Альфапедия

Список интегралов от тригонометрических функций

редактировать
Статья со списком Википедии

Ниже приведен список интегралов ( производные функции ) тригонометрических функций. Для первообразных, включающих как экспоненциальные, так и тригонометрические функции, см. Список интегралов от экспоненциальных функций. Полный список первообразных функций см. В Списки интегралов. Для специальных первообразных, включающих тригонометрические функции, см. Тригонометрический интеграл.

Как правило, если функция sin ⁡ x {\ displaystyle \ sin x}\sin xявляется любой тригонометрической функцией, и соз ⁡ Икс {\ displaystyle \ cos x}\cos x- его производная,

∫ a cos ⁡ nxdx = грех ⁡ nx + C {\ displaystyle \ int a \ cos nx \, dx = {\ frac {a} {n}} \ sin nx + C}{\displaystyle \int a \cos nx\,dx={\frac {a}{n}}\sin nx+C}

Во всех формулах константа a считается отличной от нуля, а C обозначает константу интегрирования.

Содержание
  • 1 Интегрируемые выражения, включающие только синус
  • 2 Интегранты, содержащие только косинус
  • 3 Интегранты, включающие только тангенс
  • 4 Интегранты, включающие только секанс
  • 5 Интегранты, включающие только косеканс
  • 6 Интегранты, включающие только котангенс
  • 7 Интегранты, включающие как синус, так и косинус
  • 8 Интегральное выражение, включающее как синус, так и тангенс
  • 9 Интегрированное выражение, включающее косинус и тангенс
  • 10 Интегрированное выражение, включающее как синус, так и котангенс
  • 11 Интегрированное выражение, включающее косинус и котангенс
  • 12 Интегрированное выражение рандом, включающим как секущую, так и касательную
  • 13 Интегральная функция, включающая косеканс и котангенс
  • 14 Интегралы за четверть периода
  • 15 Интегралы с симметричными пределами
  • 16 Интеграл по всей окружности
  • 17 См. также
  • 18 Ссылки
Интегрируемые выражения, содержащие только синус
∫ sin ⁡ axdx = - 1 a cos ⁡ ax + C {\ displaystyle \ int \ sin ax \, dx = - {\ frac {1} {a }} \ cos ax + C}{\displaystyle \int \sin ax\,dx=-{\frac {1}{a}}\cos ax+C}
∫ sin 2 ⁡ axdx = x 2 - 1 4 a sin ⁡ 2 ax + C = x 2 - 1 2 a sin ⁡ ax cos ⁡ ax + C {\ displaystyle \ int \ sin ^ {2} {ax} \, dx = {\ frac {x} {2}} - {\ frac {1} {4a}} \ sin 2ax + C = {\ frac {x} {2}} - {\ frac {1} {2a}} \ sin ax \ cos ax + C}{\displaystyle \int \sin ^{2}{ax}\,dx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C}
∫ sin 3 ⁡ axdx = cos ⁡ 3 ax 12 a - 3 cos ⁡ ax 4 a + C {\ displaystyle \ int \ sin ^ {3} {ax} \, dx = {\ frac {\ cos 3ax} {12a}} - {\ frac {3 \ cos ax} {4a}} + C}{\displaystyle \int \sin ^{3}{ax}\,dx={\frac {\cos 3ax}{12a}}-{\frac {3\cos ax}{4a}}+C}
∫ x sin 2 ⁡ axdx = Икс 2 4 - х 4 грех ⁡ 2 топор - 1 8 а 2 соз ⁡ 2 топор + С {\ Displaystyle \ int х \ sin ^ {2} {ax} \, dx = {\ frac {x ^ {2} } {4}} - {\ frac {x} {4a}} \ sin 2ax - {\ frac {1} {8a ^ {2}}} \ cos 2ax + C}{\displaystyle \int x\sin ^{2}{ax}\,dx={\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {x}{4a}}\sin 2ax-{\frac {1}{8a^{2}}}\cos 2ax+C}
∫ x 2 sin 2 ⁡ axdx = х 3 6 - (х 2 4 а - 1 8 а 3) грех ⁡ 2 ax - x 4 a 2 cos ⁡ 2 ax + C {\ displaystyle \ int x ^ {2} \ sin ^ {2} {ax} \, dx = {\ frac {x ^ {3}} {6 }} - \ left ({\ frac {x ^ {2}} {4a}} - {\ frac {1} {8a ^ {3}}} \ right) \ sin 2ax - {\ frac {x} {4a ^ {2}}} \ cos 2ax + C}{\displaystyle \int x^{2}\sin ^{2}{ax}\,dx={\frac {x^{3}}{6}}- \left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax-{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C}
∫ x sin ⁡ axdx = sin ⁡ axa 2 - x cos ⁡ axa + C {\ displaystyle \ int x \ sin ax \, dx = {\ frac {\ sin ax} {a ^ {2}}} - {\ frac {x \ cos ax} {a}} + C}{\ displaystyle \ int x \ sin ax\,dx={\frac {\sin ax}{a^{2}}}-{\frac {x\cos ax}{a}}+C}
∫ (sin ⁡ b 1 x) (sin ⁡ b 2 x) dx = sin ⁡ ((b 2 - b 1) x) 2 (b 2 - b 1) - sin ⁡ ((b 1 + b 2) x) 2 (b 1 + b 2) + C (для | b 1 | ≠ | b 2 |) {\ displaystyle \ int (\ sin b_ {1} x) (\ sin b_ {2} x) \, dx = {\ frac {\ sin ((b_ {2} -b_ {1}) x)} { 2 (b_ {2} -b_ {1})}} - {\ frac {\ sin ((b_ {1} + b_ {2}) x)} {2 (b_ {1} + b_ {2})} } + C \ qquad {\ t_dv {(for}} | b_ {1} | \ neq | b_ {2} | {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int (\sin b_{1}x)(\sin b_{2}x)\,dx={\frac {\sin((b_{2}-b_{1})x)}{2(b_{2}-b_{1})}}-{\frac {\sin((b_{1}+b_{2})x)}{2(b_{1}+b_{2})}}+C\qquad {\t_dv{(for }}|b_{1}|\neq |b_{2}|{\t_dv{)}}}
∫ sin n ⁡ axdx = - sin n - 1 ⁡ топор соз ⁡ axna + N - 1 N ∫ грех n - 2 ⁡ axdx (для n>0) {\ displaystyle \ int \ sin ^ {n} {ax} \, dx = - {\ frac {\ sin ^ {n -1} ax \ cos ax} {na}} + {\ frac {n-1} {n}} \ int \ sin ^ {n-2} ax \, dx \ qquad {\ t_dv {(для}} n>0 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int \sin ^{n}{ax}\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}ax\cos ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}ax\,dx\qquad {\t_dv{(for }}n>0 {\ t_dv {)}}}
∫ dx sin ⁡ ax = - 1 a ln ⁡ | csc ⁡ ax + cot ⁡ ax | + C {\ displaystyle \ int {\ frac dx} {\ sin ax}} = - {\ frac {1} {a}} \ ln {\ left | \ csc {ax} + \ cot {ax} \ right |} + C}{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ax}}=-{\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|}+C}
∫ dx sin n ⁡ ax = соз ⁡ axa (1 - n) грех n - 1 ⁡ ax + n - 2 n - 1 ∫ dx sin n - 2 ⁡ ax (для n>1) {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sin ^ {n} ax}} = {\ frac {\ cos ax} {a (1-n) \ sin ^ {n-1} ax}} + {\ frac {n-2} {n-1 }} \ int {\ frac {dx} {\ sin ^ {n-2} ax}} \ qquad {\ t_dv {(для}} n>1 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{n}ax}}={\frac {\cos ax}{a(1-n)\sin ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\qquad {\t_dv{(for }}n>1 {\ t_dv {)} }}
∫ xn axdx = - xna cos ⁡ ax + na ∫ xn - 1 cos ⁡ axdx = ∑ k = 0 2 k ≤ n (- 1) k + 1 xn - 2 ka 1 + 2 kn! (n - 2 k)! соз ⁡ а Икс + ∑ К знак равно 0 2 К + 1 ≤ N (- 1) К Икс N - 1-2 К А 2 + 2 К N! (п - 2 к - 1)! грех ⁡ а Икс знак равно - ∑ К знак равно 0 N Икс N - К а 1 + К N! (п - к)! соз ⁡ (топор + к π 2) (для п>0) {\ displaystyle {\ begin {align} \ int x ^ {n} \ sin ax \, dx = - {\ frac {x ^ {n}} { a}} \ cos ax + {\ frac {n} {a}} \ int x ^ {n-1} \ cos ax \, dx \\ = \ sum _ {k = 0} ^ {2k \ leq n} (-1) ^ {k + 1} {\ frac {x ^ {n-2k}} {a ^ {1 + 2k}}} {\ frac {n!} {(N-2k)!}} \ Cos ax + \ sum _ {k = 0} ^ {2k + 1 \ leq n} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {n-1-2k}} {a ^ {2 + 2k}}} {\ frac {n!} {(n-2k-1)!}} \ sin ax \\ = - \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {x ^ {nk}} {a ^ {1 + k}}} {\ frac {n!} {(Nk)!}} \ Cos \ left (ax + k {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \ qquad {\ t_dv { (для}} n>0 {\ t_dv {)}} \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\sin ax\,dx=-{\frac {x^{n}}{a}}\cos ax+{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\cos ax\,dx\\=\sum _{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k+1}{\frac {x^{n-2k}}{a^{1+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k)!}}\cos ax+\sum _{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-1-2k}}{a^{2+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k-1)!}}\sin ax\\=-\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{n-k}}{a^{1+k}}}{\frac {n!}{(n-k)!}}\cos \left(ax+k{\frac {\pi }{2}}\right)\qquad {\t_dv{(for }}n>0 {\ t_dv {)}} \ end {align}}}
