; n,\; n\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n,\; n\}\; =\; 1,\}$

, а в левом столбце - каталонские числа

$L\; 0,\; n\; =\; 1\; 1\; +\; n\; (2\; nn).\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\_\; \{0,\; n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; n\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{2n\}\; \{n\}\}.\}$

Помимо подсчета последовательностей скобок, Lo Числа bb также подсчитывают количество способов, которыми n + m копий значения +1 и n - m копий значения -1 могут быть организованы в последовательность так, что все частичные суммы последовательности неотрицательны.

.