∫ sin ⁡ axxdx = ∑ 1 = 0 ∞ ( n (топор) 2 N + 1 (2 N + 1) ⋅ (2 N + 1)! + С {\ Displaystyle \ int {\ frac {\ sin ax} {x}} \, dx = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {(ax) ^ {2n + 1}} {(2n + 1) \ cdot (2n + 1)!}} + C}{\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}}+C}
∫ грех ⁡ axxndx = - грех ⁡ ax (n - 1) xn - 1 + an - 1 ∫ cos ⁡ axxn - 1 dx {\ displaystyle \ int {\ f rac {\ sin ax} {x ^ {n}}} \, dx = - {\ frac {\ sin ax} {(n-1) x ^ {n-1}}} + {\ frac {a} { n-1}} \ int {\ frac {\ cos ax} {x ^ {n-1}}} \, dx}{\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x^{n}}}\,dx=-{\frac {\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\cos ax}{x^{n-1}}}\,dx}
∫ dx 1 ± sin ⁡ ax = 1 a tan ⁡ (ax 2 ∓ π 4) + C {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {1 \ pm \ sin ax}} = {\ frac {1} {a}} \ tan \ left ({\ frac {ax} {2}} \ mp {\ frac {\ pi} {4}} \ right) + C}{\displaystyle \int {\frac {dx}{1\pm \sin ax}}={\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C}
∫ xdx 1 + sin ⁡ ax = xa tan ⁡ (ax 2 - π 4) + 2 a 2 ln ⁡ | cos ⁡ (a x 2 - π 4) | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {x \, dx} {1+ \ sin ax}} = {\ frac {x} {a}} \ tan \ left ({\ frac {ax} {2}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ right) + {\ frac {2} {a ^ {2}}} \ ln \ left | \ cos \ left ({\ frac {ax} {2}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ right) \ right | + C}{\displaystyle \int {\frac {x\,dx}{1+\sin ax}}={\frac {x}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫ xdx 1 - sin ⁡ ax = xa cot ⁡ (π 4 - ax 2) + 2 a 2 ln ⁡ | sin ⁡ (π 4 - a x 2) | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {x \, dx} {1- \ sin ax}} = {\ frac {x} {a}} \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {4} } - {\ frac {ax} {2}} \ right) + {\ frac {2} {a ^ {2}}} \ ln \ left | \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {4} } - {\ frac {ax} {2}} \ right) \ right | + C}{\displaystyle \int {\frac {x\,dx}{1-\sin ax}}={\frac {x}{a}}\cot \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C}
∫ sin ⁡ axdx 1 ± sin ⁡ ax = ± x + 1 a tan ⁡ (π 4 ∓ ax 2) + C {\ displaystyle \ int {\ frac {\ sin ax \, dx} {1 \ pm \ sin ax}} = \ pm x + {\ frac {1} {a}} \ tan \ left ({\ frac {\ pi } {4}} \ mp {\ frac {ax} {2}} \ right) + C}{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{1\pm \sin ax}}=\pm x+{\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {\pi }{4}}\mp {\frac {ax}{2}}\right)+C}
Интегральные выражения, содержащие только косинус
∫ cos ⁡ axdx = 1 a sin ⁡ ax + C {\ displaystyle \ int \ cos ax \, dx = {\ frac {1} {a}} \ sin ax + C}{\displaystyle \int \cos ax\,dx={\frac {1}{a}}\sin ax+C}
∫ cos 2 ⁡ axdx = x 2 + 1 4 a sin ⁡ 2 ax + C = x 2 + 1 2 грех ⁡ ax cos ⁡ ax + C {\ displaystyle \ int \ cos ^ {2} {ax} \, dx = {\ frac {x} {2}} + {\ frac {1} {4a} } \ sin 2ax + C = {\ frac {x} {2}} + {\ frac {1} {2a}} \ sin ax \ cos ax + C}{\displaystyle \int \cos ^{2}{ax}\,dx={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C}
∫ cos n ⁡ axdx = cos n - 1 ⁡ топор грех ⁡ axna + N - 1 N ∫ соз N - 2 ⁡ axdx (для n>0) {\ displaystyle \ int \ cos ^ {n} ax \, dx = {\ frac {\ cos ^ {n-1 } ax \ sin ax} {na}} + {\ frac {n-1} {n}} \ int \ cos ^ {n-2} ax \, dx \ qquad {\ t_dv {(для} } n>0 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int \cos ^{n}ax\,dx={\frac {\cos ^{n-1}ax\sin ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}ax\,dx\qquad {\t_dv{(for }}n>0 {\ t_dv {)}}}
∫ x cos ⁡ axdx = cos ⁡ axa 2 + x sin ⁡ axa + C {\ displaystyle \ int x \ cos ax \ = {\ frac {\ cos ax} {a ^ {2}}} + {\ frac {x \ sin ax} {a}} + C}{\displaystyle \int x\cos ax\,dx={\frac {\cos ax}{a^{2}}}+{\frac {x\sin ax}{a}}+C}
∫ x 2 cos 2 ⁡ axdx = x 3 6 + ( Икс 2 4 a - 1 8 a 3) грех ⁡ 2 ax + x 4 a 2 cos ⁡ 2 ax + C {\ displaystyle \ int x ^ {2} \ cos ^ {2} {ax} \, dx = {\ frac {x ^ {3}} {6}} + \ left ({\ frac {x ^ {2}} {4a}} - {\ frac {1} {8a ^ {3}}} \ right) \ sin 2ax + {\ frac {x} {4a ^ {2}}} \ cos 2ax + C}{\displaystyle \int x^{2}\cos ^{2}{ax}\,dx={\frac {x^{3}}{6}}+\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax+{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C}
∫ xn cos ⁡ axdx = xn sin ⁡ axa - na ∫ xn - 1 sin ⁡ axdx = ∑ k = 0 2 k + 1 ≤ n (- 1) kxn - 2 k - 1 a 2 + 2 kn! (п - 2 к - 1)! соз ⁡ а Икс + ∑ К знак равно 0 2 К ≤ N (- 1) К Икс N - 2 К а 1 + 2 К N! (n - 2 k)! грех ⁡ а Икс знак равно ∑ К знак равно 0 N (- 1) ⌊ К / 2 ⌋ Икс N - К а 1 + К N! (п - к)! соз ⁡ (а Икс - (- 1) К + 1 2 π 2) знак равно ∑ К знак равно 0 N Икс N - К а 1 + К N! (п - к)! грех ⁡ (топор + к π 2) (для п>0) {\ displaystyle {\ begin {align} \ int x ^ {n} \ cos ax \, dx = {\ frac {x ^ {n} \ sin ax } {a}} - {\ frac {n} {a}} \ int x ^ {n-1} \ sin ax \, dx \\ = \ sum _ {k = 0} ^ {2k + 1 \ leq n} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {n-2k-1}} {a ^ {2 + 2k}}} {\ frac {n!} {(n-2k-1)! }} \ cos ax + \ sum _ {k = 0} ^ {2k \ leq n} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {n-2k}} {a ^ {1 + 2k}}} {\ frac {n!} {(n-2k)!}} \ sin ax \\ = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {\ lfloor k / 2 \ rfloor} { \ frac {x ^ {nk}} {a ^ {1 + k}}} {\ frac {n!} {(nk)!}} \ cos \ left (ax - {\ frac {(-1) ^ { k} +1} {2}} {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \\ = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {x ^ {nk}} { a ^ {1 + k}}} {\ frac {n!} {(nk)!}} \ sin \ left (ax + k {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \ qquad {\ t_dv {(для}} n>0 {\ t_dv {)}} \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\cos ax\,dx={\frac {x^{n}\sin ax}{a}}-{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\sin ax\,dx\\=\sum _{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k-1)!}}\cos ax+\sum _{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-2k}}{a^{1+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k)!}}\sin ax\\=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{\lfloor k/2\rfloor }{\frac {x^{n-k}}{a^{1+k}}}{\frac {n!}{(n-k)!}}\cos \left(ax-{\frac {(-1)^{k}+1}{2}}{\frac {\pi }{2}}\right)\\=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{n-k}}{a^{1+k}}}{\frac {n!}{(n-k)!}}\sin \left(ax+k{\frac {\pi }{2}}\right)\qquad {\t_dv{(for }}n>0 {\ t_dv {)}} \ end {align}}}
∫ cos ⁡ axxdx = ln ⁡ | k ax | + ∑ Знак равно 1 ∞ (- 1) К (ах) 2 К 2 К ⋅ (2 К)! + С {\ Displaystyle \ int {\ frac {\ cos ax} {x}} \, dx = \ ln | ax | + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ fr ac {(ax) ^ {2k}} {2k \ cdot (2k)!}} + C}{\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x}}\,dx=\ln |ax|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(ax)^{2k}}{2k\cdot (2k)!}}+C}
∫ cos ⁡ axxndx = - cos ⁡ ax (n - 1) xn - 1 - an - 1 ∫ sin ⁡ axxn - 1 dx (для n ≠ 1) {\ displaystyle \ int {\ frac {\ cos ax} {x ^ {n}}} \, dx = - {\ frac {\ cos ax} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {\ frac {a} {n-1}} \ int {\ frac {\ sin ax} {x ^ {n-1}}} \, dx \ qquad {\ t_dv {(for}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x^{n}}}\,dx=-{\frac {\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\sin ax}{x^{n-1}}}\,dx\qquad {\t_dv{(for }}n\neq 1{\t_dv{)}}}
∫ dx cos ⁡ ax = 1 a ln ⁡ | tan ⁡ (a x 2 + π 4) | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ cos ax}} = {\ frac {1} {a}} \ ln \ left | \ tan \ left ({\ frac {ax} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right) \ right | + C}{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫ dx cos n ⁡ ax = sin ⁡ axa (n - 1) cos n - 1 ⁡ ax + n - 2 n - 1 ∫ dx соз n - 2 ⁡ ax (для n>1) {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ cos ^ {n} ax}} = {\ frac {\ sin ax} {a (n -1) \ cos ^ {n-1} ax}} + {\ frac {n-2} {n-1}} \ int {\ frac {dx} {\ cos ^ {n-2} ax}} \ qquad {\ t_dv {(для}} n>1 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\t_dv{(for }}n>1 {\ t_dv {)}}}
∫ dx 1 + cos ⁡ ax = 1 a tan ⁡ ax 2 + C {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {1+ \ cos ax}} = {\ frac {1} {a}} \ tan {\ frac {ax} {2}} + C}{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cos ax}}={\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C}
∫ dx 1 - cos ⁡ ax = - 1 детская кроватка ⁡ ax 2 + C {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {1- \ cos ax}} = - {\ frac {1} {a}} \ cot {\ frac {ax} { 2}} + C}{\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C}
∫ xdx 1 + cos ⁡ ax = xa tan ⁡ ax 2 + 2 a 2 ln ⁡ | cos ⁡ ax 2 | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {x \, dx} {1+ \ cos ax}} = {\ frac {x} {a}} \ tan {\ frac {ax} {2} } + {\ frac {2} {a ^ {2}}} \ ln \ left | \ cos {\ frac {ax} {2}} \ right | + C}{\displaystyle \int {\frac {x\,dx}{1+\cos ax}}={\frac {x}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫ xdx 1 - cos ⁡ ax = - x детская кроватка ⁡ ax 2 + 2 a 2 ln ⁡ | sin ⁡ a x 2 | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {x \, dx} {1- \ cos ax}} = - {\ frac {x} {a}} \ cot {\ frac {ax} {2}} + { \ frac {2} {a ^ {2}}} \ ln \ left | \ sin {\ frac {ax} {2}} \ right | + C}{\displaystyle \int {\frac {x\,dx}{1-\cos ax}}=-{\frac {x}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫ cos ⁡ axdx 1 + cos ⁡ ax = x - 1 a tan ⁡ ax 2 + C {\ displaystyle \ int {\ frac {\ cos ax \, dx} {1+ \ cos ax}} = x - {\ frac {1} {a}} \ tan {\ frac {ax} {2}} + C}{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{1+\cos ax}}=x-{\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C}
∫ cos ⁡ axdx 1 - cos ⁡ ax = - x - 1 детская кроватка ⁡ ax 2 + C {\ displaystyle \ int {\ frac {\ cos ax \, dx } {1- \ cos ax}} = - x - {\ frac {1} {a}} \ cot {\ frac {ax} {2}} + C}{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{1-\cos ax}}=-x-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C}
∫ (cos ⁡ a 1 x) ( cos ⁡ a 2 x) dx = sin ⁡ ((a 2 - a 1) x) 2 (a 2 - a 1) + sin ⁡ ((a 2 + a 1) x) 2 (a 2 + a 1) + С (для | a 1 | ≠ | a 2 |) {\ displaystyle \ int (\ cos a_ {1} x) (\ cos a_ {2} x) \, dx = {\ frac {\ sin ((a_ { 2} -a_ {1}) x)} {2 (a_ {2} -a_ {1})}} + {\ frac {\ sin ((a_ {2} + a_ {1}) x)} {2 (a_ {2} + a_ {1})}} + C \ qquad {\ t_dv {(для}} | a_ {1} | \ neq | a_ {2} | {\ t_dv {)}}}{\dis playstyle \int (\cos a_{1}x)(\cos a_{2}x)\,dx={\frac {\sin((a_{2}-a_{1})x)}{2(a_{2}-a_{1})}}+{\frac {\sin((a_{2}+a_{1})x)}{2(a_{2}+a_{1})}}+C\qquad {\t_dv{(for }}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\t_dv{)}}}
Интегранты, включающие только касательную
∫ tan ⁡ axdx = - 1 a ln ⁡ | cos ⁡ a x | + C = 1 a ln ⁡ | sec ⁡ a x | + C {\ displaystyle \ int \ tan ax \, dx = - {\ frac {1} {a}} \ ln | \ cos ax | + C = {\ frac {1} {a}} \ ln | \ sec ах | + C}{\displaystyle \int \tan ax\,dx=-{\frac {1}{a}}\ln |\cos ax|+C={\frac {1}{a}}\ln |\sec ax|+C}
∫ загар 2 ⁡ xdx = загар ⁡ x - x + C {\ displaystyle \ int \ tan ^ {2} {x} \, dx = \ tan {x} -x + C}{\displaystyle \int \tan ^{2}{x}\,dx=\tan {x}-x+C}
∫ загар n ⁡ axdx = 1 a (n - 1) загар n - 1 ⁡ ax - ∫ загар n - 2 ⁡ axdx (для n ≠ 1) {\ displaystyle \ int \ tan ^ {n} ax \, dx = {\ frac {1} {a (n-1)}} \ tan ^ {n-1} ax- \ int \ tan ^ {n-2} ax \, dx \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int \tan ^{n}ax\,dx={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}ax-\int \tan ^{n-2}ax\,dx\qquad {\t_dv{(for }}n\neq 1{\t_dv{)}}}
∫ dxq tan ⁡ ax + p = 1 p 2 + q 2 (px + qa ln ⁡ | q sin ⁡ ax + p cos ⁡ ax |) + C ( для p 2 + q 2 ≠ 0) {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {q \ tan ax + p}} = {\ frac {1} {p ^ {2} + q ^ {2}}} (px + {\ frac {q} {a}} \ ln | q \ sin ax + p \ cos ax |) + C \ qquad {\ t_dv {(для}} p ^ {2} + q ^ {2} \ neq 0 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int {\frac {dx}{q\tan ax+p}}={\frac {1}{p^{2}+q^{2}}}(px+{\frac {q}{a}}\ln |q\sin ax+p\cos ax|)+C\qquad {\t_dv{(for }}p^{2}+q^{2}\neq 0{\t_dv{)}}}
∫ dx tan ⁡ ax ± 1 = ± x 2 + 1 2 a ln ⁡ | sin ⁡ a x ± cos ⁡ a x | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ tan ax \ pm 1}} = \ pm {\ frac {x} {2}} + {\ frac {1} {2a}} \ ln | \ sin ax \ pm \ cos ax | + C}{\displaystyle \int {\frac {dx}{\tan ax\pm 1}}=\pm {\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax\pm \cos ax|+C}
∫ tan ⁡ axdx tan ⁡ ax ± 1 = x 2 ∓ 1 2 a ln ⁡ | sin ⁡ a x ± cos ⁡ a x | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {\ tan ax \, dx} {\ tan ax \ pm 1}} = {\ frac {x} {2}} \ mp {\ frac {1} {2a}} \ ln | \ sin ax \ pm \ cos ax | + C}{\displaystyle \int {\frac {\tan ax\,dx}{\tan ax\pm 1}}={\frac {x}{2}}\mp {\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax\pm \cos ax|+C}
Интеграл, включающий только секанс
См. Интеграл функции секанса.
∫ sec ⁡ axdx = 1 a ln ⁡ | сек ⁡ а х + загар ⁡ а х | + C = 1 a ln ⁡ | tan ⁡ (a x 2 + π 4) | + C {\ displaystyle \ int \ sec {ax} \, dx = {\ frac {1} {a}} \ ln {\ left | \ sec {ax} + \ tan {ax} \ right |} + C = {\ frac {1} {a}} \ ln {\ left | \ tan {\ left ({\ frac {ax} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} \ right |} + C}{\displaystyle \int \sec {ax}\,dx={\frac {1}{a}}\ln {\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|}+C={\frac {1}{a}}\ln {\left|\tan {\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}\right|}+C}
∫ sec 2 ⁡ xdx = tan ⁡ x + C {\ displaystyle \ int \ sec ^ {2} {x} \, dx = \ tan {x} + C}{\displaystyle \int \sec ^{2}{x}\,dx=\tan {x}+C}
∫ sec 3 ⁡ xdx = 1 2 сек ⁡ x загар ⁡ x + 1 2 ln ⁡ | сек ⁡ x + tan ⁡ x | + С. {\ displaystyle \ int \ sec ^ {3} {x} \, dx = {\ frac {1} {2}} \ sec x \ tan x + {\ frac {1} {2}} \ ln | \ sec x + \ tan x | + C.}\int \sec^3{x} \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C.
∫ sec n ⁡ axdx = sec n - 2 ⁡ ax tan ⁡ axa (n - 1) + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ axdx (для n ≠ 1) {\ displaystyle \ int \ sec ^ {n} {ax} \, dx = {\ frac {\ sec ^ {n-2} {ax} \ tan {ax}} {a (n-1)}} \, + \, {\ frac {n-2} {n-1}} \ int \ sec ^ {n-2} {ax} \, dx \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int \sec ^{n}{ax}\,dx={\frac {\sec ^{n-2}{ax}\tan {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{ax}\,dx\qquad {\t_dv{ (for }}n\neq 1{\t_dv{)}}}
∫ dx sec ⁡ x + 1 = x - tan ⁡ x 2 + C {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sec {x} +1}} = x- \ tan {\ frac {x} {2}} + C}{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sec {x}+1}}=x-\tan {\frac {x}{2}}+C}
∫ dx sec ⁡ x - 1 = - x - кроватка ⁡ x 2 + C {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sec {x } -1}} = - x- \ cot {\ frac {x} {2}} + C}{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sec {x}-1}}=-x-\cot {\frac {x}{2}}+C}
Интегрируемые выражения, включающие только косеканс
∫ csc ⁡ axdx = - 1 a ln ⁡ | csc ⁡ a x + кроватка ⁡ a x | + C = 1 a ln ⁡ | csc ⁡ a x - детская кроватка ⁡ a x | + C = 1 a ln ⁡ | tan ⁡ (a x 2) | + C {\ displaystyle \ int \ csc {ax} \, dx = - {\ frac {1} {a}} \ ln {\ left | \ csc {ax} + \ cot {ax} \ right |} + C = {\ frac {1} {a}} \ ln {\ left | \ csc {ax} - \ cot {ax} \ right |} + C = {\ frac {1} {a}} \ ln {\ left | \ tan {\ left ({\ frac {ax} {2}} \ right)} \ right |} + C}{\displaystyle \int \csc {ax}\,dx=-{\frac {1}{a}}\ln {\left|\c sc {ax}+\cot {ax}\right|}+C={\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}-\cot {ax}\right|}+C={\frac {1}{a}}\ln {\left|\tan {\left({\frac {ax}{2}}\right)}\right|}+C}
∫ csc 2 ⁡ xdx = - кроватка ⁡ x + C {\ displaystyle \ int \ csc ^ {2} {x} \, dx = - \ cot {x} + C}{\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\,dx=-\cot {x}+C}
∫ csc 3 ⁡ xdx = - 1 2 csc ⁡ x детская кроватка ⁡ x - 1 2 ln ⁡ | csc ⁡ x + детская кроватка ⁡ x | + C = - 1 2 csc ⁡ x детская кроватка ⁡ x + 1 2 ln ⁡ | csc ⁡ x - детская кроватка ⁡ x | + С {\ displaystyle \ int \ csc ^ {3} {x} \, dx = - {\ frac {1} {2}} \ csc x \ cot x - {\ frac {1} {2}} \ ln | \ csc x + \ cot x | + C = - {\ frac {1} {2}} \ csc x \ cot x + {\ frac {1} {2}} \ ln | \ csc x- \ cot x | + C}{\displaystyle \int \csc ^{3}{x}\,dx=-{\ frac {1}{2}}\csc x\cot x-{\frac {1}{2}}\ln |\csc x+\cot x|+C=-{\frac {1}{2}}\ csc x\cot x+{\frac {1}{2}}\ln |\csc x-\cot x|+ C}
∫ csc n ⁡ axdx = - csc n - 2 ⁡ топор кроватка ⁡ axa (n - 1) + n - 2 n - 1 ∫ csc n - 2 ⁡ axdx (для n ≠ 1) {\ displaystyle \ int \ csc ^ {n} {ax} \, dx = - {\ frac {\ csc ^ {n-2} {ax} \ cot {ax}} {a (n-1)}} \, + \, {\ frac {n-2} {n-1}} \ int \ csc ^ {n-2} {ax} \, dx \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq 1 {\ t_dv {)} }}{\displaystyle \int \csc ^{n}{ax}\,dx=-{\frac {\csc ^{n-2}{ax}\cot {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}{ax}\,dx\qquad {\t_dv{ (for }}n\neq 1{\t_dv{)}}}
∫ dx csc ⁡ x + 1 = x - 2 детская кроватка ⁡ x 2 + 1 + C {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ csc {x} +1}} = x - {\ гидроразрыв {2} {\ cot {\ frac {x} {2}} + 1}} + C}{\displaystyle \int {\frac {dx}{\csc {x}+1}}=x-{\frac {2}{\cot {\frac {x}{2}}+1}}+C}
∫ dx csc ⁡ x - 1 = - x + 2 раскладушка ⁡ x 2 - 1 + C {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ csc {x} -1}} = - x + {\ frac {2} {\ cot {\ frac {x} {2}} - 1}} + C}{\displaystyle \int {\frac {dx}{\csc {x}-1}}=-x+{\frac {2}{\cot {\frac {x}{2}}-1}}+C}
Интегранды, включающие только котангенс
cot ⁡ axdx = 1 a ln ⁡ | sin ⁡ a x | + C {\ displaystyle \ int \ cot ax \, dx = {\ frac {1} {a}} \ ln | \ sin ax | + C}{\displaystyle \int \cot ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln |\sin ax|+C}
∫ детская кроватка 2 ⁡ xdx = - детская кроватка ⁡ x - x + C {\ displaystyle \ int \ cot ^ {2} {x} \, dx = - \ cot {x} -x + C}{\displaystyle \int \cot ^{2}{x}\,dx=-\cot {x}-x+C}
∫ детская кроватка n ⁡ axdx = - 1 a (n - 1) детская кроватка n - 1 ⁡ топор - ∫ детская кроватка n - 2 ⁡ axdx (для n ≠ 1) {\ displaystyle \ int \ cot ^ {n} ax \, dx = - {\ frac {1} {a (n-1)}} \ cot ^ {n-1} ax- \ int \ cot ^ {n-2} ax \, dx \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int \cot ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\cot ^{n-1}ax-\int \cot ^{n-2}ax\,dx\qquad {\t_dv{(for }}n\neq 1{\t_dv{)}}}
∫ dx 1 + детская кроватка ⁡ ax = ∫ tan ⁡ axdx tan ⁡ ax + 1 = x 2 - 1 2 a ln ⁡ | грех ⁡ а х + соз ⁡ а х | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {1+ \ cot ax}} = \ int {\ frac {\ tan ax \, dx} {\ tan ax + 1}} = {\ frac {x} {2}} - {\ frac {1} {2a}} \ ln | \ sin ax + \ cos ax | + C}{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\,dx}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C}
∫ dx 1 - кроватка ⁡ ax = ∫ tan ⁡ axdx tan ⁡ ax - 1 = x 2 + 1 2 а ln ⁡ | грех ⁡ а х - соз ⁡ а х | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {1- \ cot ax}} = \ int {\ frac {\ tan ax \, dx} {\ tan ax-1}} = {\ frac {x} {2}} + {\ frac {1} {2a}} \ ln | \ sin ax- \ cos ax | + C}{\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\,dx}{\tan ax-1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C}
Интегрируемые выражения, включающие как синус, так и косинус

Интеграл, который является рациональной функцией синуса и косинуса, может быть вычислен с использованием правил Биош.

∫ dx cos ⁡ ax ± sin ⁡ ax = 1 a 2 ln ⁡ | tan ⁡ (a x 2 ± π 8) | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ cos ax \ pm \ sin ax}} = {\ frac {1} {a {\ sqrt {2}}}} \ ln \ left | \ tan \ left ({\ frac {ax} {2}} \ pm {\ frac {\ pi} {8}} \ right) \ right | + C}{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ax\pm \sin ax}}={\frac {1}{a{\sqrt {2}}}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}\pm {\frac {\pi }{8}}\right)\right|+C}
∫ dx (cos ⁡ ax ± sin ⁡ ax) 2 = 1 2 a загар ⁡ (топор ∓ π 4) + C {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {(\ cos ax \ pm \ sin ax) ^ {2}}} = {\ frac {1} {2a }} \ tan \ left (ax \ mp {\ frac {\ pi} {4}} \ right) + C}{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos ax\pm \sin ax)^{2}}}={\frac {1}{2a}}\tan \left(ax\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C}
∫ dx (cos ⁡ x + sin ⁡ x) n = 1 n - 1 (sin ⁡ Икс - соз ⁡ Икс (соз ⁡ Икс + грех ⁡ Икс) n - 1 - 2 (n - 2) ∫ dx (соз ⁡ x + sin ⁡ x) n - 2) {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {(\ cos x + \ sin x) ^ {n}}} = {\ frac {1} {n-1}} \ left ({\ frac {\ sin x- \ cos x} {(\ cos x + \ sin x) ^ {n-1}}} - 2 (n-2) \ int {\ frac {dx} {(\ cos x + \ sin x) ^ {n-2}}} \ right)}{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x)^{n-1}}}-2(n-2)\int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n-2}}}\right)}
∫ cos ⁡ axdx cos ⁡ ax + sin ⁡ ax = x 2 + 1 2 a ln ⁡ | грех ⁡ а х + соз ⁡ а х | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {\ cos ax \, dx} {\ cos ax + \ sin ax}} = {\ frac {x} {2}} + {\ frac {1} {2a}} \ ln \ left | \ sin ax + \ cos ax \ right | + C}{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C}
∫ cos ⁡ axdx cos ⁡ ax - sin ⁡ ax = x 2 - 1 2 a ln ⁡ | грех ⁡ а х - соз ⁡ а х | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {\ cos ax \, dx} {\ cos ax- \ sin ax}} = {\ frac {x} {2}} - {\ frac {1} {2a}} \ ln \ left | \ sin ax- \ cos ax \ right | + C}{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{\cos ax-\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}
∫ sin ⁡ axdx cos ⁡ ax + sin ⁡ ax = x 2 - 1 2 a ln ⁡ | грех ⁡ а х + соз ⁡ а х | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {\ sin ax \, dx} {\ cos ax + \ sin ax}} = {\ frac {x} {2}} - {\ frac {1} {2a}} \ ln \ left | \ sin ax + \ cos ax \ right | + C}{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C}
∫ sin ⁡ axdx cos ⁡ ax - sin ⁡ ax = - x 2 - 1 2 a ln ⁡ | грех ⁡ а х - соз ⁡ а х | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {\ sin ax \, dx} {\ cos ax- \ sin ax}} = - {\ frac {x} {2}} - {\ frac {1} {2a} } \ ln \ left | \ sin ax- \ cos ax \ right | + C}{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ax-\sin ax}}=-{\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}
∫ cos ⁡ axdx (sin ⁡ ax) (1 + cos ⁡ ax) = - 1 4 a tan 2 ⁡ ax 2 + 1 2 a ln ⁡ | tan ⁡ a x 2 | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {\ cos ax \, dx} {(\ sin ax) (1+ \ cos ax)}} = - {\ frac {1} {4a}} \ tan ^ {2 } {\ frac {ax} {2}} + {\ frac {1} {2a}} \ ln \ left | \ tan {\ frac {ax} {2}} \ right | + C}{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1+\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\tan ^{2}{\frac {ax}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫ cos ⁡ axdx (sin ⁡ ax) (1 - cos ⁡ ax) = - 1 4 детская кроватка 2 ⁡ ax 2 - 1 2 a ln ⁡ | tan ⁡ a x 2 | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {\ cos ax \, dx} {(\ sin ax) (1- \ cos ax)}} = - {\ frac {1} {4a}} \ cot ^ {2 } {\ frac {ax} {2}} - {\ frac {1} {2a}} \ ln \ left | \ tan {\ frac {ax} {2}} \ right | + C}{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1-\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\cot ^{2}{\frac {ax}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫ грех ⁡ axdx (cos ⁡ ax) (1 + sin ⁡ ax) = 1 4 детская кроватка 2 ⁡ (ax 2 + π 4) + 1 2 a ln ⁡ | tan ⁡ (a x 2 + π 4) | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {\ sin ax \, dx} {(\ cos ax) (1+ \ sin ax)}} = {\ frac {1} {4a}} \ cot ^ {2} \ left ({\ frac {ax} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right) + {\ frac {1} {2a}} \ ln \ left | \ tan \ left ({ \ frac {ax} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right) \ right | + C}{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1+\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\cot ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫ sin ⁡ axdx (cos ⁡ ax) (1 - sin ⁡ ax) = 1 4 a tan 2 ⁡ (ax 2 + π 4) - 1 2 a ln ⁡ | tan ⁡ (a x 2 + π 4) | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {\ sin ax \, dx} {(\ cos ax) (1- \ sin ax)}} = {\ frac {1} {4a}} \ tan ^ {2} \ left ({\ frac {ax} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right) - {\ frac {1} {2a}} \ ln \ left | \ tan \ left ({ \ frac {ax} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right) \ right | + C}{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1-\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\tan ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫ (sin ⁡ ax) (cos ⁡ ax) dx = 1 2 a sin 2 ⁡ ax + C {\ displaystyle \ int (\ sin ax) (\ cos ax) \, dx = {\ frac {1} {2a}} \ sin ^ {2} ax + C}{\displaystyle \int (\sin ax)(\cos ax)\,dx={\frac {1}{2a}}\sin ^{2}ax+C}
∫ (sin ⁡ a 1 x) (cos ⁡ a 2 x) dx = - cos ⁡ ((a 1 - a 2) x) 2 (a 1 - a 2) - cos ⁡ ((a 1 + a 2) x) 2 ( a 1 + a 2) + C (для | a 1 | ≠ | a 2 |) {\ displaystyle \ int (\ sin a_ {1} x) (\ cos a_ {2} x) \, dx = - {\ frac {\ cos ((a_ {1} -a_ {2}) x)} {2 (a_ {1} -a_ {2})}} - {\ frac {\ cos ((a_ {1} + a_ { 2}) x)} {2 (a_ {1} + a_ {2})}} + C \ qquad {\ t_dv {(для}} | a_ {1} | \ neq | a_ {2} | {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int (\sin a_{1}x)(\cos a_{2}x)\,dx=-{\frac {\cos((a_{1}-a_{2})x)}{2(a_{1}-a_{2})}}-{\frac {\cos((a_{1}+a_{2})x)}{2(a_{1}+a_{2})}}+C\qquad {\t_dv{(for }}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\t_dv{)}}}
∫ (sin n ⁡ ax) (cos ⁡ ax) dx = 1 a (n + 1) sin n + 1 ⁡ ax + C (для n ≠ - 1) {\ displaystyle \ int ( \ sin ^ {n} ax) (\ cos ax) \, dx = {\ frac {1} {a (n + 1)}} \ sin ^ {n + 1} ax + C \ qquad {\ t_dv {( for}} n \ neq -1 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int (\sin ^{n}ax)(\cos ax)\,dx={\frac {1}{a(n+1)}}\sin ^{n+1}ax+C\qquad {\t_dv{(for }}n\neq -1{\t_dv{)}}}
∫ (sin ⁡ ax) (cos n ⁡ ax) dx = - 1 a (n + 1) cos п + 1 ⁡ топор + С (для п ≠ - 1) {\ Displaystyle \ int (\ грех топор) (\ соз ^ {п} топор) \, dx = - {\ гидроразрыва {1} {а (п + 1)}} \ cos ^ {n + 1} ax + C \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq -1 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int (\sin ax)(\cos ^{n}ax)\,dx=-{\frac {1}{a(n+1)}}\cos ^{n+1}ax+C\qquad {\t_dv{(for }}n\neq -1{\t_dv{)}}}
∫ (sin n ⁡ ax) (cos m ⁡ ax) dx = - (sin n - 1 ⁡ ax) (cos m + 1 ⁡ ax) a (n + m) + n - 1 n + m ∫ (sin n - 2 ⁡ ax) (cos m ⁡ ax) dx (для m, n>0) = (sin n + 1 ⁡ ax) (cos m - 1 ⁡ ax) a (n + m) + m - 1 n + m ∫ (sin n ⁡ ax) (cos m - 2 ⁡ ax) dx (для m, n>0) {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ int (\ sin ^ {n} ax) (\ cos ^ {m} ax) \, dx = - {\ frac {(\ sin ^ {n-1} ax) (\ cos ^ {m + 1} ax)} {a (n + m)}} + {\ frac {n-1} {n + m}} \ int (\ sin ^ {n-2} ax) (\ cos ^ {m} ax) \, dx \ qquad {\ t_dv {(for}} m, n>0 {\ t_dv {)}} \\ = { \ frac {(\ sin ^ {n + 1} ax) (\ cos ^ {m-1} ax)} {a (n + m)}} + {\ frac {m-1} {n + m}} \ int (\ sin ^ {n} ax) (\ cos ^ {m-2} ax) \, dx \ qquad {\ t_dv {(for}} m, n>0 {\ t_dv {)}} \ end { выровнено}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\int (\sin ^{n}ax)(\cos ^{m}ax)\,dx=-{\frac {(\sin ^{n-1}ax)(\cos ^{m+1}ax)}{a(n+m)}}+{\frac {n-1}{n+m}}\int (\sin ^{n-2}ax)(\cos ^{m}ax)\,dx\qquad {\t_dv{(for }}m,n>0 {\ t_dv {)}} \\ = {\ frac {(\ sin ^ {n + 1} ax) (\ cos ^ {m-1} ax)} { a (n + m)}} + {\ frac {m-1} {n + m}} \ int (\ sin ^ {n} ax) (\ cos ^ {m-2} ax) \, dx \ qquad {\ t_dv {(for}} m, n>0 {\ t_dv {)}} \ end {выровнено}}}
∫ dx (sin ⁡) (cos ⁡ ax) = 1 a ln ⁡ | tan ⁡ a x | + С {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {(\ sin ax) (\ cos ax)}} = {\ frac {1} {a}} \ ln \ left | \ tan ax \ right | + C }{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ax)}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan ax\right|+C}
∫ dx (sin ⁡ ax) (cos n ⁡ ax) = 1 a (n - 1) cos n - 1 ⁡ ax + ∫ dx (sin ⁡ ax) (cos n - 2 ⁡ ax) (для n ≠ 1) {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {(\ sin ax) (\ cos ^ {n} ax)}} = {\ frac {1} {a (n-1) \ cos ^ {n -1} ax}} + \ int {\ frac {dx} {(\ sin ax) (\ cos ^ {n-2} ax)}} \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ^{n}ax)}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ^{n-2}ax)}}\qquad {\t_dv{(for }}n\neq 1{\t_dv{)}}}
∫ dx (sin n ⁡ ax) (cos ⁡ ax) = - 1 a (n - 1) sin n - 1 ⁡ ax + ∫ dx (sin n - 2 ⁡ ax) (cos ⁡ топор) (для n ≠ 1) {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {(\ sin ^ {n} ax) (\ cos ax)}} = - {\ frac {1} {a (n- 1) \ sin ^ {n-1} ax}} + \ int {\ frac {dx} {(\ sin ^ {n-2} ax) (\ cos ax)}} \ qquad {\ t_dv {(для} } n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ^{n}ax)(\cos ax)}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{(\sin ^{n-2}ax)(\cos ax)}}\qquad {\t_dv{(for }}n\neq 1{\t_dv{)}}}
∫ грех ⁡ axdx cos n ⁡ ax = 1 a (n - 1) cos n - 1 ⁡ ax + C (для n ≠ 1) {\ displaystyle \ int {\ frac {\ sin ax \, dx} {\ cos ^ {n} ax}} = {\ frac {1} {a (n-1) \ cos ^ {n-1} ax}} + C \ qquad {\ t_dv {(for}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+C\qquad {\t_dv{(for }}n\neq 1{\t_dv{)}}}
sin 2 ⁡ axdx cos ax = - 1 a sin ⁡ ax + 1 a ln ⁡ | загар ⁡ (π 4 + a x 2) | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {\ sin ^ {2} ax \, dx} {\ cos ax}} = - {\ frac {1} {a}} \ sin ax + {\ frac {1} { a}} \ ln \ left | \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {ax} {2}} \ right) \ right | + C}{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\,dx}{\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\sin ax+{\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C}
∫ sin 2 ⁡ axdx соз N ⁡ ax = грех ⁡ axa (n - 1) cos n - 1 ⁡ ax - 1 n - 1 ∫ dx cos n - 2 ⁡ ax (для n ≠ 1) {\ displaystyle \ int {\ frac {\ sin ^ {2} ax \, dx} {\ cos ^ {n} ax}} = {\ frac {\ sin ax} {a (n-1) \ cos ^ {n-1} ax}} - {\ frac {1} {n-1}} \ int {\ frac {dx} {\ cos ^ {n-2} ax}} \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq 1 {\ t_dv {)} }}{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\,dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}-{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\t_dv{(for }}n\neq 1{\t_dv{)}}}
∫ sin 2 ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ xdx = 2 арктангант ⁡ (tan ⁡ x 2) - x (для x in] - π 2; + π 2 [) = 2 арктангант ⁡ (tan ⁡ x 2) - арктангант ⁡ (загар ⁡ x) (на этот раз x - любое действительное число) {\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {\ sin ^ {2} x} {1+ \ cos ^ {2 } x}} \, dx = {\ sqrt {2}} \ operatorname {arctangant} \ left ({\ frac {\ tan x} {\ sqrt {2}}} \ right) -x \ qquad {\ t_dv { (для x in}}] - {\ frac {\ pi} {2}}; + {\ frac {\ pi} {2}} [{\ t_dv {)}} \\ = {\ sqrt {2} } \ operatorname {arctangant} \ left ({\ frac {\ tan x} {\ sqrt {2}}} \ right) - \ operatorname {arc tangant} \ left (\ tan x \ right) \ qquad {\ t_dv {(на этот раз x - любое действительное число}} {\ t_dv {)}} \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\sin ^{2}x}{1+\cos ^{2}x}}\,dx={\sqrt {2}}\operatorname {arctangant} \left({\frac {\tan x}{\sqrt {2}}}\right)-x\qquad {\t_dv{(for x in}}]-{\frac {\pi }{2}};+{\frac {\pi }{2}}[{\t_dv{)}}\\={\sqrt {2}}\operatorname {arctangant} \left({\frac {\tan x}{\sqrt {2}}}\right)-\operatorname {arctangant} \left(\tan x\right)\qquad {\t_dv{(this time x being any real number }}{\t_dv{)}}\end{aligned}}}
∫ sin n ⁡ axdx cos ⁡ топор = - грех N - 1 ⁡ акса (N - 1) + ∫ грех N - 2 ⁡ axdx cos ⁡ ax (для n ≠ 1) {\ displaystyle \ int {\ frac {\ sin ^ {n} ax \, dx} {\ cos ax}} = - {\ frac {\ sin ^ {n-1} ax} {a (n-1)}} + \ int {\ frac {\ sin ^ {n-2} ax \, dx} {\ cos ax}} \ qquad {\ t_dv {(for}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ax}}=-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-1)}}+\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ax}}\qquad {\t_dv{(for }}n\neq 1{\t_dv{)}}}
∫ sin n ⁡ axdx cos m ⁡ ax = {sin n + 1 ⁡ axa (m - 1) cos m - 1 ⁡ ax - n - m + 2 m - 1 ∫ sin n ⁡ axdx cos m - 2 ⁡ ax (для m ≠ 1) sin n - 1 ⁡ axa (m - 1) cos m - 1 ⁡ ax - n - 1 m - 1 ∫ sin n - 2 ⁡ axdx cos m - 2 ⁡ ax (для m ≠ 1) - sin n - 1 ⁡ axa (n - m) cos m - 1 ⁡ ax + n - 1 n - m ∫ sin n - 2 ⁡ axdx cos m ⁡ ax (для m ≠ n) {\ displaystyle \ int {\ frac {\ sin ^ {n} ax \, dx} {\ cos ^ {m} ax}} = {\ begin {cases} {\ frac {\ sin ^ {n + 1} ax} {a (m-1) \ cos ^ {m-1} ax}} - {\ frac {n-m +2} {m-1}} \ int {\ frac {\ sin ^ {n} ax \, dx} {\ cos ^ {m-2} ax}} и {\ t_dv {(для}} m \ neq 1 {\ t_dv {)}} \\ {\ frac {\ sin ^ {n-1} ax} {a (m-1) \ cos ^ {m-1} ax}} - {\ frac {n-1} {m-1}} \ int {\ frac {\ sin ^ {n-2} ax \, dx} {\ cos ^ {m- 2} ax}} {\ t_dv {(для}} m \ neq 1 {\ t_dv {)}} \\ - {\ frac {\ sin ^ {n-1} ax} {a (nm) \ cos ^ {m-1} ax}} + {\ frac {n-1} {nm}} \ int {\ frac {\ sin ^ {n-2} ax \, dx} {\ cos ^ {m} ax}} {\ t_dv {(for}} m \ neq n {\ t_dv {)}} \ end {cases}}}{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ^{m}ax}}={\begin{cases}{\frac {\sin ^{n+1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ^{m-2}ax}}{\t_dv{(for }}m\neq 1{\t_dv{)}}\\{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ^{m-2}ax}}{\t_dv{(for }}m\neq 1{\t_dv{)}}\\-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-m)\cos ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ^{m}ax}}{\t_dv{(for }}m\neq n{\t_dv{)}}\end{cases}}}
∫ cos ⁡ axdx sin n ⁡ ax = - 1 a (n - 1) sin n - 1 ⁡ ax + C (для n ≠ 1) {\ displaystyle \ int {\ frac {\ cos ax \, dx} {\ sin ^ {n} ax}} = - {\ frac {1} {a (n- 1) \ sin ^ {n-1} ax}} + C \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+C\qquad {\t_dv{(for }}n\neq 1{\t_dv{)}}}
∫ cos 2 ⁡ axdx sin ⁡ ax = 1 a (cos ⁡ ax + ln ⁡ | tan ⁡ a x 2 |) + C {\ displaystyle \ int {\ frac {\ cos ^ {2} ax \, dx} {\ sin ax}} = {\ frac {1} {a}} \ left (\ cos ax + \ ln \ left | \ tan {\ frac {ax} {2}} \ right | \ right) + C}{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\,dx}{\sin ax}}={\frac {1}{a}}\left(\cos ax+\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|\right)+C}
∫ cos 2 ⁡ axdx sin n ⁡ ax = - 1 n - 1 (cos ⁡ axa sin n - 1 ⁡ ax + ∫ dx sin n - 2 ⁡ ax) (для n ≠ 1) {\ displaystyle \ int {\ frac {\ cos ^ {2} ax \, dx} {\ sin ^ {n} ax}} = - {\ frac {1} {n-1}} \ left ({\ frac {\ cos ax} {a \ sin ^ {n-1} ax}} + \ int {\ frac {dx} {\ sin ^ {n- 2} ax}} \ right) \ qquad {\ t_dv {(for}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\,dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\cos ax}{a\sin ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\right)\qquad {\t_dv{(for }}n\neq 1{\t_dv{)}}}
∫ cos n ⁡ axdx sin m ⁡ ax = {- cos n + 1 ⁡ axa (m - 1) sin m - 1 ⁡ ax - n - m + 2 m - 1 ∫ cos n ⁡ axdx sin m - 2 ⁡ ax (для m ≠ 1) - cos n - 1 ⁡ axa (m - 1) sin m - 1 ⁡ ax - n - 1 m - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ axdx sin m - 2 ⁡ ax (для m ≠ 1) cos n - 1 ⁡ axa (n - m) sin m - 1 ⁡ ax + n - 1 n - m ∫ cos n - 2 ⁡ axdx sin m ⁡ ax (для m ≠ n) {\ displaystyle \ int {\ frac {\ cos ^ {n} ax \, dx} {\ sin ^ {m} ax}} = {\ begin {cases} - {\ frac {\ cos ^ {n + 1} ax} {a (m-1) \ sin ^ {m-1} ax}} - {\ frac {n- m + 2} {m-1}} \ int {\ frac {\ cos ^ {n} ax \, dx} {\ sin ^ {m-2} ax}} { \ t_dv {(для}} m \ neq 1 {\ t_dv {)}} \\ - {\ frac {\ cos ^ {n-1} ax} {a (m-1) \ sin ^ {m-1} ax}} - {\ frac {n-1} {m-1}} \ int {\ frac {\ cos ^ {n-2} ax \, dx} {\ sin ^ {m-2} ax}} {\ t_dv {(for}} m \ neq 1 {\ t_dv {)}} \\ {\ frac {\ cos ^ {n-1} ax} {a (nm) \ sin ^ {m-1} ax} } + {\ frac {n-1} {nm}} \ int {\ frac {\ cos ^ {n-2} ax \, dx} {\ sin ^ {m} ax}} {\ t_dv {(для }} m \ neq n {\ t_dv {)}} \ end {case}}}{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}ax\,dx}{\sin ^{m}ax}}={\begin{cases}-{\frac {\cos ^{n+1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n}ax\,dx}{\sin ^{m-2}ax}}{\t_dv{(for }}m\neq 1{\t_dv{)}}\\-{\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\,dx}{\sin ^{m-2}ax}}{\t_dv{(for }}m\neq 1{\t_dv{)}}\\{\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(n-m)\sin ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\,dx}{\sin ^{m}ax}}{\t_dv{(for }}m\neq n{\t_dv{)}}\end{cases}}}
Интегральные выражения, включающие как синус, так и касательную
∫ (sin ⁡ ax) (tan ⁡ ax) dx = 1 a (ln ⁡ | сек ⁡ а х + загар ⁡ а х | - грех ⁡ топор) + C {\ displaystyle \ int (\ sin ax) (\ tan ax) \, dx = {\ frac {1} {a}} (\ ln | \ sec ax + \ tan ax | - \ sin ax) + C}{\displaystyle \int (\sin ax)(\tan ax)\,dx={\frac {1}{a}}(\ln |\sec ax+\tan ax|-\sin ax)+C}
∫ загар n ⁡ axdx sin 2 ⁡ ax = 1 a (n - 1) tan n - 1 ⁡ (ax) + C (для n ≠ 1) {\ displaystyle \ int {\ frac { \ tan ^ {n} ax \, dx} {\ sin ^ {2} ax}} = {\ frac {1} {a (n-1)}} \ tan ^ {n-1} (ax) + C \ qquad {\ t_dv {(for}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\,dx}{\sin ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}(ax)+C\qquad {\t_dv{(for }}n\neq 1{\t_dv{)}}}
Интеграция, включающая как косинус, так и тангенс
∫ tan n ⁡ axdx cos 2 ⁡ топор знак равно 1 a (n + 1) загар n + 1 ⁡ ax + C (для n ≠ - 1) {\ displaystyle \ int {\ frac {\ tan ^ {n} ax \, dx} {\ cos ^ { 2} ax}} = {\ frac {1} {a (n + 1)}} \ tan ^ {n + 1} ax + C \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq -1 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\,dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n+1)}}\tan ^{n+1}ax+C\qquad {\t_dv{(for }}n\neq -1{\t_dv{)}}}
Интеграция, включающая как синус, так и котангенс
∫ cot n ⁡ axdx sin 2 ⁡ ax = - 1 a (n + 1) cot n + 1 ⁡ ax + С (для n ≠ - 1) {\ displaystyle \ int {\ frac {\ cot ^ {n} ax \, dx} {\ sin ^ {2} ax}} = - {\ frac {1} {a ( n + 1)}} \ cot ^ {n + 1} ax + C \ qquad {\ t_dv {(for}} n \ neq -1 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\,dx}{\sin ^{2}ax}}=-{\frac {1}{a(n+1)}}\cot ^{n+1}ax+C\qquad {\t_dv{(for }}n\neq -1{\t_dv{)}}}
Интеграция, включающая оба косинуса и котангенс
∫ cot n ⁡ axdx cos 2 ⁡ ax = 1 a (1 - n) tan 1 - n ⁡ ax + C (для n ≠ 1) {\ displaystyle \ int {\ frac {\ cot ^ {n} ax \, dx} {\ cos ^ {2} ax} } = {\ frac {1} {a (1-n)}} \ tan ^ {1-n} ax + C \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\,dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(1-n)}}\tan ^{1-n}ax+C\qquad {\t_dv{(for }}n\neq 1{\t_dv{)}}}
Интеграция с участием секущей и касательной
∫ (sec ⁡ x) (tan ⁡ x) dx = sec ⁡ x + C {\ displaystyle \ int (\ sec x) ( \ tan x) \, dx = \ sec x + C}{\displaystyle \int (\sec x)(\tan x)\,dx=\sec x+C}
Интеграция, включающая как косеканс, так и котангенс
∫ (csc ⁡ x) (cot ⁡ x) dx = - csc ⁡ Икс + С {\ Displaystyle \ int (\ csc x) (\ cot x) \, dx = - \ csc x + C}{\displaystyle \int (\csc x)(\cot x)\,dx=-\csc x+C}
Интегралы за четверть периода
∫ 0 π 2 sin n ⁡ xdx = ∫ 0 π 2 cos n ⁡ xdx = {n - 1 n ⋅ n - 3 n - 2 ⋯ 3 4 ⋅ 1 2 ⋅ π 2, если n четное n - 1 n ⋅ n - 3 n - 2 ⋯ 4 5 ⋅ 2 3, если n нечетное и больше 1 1, если n = 1 {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {n} x \, dx = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^ {n} x \, dx = {\ begin {cases} {\ frac {n-1} {n}} \ cdot {\ frac {n-3} {n-2}} \ cdots {\ frac {3} {4}} \ cdot {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {\ pi} {2}}, {\ text {if}} n {\ text {четно}} \\ {\ frac {n-1} {n} } \ cdot {\ frac {n-3} {n-2}} \ cdots {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {2} {3}}, {\ text {if}} n {\ text {нечетно и больше 1}} \\ 1, {\ text {if}} n = 1 \ end {cases}}}{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\begin{cases}{\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-3}{n-2}}\cdots {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{2}},{\text{if }}n{\text{ is even}}\\{\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-3}{n-2}}\cdots {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {2}{3}},{\text{if }}n{\text{ is odd and more than 1}}\\1,{\text{if }}n=1\end{cases}}}
Интегралы с симметричными пределами
∫ - cc sin ⁡ xdx знак равно 0 {\ displaystyle \ int _ {- c} ^ {c} \ sin {x} \, dx = 0}{\displaystyle \int _{-c}^{c}\sin {x}\,dx=0}
∫ - cc cos ⁡ xdx = 2 ∫ 0 c cos ⁡ xdx = 2 ∫ - c 0 соз ⁡ xdx = 2 грех ⁡ с {\ displaystyle \ int _ {- c} ^ {c} \ cos {x} \, dx = 2 \ int _ {0} ^ {c} \ cos {x} \, dx = 2 \ int _ {- c} ^ {0} \ cos {x} \, dx = 2 \ sin {c}}{\displaystyle \int _{-c}^{c}\cos {x}\,dx=2\int _{0}^{c}\cos {x}\,dx=2\int _{-c}^{0}\cos {x}\,dx=2\sin {c}}
∫ - cc tan ⁡ xdx = 0 {\ displaystyle \ int _ {- c } ^ {c} \ tan {x} \, dx = 0}{\displaystyle \int _{-c}^{c}\tan {x}\,dx=0}
∫ - a 2 a 2 x 2 cos 2 ⁡ n π xadx = a 3 (n 2 π 2 - 6) 24 n 2 π 2 ( для n = 1, 3, 5...) {\ displaystyle \ int _ {- {\ frac {a} {2}}} ^ {\ frac {a} {2}} x ^ {2} \ cos ^ {2} {\ frac {n \ pi x} {a}} \, dx = {\ frac {a ^ {3} (n ^ {2} \ pi ^ {2} -6)} {24n ^ {2 } \ pi ^ {2}}} \ qquad {\ t_dv {(for}} n = 1,3,5... {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\cos ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\,dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\t_dv{(for }}n=1,3,5...{\t_dv{)}}}
∫ - a 2 a 2 x 2 sin 2 ⁡ n π xadx = a 3 (n 2 π 2-6 (- 1) n) 24 n 2 π 2 = a 3 24 (1-6 (- 1) nn 2 π 2) (для n = 1, 2, 3,...) {\ displaystyle \ int _ {\ frac {-a} {2}} ^ {\ frac {a} {2}} x ^ {2} \ sin ^ {2} {\ frac {n \ pi x} { a}} \, dx = {\ frac {a ^ {3} (n ^ {2} \ pi ^ {2} -6 (-1) ^ {n})} {24n ^ {2} \ pi ^ { 2}}} = {\ frac {a ^ {3}} {24}} (1-6 {\ frac {(-1) ^ {n}} {n ^ {2} \ pi ^ {2}}}) \ qquad {\ t_dv {(for}} n = 1,2,3,... {\ t_dv {)}}}{\displaystyle \int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\sin ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\,dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6(-1)^{n})}{24n^{2}\pi ^{2}}}={\frac {a^{3}}{24}}(1-6{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}\pi ^{2}}})\qquad {\t_dv{(for }}n=1,2,3,...{\t_dv{)}}}
Интеграл по полной окружности
∫ 0 2 π sin 2 m + 1 ⁡ Икс соз N ⁡ xdx знак равно 0 N, m ∈ Z {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ {2m + 1} {x} \ cos ^ {n} {x} \, dx знак равно 0 \! \ qquad n, m \ in \ mathbb {Z}}{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin ^{2m+1}{x}\cos ^{n}{x}\,dx=0\!\qquad n,m\in \mathbb {Z} }
∫ 0 2 π sin m ⁡ x cos 2 n + 1 ⁡ xdx = 0 n, m ∈ Z {\ displaystyle \ int _ { 0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ {m} {x} \ cos ^ {2n + 1} {x} \, dx = 0 \! \ Qquad n, m \ in \ mathbb {Z}}{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin ^{m}{x}\cos ^{2n+1}{x}\,dx=0\!\qquad n,m\in \mathbb {Z } }
См. Также
Ссылки
Последняя правка сделана 2021-05-28 09:45:52
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru